资源简介

广西贵港市港南区2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025七下·港南期中）的相反数是（　　）
A．0 B． C． D．
2．（2025七下·港南期中）下列说法中正确的是（　　）
A．64的立方根是 B． 没有立方根
C． 是64的平方根 D．的平方根是
3．（2025七下·港南期中）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025七下·港南期中）在，，，，，中，无理数有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．（2025七下·港南期中）若，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·港南期中）若是数的立方根，是数的一个平方根，则的值为（　　）
A．2 B． C．1 D．
7．（2025七下·港南期中）下列能用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·港南期中）已知关于的多项式与的乘积的展开式中不含的二次项，则的值为（　　）
A． B． C． D．3
9．（2025七下·港南期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025七下·港南期中）如图，从边长为m的大正方形中剪掉一个边长为n的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开拼成右边的长方形，根据图形的变化过程，写出一个正确的等式是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025七下·港南期中）小明购买了一本原价为x元的书，花费金额低于24元，他根据书店促销信息列出不等式为，关于这本书的促销信息最合适的是（　　）
A．原价基础上降价10元
B．原价基础上先打八折，再降价10元
C．原价基础上先降价10元，再打八折
D．原价基础上打八折
12．（2025七下·港南期中）在矩形内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时，的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上．）
13．（2025七下·港南期中）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为　 　．
14．（2025七下·港南期中）已知，则的值是　 　．
15．（2025七下·港南期中）已知，，则　 　．
16．（2025七下·港南期中）如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示-1的点为圆心，以正方形的边长为半径作圆，交数轴于点，两点，则点，表示的数分别为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025七下·港南期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2025七下·港南期中）解不等式组． 把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．
19．（2025七下·港南期中）先化简，再求值：当，时，求代数式的值．
20．（2025七下·港南期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
21．（2025七下·港南期中）学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买1台平板电脑3 000元，购买1台学习机800元.
(1)学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，要求购买的总费用不超过168 000元，则购买平板电脑最多多少台？
(2)在(1)的条件下，购买学习机的台数不超过平板电脑台数的1.7倍.请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？
22．（2025七下·港南期中）【阅读材料】对于整数定义运算：（其中m，n为常数），如．
（1）若，则___________；
（2）若， ，求的值．
23．（2025七下·港南期中）综合与实践
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘除”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了两数和的平方公式：（如图①）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】
（1）由图②可得等式：；
（2）由图③可得等式：；
【解决问题】若，利用图③得到的结论，求的值；
【方法拓展】已知正数和满足，试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：的相反数是，
A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用实数相反数的定义及计算方法求解即可.
2．【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：B
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，对选项逐个判断，即可求解．
4．【答案】A
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：，，是有理数；，，是无理数，共有3个．
故答案为：A．
【分析】先利用算术平方根计算，再利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
5．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故A不符合题意；
∴，
故B符合题意；
∴，
故C不符合题意；
∴，
故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵是数的立方根，是数的一个平方根，
∴，
则，
故答案为：C．
【分析】先利用立方根和平方根的定义及计算方法求出，再将其代入计算即可.
7．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、可提取负号得，属于完全平方公式的变形，不符合题意；
B、中两项分别为与、与，既不相同也不互为相反数，无法应用平方差公式，不符合题意；
C、可改写为，属于完全平方公式的变形，不符合平方差公式，不符合题意；
D、可整理为，符合（其中，），结果为，满足平方差公式，符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式的定义及计算方法（两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积）分析求解即可.
8．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：
∵多项式与的乘积的展开式中不含的二次项，
∴．
解得．
故选：C．
【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则，对式子进行化简，然后再根据不含有二次项得到，即可求解．
9．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式得，，
解不等式得，
故不等式组的解集为，
数轴上表示，如图所示：
故答案为：A．
【分析】先利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
10．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：左边图形阴影部分的面积为，右边图形阴影部分的面积为，
∴根据图形的变化过程，得到的等式是．
故答案为：B
【分析】根据题意可得左边图形阴影部分的面积为，右边图形阴影部分的面积为，即可求解．
11．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：“”表示在原价基础上先降价10元，“”表示在降价10元的基础上再打八折．
故答案为：C．
【分析】根据代数式的表示方法并结合题干可得答案.
12．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算
【解析】【解答】解：由图可得，
，
，
∵，
∴，
即．
故答案为：C．
【分析】先求出和，再将其代入可得，结合，最后求出即可．
13．【答案】
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴且
∴
故答案是：．
【分析】根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数为1的整式不等式可得，且，即可求m的值．
14．【答案】8
【知识点】幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：依题意，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：8.
【分析】先利用幂的乘方和同底数幂的乘法可得，再结合，最后求出答案即可.
15．【答案】29
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】将代数式变形为，再将，代入计算即可.
16．【答案】，
【知识点】实数在数轴上表示；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为5，∴圆的半径为，
∴点A表示的数为，点B表示的数为．
故答案为：，．
【分析】利用正方形的面积公式求出边长可得圆的半径为，再结合数轴求出点A、B表示的数即可.
17．【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算；二次根式的加减法；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、算术平方根、立方根和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】解： ，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜3，
不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．
在数轴上表示为： ．
不等式组的非负整数解为2，1，0
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可，再找出解集范围内的非负整数即可．
19．【答案】解：
，
当，时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简可得，再将x、y的值代入计算即可.
20．【答案】（1）解：∵的立方根是3，
∴，解得，
∵的算术平方根是4，
∴，
又∵，
∴，
∵c是的整数部分，，
∴，
∴，，；
（2）解：把，，代入得
，
∴的平方根是．
【知识点】平方根的概念与表示；算术平方根的概念与表示；求算术平方根；算术平方根的实际应用；利用开立方求未知数
【解析】【分析】（1）根据立方根和算数平方根的定义，即可分别求出a，b的值，再通过无理数的估算方法确定c的值；
（2）将（1）中a，b，c的值代入式中求值，再求其平方根即可.
21．【答案】解：(1)设购买平板电脑台，则购买学习机台，
由题意得
解得：
答：平板电脑最多购买40台.
(2) 设购买平板电脑台，则购买学习机台，
根据题意得：
解得：
∵为正整数且
∴＝38，39，40，则学习机依次买：62台，61台，60台.
因此该校有三种购买方案：
　 平板电脑(台) 学习机(台) 总费用(元)
方案一 38 62 163 600
方案二 39 61 165 800
方案三 40 60 168 000
答：购买平板电脑38台，学习机62台最省钱.
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设购买平板电脑台，则购买学习机台，利用“ 购买的总费用不超过168 000元 ”列出不等式求解即可；
（2） 设购买平板电脑台，则购买学习机台，利用“ 学习机的台数不超过平板电脑台数的1.7倍 ”列出不等式求出a的范围，再求出所有的方案并求解即可.
22．【答案】（1）3
（2）解：∵，，，
∴，
整理得，
∴，
即，
∴，
把代入，
∴，
∴
．
【知识点】同底数幂的乘法；有理数混合运算法则（含乘方）；加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】（1）解：∵，且，
∴
，
故答案为：3.
【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）先根据题干中的定义及计算方法可得，再求出，最后将其代入计算即可.
（1）解：∵，且，
∴
，
故答案为：3
（2）解：∵，，，
∴，
整理得，
∴，
即，
∴，
把代入，
∴，
∴
．
23．【答案】解：【解决问题】由图3得，
．
当时，
．
【方法拓展】如图，构造了一个边长为k的正方形，在正方形的4条边上分别截取．
．
，
．
∴三个长方形的面积和为，大正方形的面积为．
根据图形可知，三个长方形的面积和小于大正方形的面积，
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；数形结合
【解析】【分析】【解决问题】利用题干中的定义及计算方法可得，再将代入计算即可；
【方法拓展】根据题意造一个边长为的正方形，再结合对各边进行分割，最后求解即可.
1 / 1广西贵港市港南区2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2025七下·港南期中）的相反数是（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：的相反数是，
A、C、D选项不符合题意，B选项符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用实数相反数的定义及计算方法求解即可.
2．（2025七下·港南期中）下列说法中正确的是（　　）
A．64的立方根是 B． 没有立方根
C． 是64的平方根 D．的平方根是
【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
3．（2025七下·港南期中）下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：B
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项，对选项逐个判断，即可求解．
4．（2025七下·港南期中）在，，，，，中，无理数有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：，，是有理数；，，是无理数，共有3个．
故答案为：A．
【分析】先利用算术平方根计算，再利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
5．（2025七下·港南期中）若，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故A不符合题意；
∴，
故B符合题意；
∴，
故C不符合题意；
∴，
故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
6．（2025七下·港南期中）若是数的立方根，是数的一个平方根，则的值为（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵是数的立方根，是数的一个平方根，
∴，
则，
故答案为：C．
【分析】先利用立方根和平方根的定义及计算方法求出，再将其代入计算即可.
7．（2025七下·港南期中）下列能用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、可提取负号得，属于完全平方公式的变形，不符合题意；
B、中两项分别为与、与，既不相同也不互为相反数，无法应用平方差公式，不符合题意；
C、可改写为，属于完全平方公式的变形，不符合平方差公式，不符合题意；
D、可整理为，符合（其中，），结果为，满足平方差公式，符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式的定义及计算方法（两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积）分析求解即可.
8．（2025七下·港南期中）已知关于的多项式与的乘积的展开式中不含的二次项，则的值为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：
∵多项式与的乘积的展开式中不含的二次项，
∴．
解得．
故选：C．
【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则，对式子进行化简，然后再根据不含有二次项得到，即可求解．
9．（2025七下·港南期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式得，，
解不等式得，
故不等式组的解集为，
数轴上表示，如图所示：
故答案为：A．
【分析】先利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
10．（2025七下·港南期中）如图，从边长为m的大正方形中剪掉一个边长为n的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开拼成右边的长方形，根据图形的变化过程，写出一个正确的等式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：左边图形阴影部分的面积为，右边图形阴影部分的面积为，
∴根据图形的变化过程，得到的等式是．
故答案为：B
【分析】根据题意可得左边图形阴影部分的面积为，右边图形阴影部分的面积为，即可求解．
11．（2025七下·港南期中）小明购买了一本原价为x元的书，花费金额低于24元，他根据书店促销信息列出不等式为，关于这本书的促销信息最合适的是（　　）
A．原价基础上降价10元
B．原价基础上先打八折，再降价10元
C．原价基础上先降价10元，再打八折
D．原价基础上打八折
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：“”表示在原价基础上先降价10元，“”表示在降价10元的基础上再打八折．
故答案为：C．
【分析】根据代数式的表示方法并结合题干可得答案.
12．（2025七下·港南期中）在矩形内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，当时，的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；整式的混合运算
【解析】【解答】解：由图可得，
，
，
∵，
∴，
即．
故答案为：C．
【分析】先求出和，再将其代入可得，结合，最后求出即可．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上．）
13．（2025七下·港南期中）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴且
∴
故答案是：．
【分析】根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数为1的整式不等式可得，且，即可求m的值．
14．（2025七下·港南期中）已知，则的值是　 　．
【答案】8
【知识点】幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：依题意，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：8.
【分析】先利用幂的乘方和同底数幂的乘法可得，再结合，最后求出答案即可.
15．（2025七下·港南期中）已知，，则　 　．
【答案】29
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】将代数式变形为，再将，代入计算即可.
16．（2025七下·港南期中）如图，将面积为5的正方形放在数轴上，以表示-1的点为圆心，以正方形的边长为半径作圆，交数轴于点，两点，则点，表示的数分别为　 　．
【答案】，
【知识点】实数在数轴上表示；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为5，∴圆的半径为，
∴点A表示的数为，点B表示的数为．
故答案为：，．
【分析】利用正方形的面积公式求出边长可得圆的半径为，再结合数轴求出点A、B表示的数即可.
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025七下·港南期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算；二次根式的加减法；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方、算术平方根、立方根和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025七下·港南期中）解不等式组． 把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．
【答案】解： ，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜3，
不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．
在数轴上表示为： ．
不等式组的非负整数解为2，1，0
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可，再找出解集范围内的非负整数即可．
19．（2025七下·港南期中）先化简，再求值：当，时，求代数式的值．
【答案】解：
，
当，时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简可得，再将x、y的值代入计算即可.
20．（2025七下·港南期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵的立方根是3，
∴，解得，
∵的算术平方根是4，
∴，
又∵，
∴，
∵c是的整数部分，，
∴，
∴，，；
（2）解：把，，代入得
，
∴的平方根是．
【知识点】平方根的概念与表示；算术平方根的概念与表示；求算术平方根；算术平方根的实际应用；利用开立方求未知数
【解析】【分析】（1）根据立方根和算数平方根的定义，即可分别求出a，b的值，再通过无理数的估算方法确定c的值；
（2）将（1）中a，b，c的值代入式中求值，再求其平方根即可.
21．（2025七下·港南期中）学校为了奖励初三优秀毕业生，计划购买一批平板电脑和一批学习机，经投标，购买1台平板电脑3 000元，购买1台学习机800元.
(1)学校根据实际情况，决定购买平板电脑和学习机共100台，要求购买的总费用不超过168 000元，则购买平板电脑最多多少台？
(2)在(1)的条件下，购买学习机的台数不超过平板电脑台数的1.7倍.请问有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？
【答案】解：(1)设购买平板电脑台，则购买学习机台，
由题意得
解得：
答：平板电脑最多购买40台.
(2) 设购买平板电脑台，则购买学习机台，
根据题意得：
解得：
∵为正整数且
∴＝38，39，40，则学习机依次买：62台，61台，60台.
因此该校有三种购买方案：
　 平板电脑(台) 学习机(台) 总费用(元)
方案一 38 62 163 600
方案二 39 61 165 800
方案三 40 60 168 000
答：购买平板电脑38台，学习机62台最省钱.
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设购买平板电脑台，则购买学习机台，利用“ 购买的总费用不超过168 000元 ”列出不等式求解即可；
（2） 设购买平板电脑台，则购买学习机台，利用“ 学习机的台数不超过平板电脑台数的1.7倍 ”列出不等式求出a的范围，再求出所有的方案并求解即可.
22．（2025七下·港南期中）【阅读材料】对于整数定义运算：（其中m，n为常数），如．
（1）若，则___________；
（2）若， ，求的值．
【答案】（1）3
（2）解：∵，，，
∴，
整理得，
∴，
即，
∴，
把代入，
∴，
∴
．
【知识点】同底数幂的乘法；有理数混合运算法则（含乘方）；加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】（1）解：∵，且，
∴
，
故答案为：3.
【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）先根据题干中的定义及计算方法可得，再求出，最后将其代入计算即可.
（1）解：∵，且，
∴
，
故答案为：3
（2）解：∵，，，
∴，
整理得，
∴，
即，
∴，
把代入，
∴，
∴
．
23．（2025七下·港南期中）综合与实践
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：在学习“整式的乘除”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地推导出了两数和的平方公式：（如图①）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】
（1）由图②可得等式：；
（2）由图③可得等式：；
【解决问题】若，利用图③得到的结论，求的值；
【方法拓展】已知正数和满足，试通过构造边长为的正方形，利用图形面积来说明．
【答案】解：【解决问题】由图3得，
．
当时，
．
【方法拓展】如图，构造了一个边长为k的正方形，在正方形的4条边上分别截取．
．
，
．
∴三个长方形的面积和为，大正方形的面积为．
根据图形可知，三个长方形的面积和小于大正方形的面积，
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；数形结合
【解析】【分析】【解决问题】利用题干中的定义及计算方法可得，再将代入计算即可；
【方法拓展】根据题意造一个边长为的正方形，再结合对各边进行分割，最后求解即可.
1 / 1

展开更多......

收起↑