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2025-2026七年级下册数学期中测试卷【押题A卷】
答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
二、填空题
三、解答题
16题（10分）、 (1) (2)
17题（8分）、
18题（8分）、
19题（8分）、
20题（8分）、
21题（8分）、
22题（12分）、
23题（13分）、/ 让教学更有效
2025-2026七年级下册数学期中测试卷【押题A卷】
【北师版】
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第1章~第3章
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列是随机事件的是（ ）
A．太阳从东方升起 B．两个负数相乘，积是正数
C．13个人中至少有2人生肖相同 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
2．（新情境试题·社会热点型）2025年我国“人造太阳”（全超导托卡马克装置）实现新突破，其等离子体运行温度稳定维持在1．5亿摄氏度以上，将150000000用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．任意画一多边形，其外角和是
D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
4．下列事件为必然事件的是（ ）
A．小王参加本次数学考试，成绩是120分 B．某射击运动员射击一次，射中靶心
C．通常加热到时，水沸腾 D．打开电视机，正在播放电视剧
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，直线、相交于点O，于点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图为平面镜的光路图，入射光线经平面镜反射（入射角等于反射角），若，，，则为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（新情境试题·生活应用型）如图①，高铁顶上“受电弓”保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图②，已知，在某一时刻，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．下列事件：①水涨船高（船在水中能自由浮动）；②购买1张彩票，中奖；③367人中至少有2人的生日在同一天．④掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上．其中是必然事件的是___（填序号）．
12．（新情境试题·社会热点型）若2025年11月14日16时40分，我国“神舟二十一号”载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，飞船在轨飞行总里程约18000000公里，首次实现了约3.5小时的快速交会对接，创造了载人航天的新纪录．将18000000用科学记数法表示为_____．
13．已知，则________．
14．（新情境试题·数学传统文化）常言道：不以规矩，不成方圆．这里的“矩”指的是矩尺，它的起源可追溯至先秦时期，主体为直角曲尺，是中国古代绘图测量使用的工具，如图，在同一平面内，将直尺和矩尺按如图方式摆放，若，则___________．
15．如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．（10分）计算：
(1)
(2)
17．（8分）某小区有一块长为，宽为的长方形空地，物业部门计划进行绿化（如图阴影部分），中间部分将修建一个仿古小景点（如图中间的正方形所示）．
(1)求绿化面积是多少平方米
(2)求出当，时的绿化面积．
18．（8分）在一个不透明的袋中装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外其余都相同．
(1)任意摸出1个球，摸到红球是____________事件，摸到黄球是____________事件；（填“不可能”“必然”或“随机”）
(2)从袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是多少？
(3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出1个球为黑球的概率是．求后来放入袋中的黑球的个数．
19．（8分）（新情境试题·社会热点型）2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，；求的度数．
20．（8分）（新情境试题·新定义问题）定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式．
例如，若，
则多项式就是双平方多项式．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)判断：多项式是不是双平方多项式．
(2)若多项式是双平方多项式，求整数的值．
(3)已知，，比较，的大小．
21．（8分）如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
22．（12分）（新情境试题·综合与实践）阅读理解：若满足，求的值．
解：设，，则，，
所以．
(1)【类比探究】若满足，求的值；
(2)【联系拓展】若满足，则________．；（直接写出结果，不用说明理由．）
(3)【解决问题】如图，在长方形中，，，点，是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为120平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？
23．（13分）结合图形，解答下列各题：
(1)问题：如图所示，若，，求的度数．
(2)问题迁移：如图所示，，点在的上方，则之间有何数量关系？请说明理由．
(3)联想拓展：如图所示，在（）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，求的度数．/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2025-2026七年级下册数学期中测试卷【押题A卷】
【北师版】
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第1章~第3章
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列是随机事件的是（ ）
A．太阳从东方升起 B．两个负数相乘，积是正数
C．13个人中至少有2人生肖相同 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
2．（新情境试题·社会热点型）2025年我国“人造太阳”（全超导托卡马克装置）实现新突破，其等离子体运行温度稳定维持在1．5亿摄氏度以上，将150000000用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．任意画一多边形，其外角和是
D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
4．下列事件为必然事件的是（ ）
A．小王参加本次数学考试，成绩是120分 B．某射击运动员射击一次，射中靶心
C．通常加热到时，水沸腾 D．打开电视机，正在播放电视剧
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，直线、相交于点O，于点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图为平面镜的光路图，入射光线经平面镜反射（入射角等于反射角），若，，，则为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（新情境试题·生活应用型）如图①，高铁顶上“受电弓”保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图②，已知，在某一时刻，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．下列事件：①水涨船高（船在水中能自由浮动）；②购买1张彩票，中奖；③367人中至少有2人的生日在同一天．④掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上．其中是必然事件的是___（填序号）．
12．（新情境试题·社会热点型）若2025年11月14日16时40分，我国“神舟二十一号”载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，飞船在轨飞行总里程约18000000公里，首次实现了约3.5小时的快速交会对接，创造了载人航天的新纪录．将18000000用科学记数法表示为_____．
13．已知，则________．
14．（新情境试题·数学传统文化）常言道：不以规矩，不成方圆．这里的“矩”指的是矩尺，它的起源可追溯至先秦时期，主体为直角曲尺，是中国古代绘图测量使用的工具，如图，在同一平面内，将直尺和矩尺按如图方式摆放，若，则___________．
15．如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．（10分）计算：
(1)
(2)
17．（8分）某小区有一块长为，宽为的长方形空地，物业部门计划进行绿化（如图阴影部分），中间部分将修建一个仿古小景点（如图中间的正方形所示）．
(1)求绿化面积是多少平方米
(2)求出当，时的绿化面积．
18．（8分）在一个不透明的袋中装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外其余都相同．
(1)任意摸出1个球，摸到红球是____________事件，摸到黄球是____________事件；（填“不可能”“必然”或“随机”）
(2)从袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是多少？
(3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出1个球为黑球的概率是．求后来放入袋中的黑球的个数．
19．（8分）（新情境试题·社会热点型）2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，；求的度数．
20．（8分）（新情境试题·新定义问题）定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式．
例如，若，
则多项式就是双平方多项式．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)判断：多项式是不是双平方多项式．
(2)若多项式是双平方多项式，求整数的值．
(3)已知，，比较，的大小．
21．（8分）如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
22．（12分）（新情境试题·综合与实践）阅读理解：若满足，求的值．
解：设，，则，，
所以．
(1)【类比探究】若满足，求的值；
(2)【联系拓展】若满足，则________．；（直接写出结果，不用说明理由．）
(3)【解决问题】如图，在长方形中，，，点，是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为120平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？
23．（13分）结合图形，解答下列各题：
(1)问题：如图所示，若，，求的度数．
(2)问题迁移：如图所示，，点在的上方，则之间有何数量关系？请说明理由．
(3)联想拓展：如图所示，在（）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，求的度数．
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2025-2026七年级下册数学期中测试卷【押题A卷】
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考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第1章~第3章
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列是随机事件的是（ ）
A．太阳从东方升起 B．两个负数相乘，积是正数
C．13个人中至少有2人生肖相同 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
2．（新情境试题·社会热点型）2025年我国“人造太阳”（全超导托卡马克装置）实现新突破，其等离子体运行温度稳定维持在1．5亿摄氏度以上，将150000000用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．任意画一多边形，其外角和是
D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
4．下列事件为必然事件的是（ ）
A．小王参加本次数学考试，成绩是120分 B．某射击运动员射击一次，射中靶心
C．通常加热到时，水沸腾 D．打开电视机，正在播放电视剧
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，直线、相交于点O，于点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图为平面镜的光路图，入射光线经平面镜反射（入射角等于反射角），若，，，则为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（新情境试题·生活应用型）如图①，高铁顶上“受电弓”保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图②，已知，在某一时刻，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．下列事件：①水涨船高（船在水中能自由浮动）；②购买1张彩票，中奖；③367人中至少有2人的生日在同一天．④掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上．其中是必然事件的是___（填序号）．
12．（新情境试题·社会热点型）若2025年11月14日16时40分，我国“神舟二十一号”载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，飞船在轨飞行总里程约18000000公里，首次实现了约3.5小时的快速交会对接，创造了载人航天的新纪录．将18000000用科学记数法表示为_____．
13．已知，则________．
14．（新情境试题·数学传统文化）常言道：不以规矩，不成方圆．这里的“矩”指的是矩尺，它的起源可追溯至先秦时期，主体为直角曲尺，是中国古代绘图测量使用的工具，如图，在同一平面内，将直尺和矩尺按如图方式摆放，若，则___________．
15．如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．（10分）计算：
(1)
(2)
17．（8分）某小区有一块长为，宽为的长方形空地，物业部门计划进行绿化（如图阴影部分），中间部分将修建一个仿古小景点（如图中间的正方形所示）．
(1)求绿化面积是多少平方米
(2)求出当，时的绿化面积．
18．（8分）在一个不透明的袋中装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外其余都相同．
(1)任意摸出1个球，摸到红球是____________事件，摸到黄球是____________事件；（填“不可能”“必然”或“随机”）
(2)从袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是多少？
(3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出1个球为黑球的概率是．求后来放入袋中的黑球的个数．
19．（8分）（新情境试题·社会热点型）2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，；求的度数．
20．（8分）（新情境试题·新定义问题）定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式．
例如，若，
则多项式就是双平方多项式．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)判断：多项式是不是双平方多项式．
(2)若多项式是双平方多项式，求整数的值．
(3)已知，，比较，的大小．
21．（8分）如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
22．（12分）（新情境试题·综合与实践）阅读理解：若满足，求的值．
解：设，，则，，
所以．
(1)【类比探究】若满足，求的值；
(2)【联系拓展】若满足，则________．；（直接写出结果，不用说明理由．）
(3)【解决问题】如图，在长方形中，，，点，是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为120平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？
23．（13分）结合图形，解答下列各题：
(1)问题：如图所示，若，，求的度数．
(2)问题迁移：如图所示，，点在的上方，则之间有何数量关系？请说明理由．
(3)联想拓展：如图所示，在（）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，求的度数．2025-2026七年级下册数学期中测试卷【押题A卷】
答题卡
姓名：______________班级：______________
准考证号
一、选择题（请用2B铅笔填涂）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]
二、填空题
三、解答题
16题（10分）、 (1) (2)
17题（8分）、
18题（8分）、
19题（8分）、
20题（8分）、
21题（8分）、
22题（12分）、
23题（13分）、/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
2025-2026七年级下册数学期中测试卷【押题A卷】
【北师版】
考试时间：120分钟 满分：120分 考试范围：第1章~第3章
注意事项：
1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。
2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
5.正确填涂
第Ⅰ卷（选择题共30分）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.）
1．下列是随机事件的是（ ）
A．太阳从东方升起 B．两个负数相乘，积是正数
C．13个人中至少有2人生肖相同 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
【答案】D
【分析】根据随机事件的定义，即可能发生也可能不发生的事件，对各选项逐一判断即可．
【详解】解：A．太阳从东方升起一定发生，属于必然事件，A不符合题意；
B．两个负数相乘，积一定是正数，属于必然事件，B不符合题意；
C．生肖共12种，13个人中一定至少有2人生肖相同，属于必然事件，C不符合题意；
D．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，结果不确定，属于随机事件，D符合题意．
2．（新情境试题·社会热点型）2025年我国“人造太阳”（全超导托卡马克装置）实现新突破，其等离子体运行温度稳定维持在1．5亿摄氏度以上，将150000000用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】科学记数法的一般形式为，要求满足，为整数，确定和的值即可得到正确结果．
【详解】解：将150000000用科学记数法表示正确的是．
3．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．任意画一多边形，其外角和是
D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
【答案】D
【分析】先明确不可能事件的定义，即在一定条件下一定不发生的事件，再逐一判断各选项即可得到结果．
【详解】解：A选项，经过红绿灯路口，可能遇到绿灯也可能遇到其他灯，属于随机事件，该选项不符合题意；
B选项，射击运动员射击一次，可能命中靶心也可能不命中，属于随机事件，该选项不符合题意；
C选项，任意多边形的外角和恒为，该事件一定发生，属于必然事件，该选项不符合题意；
D选项，袋中只装有白球和红球，没有黄球，∴一定不可能摸出黄球，该事件属于不可能事件，该选项符合题意．
4．下列事件为必然事件的是（ ）
A．小王参加本次数学考试，成绩是120分 B．某射击运动员射击一次，射中靶心
C．通常加热到时，水沸腾 D．打开电视机，正在播放电视剧
【答案】C
【分析】根据必然事件是一定条件下一定发生的事件，随机事件是可能发生也可能不发生的定义，逐一判断选项即可得到结果．
【详解】解：A、小王考试得120分是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，
B、射击一次射中靶心是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，
C、通常情况下，加热到时水沸腾是一定发生的事件，属于必然事件，
D、打开电视机正在播放电视剧是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】需根据同类项定义，单项式乘多项式，单项式乘单项式，幂的乘方的运算法则逐一判断选项．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴A错误；
B、，∴B错误；
C、，∴C错误；
D、根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得，∴D正确．
6．下列多项式乘法，不能用平方差公式的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】平方差公式要求两个二项式相乘，且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，满足该条件才能用平方差公式计算，据此逐一判断各选项即可．
【详解】解：A、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算；
B、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算；
C、，两项都互为相反数，没有相同项，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式计算；
D、，相同项为，互为相反数的项为和，符合平方差公式的使用条件，可以用平方差公式计算．
7．如图，直线、相交于点O，于点O，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据已知条件利用角度和差关系求出的度数，再利用对顶角的性质即可得出结果．
【详解】∵，
∴，
又∵，
∴，
∵直线、相交于点O，
∴．
8．如图为平面镜的光路图，入射光线经平面镜反射（入射角等于反射角），若，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平行线的性质可得，求出，再结合题意得出，即可得出结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵入射光线经平面镜反射（入射角等于反射角）
∴，
∴．
9．如图，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质可得，即可求解．
【详解】解：如图，根据题意，得，
∴，
∴，
∵，
∴．
10．（新情境试题·生活应用型）如图①，高铁顶上“受电弓”保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图②，已知，在某一时刻，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过作，根据得到，即可得到，，即可得到答案
【详解】解：过作，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。）
11．下列事件：①水涨船高（船在水中能自由浮动）；②购买1张彩票，中奖；③367人中至少有2人的生日在同一天．④掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上．其中是必然事件的是___（填序号）．
【答案】
①③
【分析】根据必然事件、随机事件的定义，对每个事件逐一判断，即可得出结论．
【详解】解：①水涨船高（船在水中能自由浮动），是一定发生的事件，属于必然事件；
②购买1张彩票，中奖，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件；
③一年最多有366天，因此367人中至少有2人的生日在同一天，是一定发生的事件，属于必然事件；
④掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件．
12．（新情境试题·社会热点型）若2025年11月14日16时40分，我国“神舟二十一号”载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，飞船在轨飞行总里程约18000000公里，首次实现了约3.5小时的快速交会对接，创造了载人航天的新纪录．将18000000用科学记数法表示为_____．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数. 确定的值时，小数点移动的位数等于的绝对值，原数绝对值大于等于10时，为正整数.
【详解】解：将原数的小数点向左移动7位得到，可得．
13．已知，则________．
【答案】81
【分析】由得到，再利用同底数幂的乘方运算法则将变形为，再代入求解即可．
【详解】解：∵
∴，
∴
．
14．（新情境试题·数学传统文化）常言道：不以规矩，不成方圆．这里的“矩”指的是矩尺，它的起源可追溯至先秦时期，主体为直角曲尺，是中国古代绘图测量使用的工具，如图，在同一平面内，将直尺和矩尺按如图方式摆放，若，则___________．
【答案】/54度
【详解】解：∵，
∴，
∴．
15．如图，将长方形纸条折叠，若，则的度数为______．
【答案】
【分析】由题意得：，，则，，然后通过角度和差即可求解．
【详解】解：如图，
由题意得：，，
∴，，
∴，
∴，
∴的度数为．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．（10分）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先计算积的乘方，同底数幂相乘和幂的乘方，然后计算加减；
（2）首先计算零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘法，然后计算加减．
【详解】（1）
．
（2）
．
17．（8分）某小区有一块长为，宽为的长方形空地，物业部门计划进行绿化（如图阴影部分），中间部分将修建一个仿古小景点（如图中间的正方形所示）．
(1)求绿化面积是多少平方米
(2)求出当，时的绿化面积．
【答案】(1)平方米
(2)平方米
【分析】本题考查了多项式乘法、完全平方公式及代数式求值．解题的关键是利用绿化面积等于长方形面积减去正方形面积，正确列式并化简，再代入数值求解．
（1）先分别表示出长方形和正方形的面积，再相减并化简；
（2）将代入第（1）问化简后的代数式直接计算．
【详解】（1）解：由题意，长方形空地的面积为，中间正方形小景点的边长为，面积为，
绿化面积为：
，
，
，
；
答：绿化面积是平方米；
（2）解：当时，
，
，
．
答：当时，绿化面积为150平方米．
18．（8分）在一个不透明的袋中装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外其余都相同．
(1)任意摸出1个球，摸到红球是____________事件，摸到黄球是____________事件；（填“不可能”“必然”或“随机”）
(2)从袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是多少？
(3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出1个球为黑球的概率是．求后来放入袋中的黑球的个数．
【答案】(1)随机 不可能
(2)
(3)18
【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的定义即可求解；
（2）求出白球占总数的几分之几即可；
（3）根据概率公式列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据概念可得：任意摸出1个球，摸到红球是随机事件，摸到黄球是不可能事件；
故答案为：随机，不可能.
（2）解：．
故摸到白球的概率是．
（3）解：设后来放入袋中的黑球的个数是．
依题意得: ，
解得．
故后来放入袋中的黑球的个数是18．
19．（8分）（新情境试题·社会热点型）2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，；求的度数．
【答案】
【分析】根据平行线的性质得到，再由题意得到，则，据此求解即可
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．（8分）（新情境试题·新定义问题）定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式．
例如，若，
则多项式就是双平方多项式．
根据你的观察，探究下面的问题：
(1)判断：多项式是不是双平方多项式．
(2)若多项式是双平方多项式，求整数的值．
(3)已知，，比较，的大小．
【答案】(1)是
(2)10
(3)
【分析】本题考查完全平方公式；
（1）利用完全平方公式配方后判断即可；
（2）利用完全平方公式配方得到，再根据双平方多项式列方程求解即可；
（3）先计算，即可比较大小．
【详解】（1）解：
∴多项式能够变形为两个整式的平方和，是双平方多项式．
（2）解：
，
∵多项式是双平方多项式，
∴，
解得．
（3）解：
∵，，
∴，即，
∴．
21．（8分）如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）首先根据得到，再根据进行角度转化计算即可得到，进而证明；
（2）首先根据得到，进行角度转化得到进而得到，即可求出的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．（12分）（新情境试题·综合与实践）阅读理解：若满足，求的值．
解：设，，则，，
所以．
(1)【类比探究】若满足，求的值；
(2)【联系拓展】若满足，则________．；（直接写出结果，不用说明理由．）
(3)【解决问题】如图，在长方形中，，，点，是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为120平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？
【答案】(1)100
(2)
(3)平方单位
【分析】（1）根据题目提供的方法进行计算即可；
（2）设，则，，然后运用完全平方公式变形求解即可；
（3）由题意得，则阴影部分的面积和为，由长方形的面积为120得，设，则，，然后运用完全平方公式变形求解即可．
【详解】（1）解：设，
则，，
∴．
（2）解：设，
则，，
∴．
（3）解：由题意得，，
∴阴影部分的面积和为，
∵长方形的面积为120，
∴
∴，
设，
则，，
∴，
∴阴影部分的面积和为平方单位．
23．（13分）结合图形，解答下列各题：
(1)问题：如图所示，若，，求的度数．
(2)问题迁移：如图所示，，点在的上方，则之间有何数量关系？请说明理由．
(3)联想拓展：如图所示，在（）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，求的度数．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）过点作，利用与平行的性质，推出也平行于；再依据平行线的性质，通过内错角相等求出的度数，借助同旁内角互补算出的度数，最后将与相加，得到的度数；
（2）过点作，结合与平行的条件，得出平行于;利用平行线内错角相等的性质，分别得到与、与的等量关系，再根据角的组成关系，通过等量代换整理出与、的数量关系；
（3）根据角平分线的定义，将表示为的一半、表示为的一半，结合第（2）题可得出、，代入角平分线的等量关系，整理后得到与的数量关系，即可计算出的度数．
【详解】（1）解：如图1，过点作，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
（2）解：．
理由：如图2，过点作，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（3）解：由（2）的结论，同理可得：，，
∵平分，平分，
∴，，
∴．
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