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浙江台州市黄岩区2025-2026学年度八年级上学期数学期末考试试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2026八上·黄岩期末）下列各个图形中，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026八上·黄岩期末）作△ABC的AB边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2026八上·黄岩期末）下列说法中，能确定物体具体位置的是（　　）
A．距离学校500米 B．北偏东35°方向
C．北纬30°，东经120° D．在人民广场
4．（2026八上·黄岩期末）下列不等式变形正确的是（　　）
A．由x>y，得x+1y，得2-x<2-y
C．由3x>3y，得xy
5．（2026八上·黄岩期末）下列各组长度的线段，不能组成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．，2， C．5，12，13 D．6，8，10
6．（2026八上·黄岩期末）下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．等腰三角形的两个底角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．等边三角形的三个角都是60° D．对顶角相等
7．（2026八上·黄岩期末）如图所示，AP垂直于∠ABC的平分线BP于点P，△BPC的面积为10cm2，则△ABC的面积为（　　）
A．15cm2 B． C．25cm2 D．30cm2
8．（2026八上·黄岩期末）已知平面直角坐标系中有一点P（m，3m-2），无论m取何值，点P不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2026八上·黄岩期末）如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN交∠ACB的平分线于点D，过点D作DE⊥CB，交CB的延长线于点E.若CB=5，BE=3，则AC的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
10．（2026八上·黄岩期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足则下列说法正确的是（　　）
A．AB=AC B．2AB=AC C．2AB=BC D．2AC=BC
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2026八上·黄岩期末）把点P（-2，7）向左平移2个单位长度，得到点Q的坐标是　 　。
12．（2026八上·黄岩期末）如图，已知∠C=∠D，AC=AD，增加一个条件　 　，使△ABC≌△AED.（不添加辅助线且仅用图中已有字母表示）
13．（2026八上·黄岩期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为　 　°.
14．（2026八上·黄岩期末）如图，直线相交于点P，则关于x的不等式kx+b15．（2026八上·黄岩期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=2.在斜边AB上取点E，使得AE=BC，连接CE，将△BCE沿着直线CE翻折，得到△CDE，点D与点B对应，CD交AB于点F.则四边形ACED的面积为　 　.
16．（2026八上·黄岩期末）【背景】：小明为新买的充电宝做了如下充放电性能测试：实验开始，充电宝充电口接入电源，开始给充电宝充电，一段时间后，在不断开电源的情况下，充电宝输出口接入电子设备并为其充电，又过了一段时间，充电宝断开电源，直到充电宝电量耗尽，电子设备电量未充满，测试结束.充电宝充电功率和输出功率都恒定.充电宝电量W与测试时间t的关系（部分数据）如图所示.
【问题】：小明本次的测试时间为　 　分钟.
三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
17．（2026八上·黄岩期末）解不等式（组）.
（1）3x-1≥2x+4；
（2）
18．（2026八上·黄岩期末）如图，AC与BD相交于点E，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD.
19．（2026八上·黄岩期末）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中A（-4，5），B（-2，1），C（-1，3）.
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出对应点A1的坐标；
（2）在x轴上标出点P，使PA+PB的和最小，并求出PA+PB的最小值.
20．（2026八上·黄岩期末）已知一次函数y=（k-1）x+k2-1（k≠1）的图象经过原点.
（1）求k的值；
（2）点A（1，p），点B（-1，q）都在函数图象上，请比较p，q的大小.
21．（2026八上·黄岩期末）某校举行八年级英语演讲比赛，需购买A，B两种笔记本作为奖品.若购买9本A笔记本和6本B笔记本，则一共需要156元；若购买8本A笔记本和12本B笔记本，则一共需要192元.
（1）求A，B两种笔记本每本的价格分别是多少元
（2）若该校计划购买两种笔记本共30本，并且购买A笔记本的数量至少比B笔记本的数量多6本，但又不超过B笔记本数量的2倍.则购买这两种笔记本各多少本时，费用最少 最少费用是多少元
22．（2026八上·黄岩期末）如图1，A，B两地与图书馆位于一直线上且位于图书馆两侧.甲，乙两位同学分别从A，B两地出发，相约到图书馆学习.已知甲步行先出发，几分钟后乙从B地以100米/分钟的速度慢跑出发，并且比甲先到达图书馆.下图2是表示两人之间的距离s（米）和甲离开A地的时间t（分钟）的关系图.
（1）B地到图书馆的路程是　 　米；
（2）求甲的步行速度；
（3）求两人何时相距2300米
23．（2026八上·黄岩期末）如图1，在平面直角坐标系中，点P（a，b），Q（m，n），则P，Q两点之间的距离可以表示为例如：A（2，1），B（3，2），则
（1）已知M（1，-2），N（-2，2），求线段MN的长度；
（2）在平面直角坐标系中，点C（k，3），D（k+1，1），E（-1，2），连接CD，CE，DE，若∠DCE=90°，求k的值；
（3）在（2）的条件下，连接OC，与DE相交于点F，求△EFC与△DFC的面积之比.
24．（2026八上·黄岩期末）如图1，△ABC中，AB=AC，点D，E分别是边AB，AC上的动点，且AD=CE.
（1）当点D在AC的垂直平分线上时，连接CD，DE.
①求证：△CDE是等腰三角形；
②求证：∠ADE=∠BCD；
（2）如图2，在（1）的条件下过点D作DF⊥BC，垂足为F，求证：BC-DE=2BF；
（3）如图3，连接CD，BE，交点为G，若S△ABC=a，直接写出四边形ADGE面积的最大值（结果用含a的式子表示）.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图形沿任意直线折叠，直线两旁部分均无法完全重合，不是轴对称图形，A错误；
B、图形沿任意直线折叠，直线两旁部分均无法完全重合，不是轴对称图形，B错误；
C、图形沿任意直线折叠，直线两旁部分均无法完全重合，不是轴对称图形，C错误；
D、图形沿竖直中线折叠，直线两旁部分能够完全重合，是轴对称图形，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形的定义（沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合），逐一寻找每个选项的对称轴，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：A、三角板的直角边未与AB重合，无法保证垂线垂直于AB，A错误．
B、画出的线段垂直于AC，不是AB边上的高，B错误；
C、三角板的一条直角边与AB重合，另一条直角边经过点C，画出的线段垂直于AB，是AB边上的高，C正确；
D、画出的线段垂直于BC，不是AB边上的高，D错误．
故答案为：C.
【分析】先根据三角形的高定义（从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高），再根据用三角板作高的规范：将三角板的一条直角边与AB重合，另一条直角边经过点C，沿这条直角边画线即为AB边上的高，据此判断选项C符合要求．
3．【答案】C
【知识点】有序数对；用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：A、只给出“距离学校500米”，缺少方向信息，位置不唯一，A错误；
B、只给出“北偏东35°方向”，缺少距离信息，位置不唯一，B错误；
C、“北纬30°，东经120°”是一组完整的经纬度坐标，能唯一确定地球上的具体位置，C正确；
D、只给出“在人民广场”，人民广场是一个区域，范围较大，无法确定精确位置，D错误．
故答案为：C.
【分析】要确定物体的具体位置，需要至少两个独立的定位信息（如经纬度，坐标等），单一信息无法锁定位置．
4．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由x>y，两边同时加 1，得x+1>y+1，而非x+1B、由x>y，两边同时乘-1，得-x<-y；两边同时再加2，得2-x<2-y，B正确；
C、由3x>3y，两边同时除以3，可得x>y，而非xD、由，两边同时乘-4，得xy，D错误．
故答案为：B.
【分析】先根据不等式的三条基本性质（不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变），逐一验证即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、因为22+32=42+92=13，最长边42=16，而13≠16，即22+32≠42，所以该组线段不能组成直角三角形，A正确；
B、因为，最长边，而6=6，即，所以该组线段能组成直角三角形，B错误；
C、因为52+122=25+144=169，最长边132=169，而169=169，即52+122=132，所以该组线段能组成直角三角形，C错误；
D、因为62+82=36+64=100，最长边102=100，而169=169，即62+82=102，所以该组线段能组成直角三角形，D错误.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理，计算较短两边的平方和a2+b2，并与最长边的平方c2进行比较， 若a2+b2=c2，则是直角三角形；否则不是．
6．【答案】D
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、原命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等．逆命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．所以这个逆命题是真命题，A错误；
B、原命题：如果内错角相等，那么两直线平行．逆命题：如果两直线平行，那么内错角相等．所以这个逆命题是真命题，B错误；
C、原命题：如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个角都是60°．逆命题：如果一个三角形的三个角都是60°，那么这个三角形是等边三角形．所以这个逆命题是真命题，C错误；
D、原命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．所以这个逆命题是假命题，D正确．
故答案为：D.
【分析】先根据“逆命题”的定义（把原命题的条件和结论互换位置得到的新命题），依次写出每个选项的逆命题，结合几何知识判断其真假，即可得出答案．
7．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长AP，交BC于点D．
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠DBP．
又∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°．
在△ABP和△DBP中，
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP=DP，即P是AD的中点．
∴△ABP与△DBP等底同高，故S△ABP=S△DBP；
△ACP与△DCP等底同高，故S△ACP=S△DCP．
∴S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BPC=S△DBP+S△DCP+S△BPC=S△BPC+S△BPC=2×S△BPC，
∵S△BPC=10cm2，
∴S△ABC=2×10=20cm2．
故答案为：B.
【分析】先通过角平分线和垂直的条件，构造全等三角形△ABP≌△DBP，得到P是AD的中点；再利用“等底同高的三角形面积相等”，得出△ABP与△DBP面积相等，△ACP与△DCP面积相等；最后将△ABC的面积转化为2倍的△BPC的面积，代入S△BPC=10cm2计算即可得到答案．
8．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A、P(m，3m-2)在第一象限时，则m>0且3m-2>0，解得，此时点P可能在第一象限，A错误；
B、P(m，3m-2)在第二象限时，则m<0且3m-2>0，无解，即不存在这样的m，此时点P不可能在第二象限，B正确；
C、P(m，3m-2)在第三象限时，则m<0且3m-2<0，解得m<0，此时点P可能在第三象限，C错误；
D、P(m，3m-2)在第四象限时，则m>0且3m-2<0，解得，此时点P可能在第四象限，D错误.
故答案为：B.
【分析】先根据各象限内点的坐标符号特征（第一象限(+，+)，第二象限(-，+)，第三象限(-，-)；第四象限：(+，-)），再对每个象限列出对应的不等式组，解不等式组得出结果判断是否满足P所在的象限．
9．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，交于M，N，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线．
∵点D在MN上，
∴AD=BD．
过点D作DF⊥AC于F，
∵CD平分∠ACB，DE⊥CB，DF⊥AC，
∴DF=DE
在Rt△ADF和Rt△BDE中，
∴Rt△ADF≌Rt△BDE（HL），
∴AF=BE=3
∵CB=5，BE=3，且E在CB延长线上，
∴CE=CB+BE=5+3=8．
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），
∴CF=CE=8
∵AC=AF+CF，∴AC=3+8=11．
故答案为：D.
【分析】先根据作图得到MN是AB的垂直平分线，推出AD=BD；再利用角平分线性质得到DF=DE；接着通过两次HL全等分别证明AF=BE和CF=CE；最后将AF与CF相加，得到AC的长度为11．
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设AB=a，AC=b，BC=c．
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴a2+b2=c2．
以AB为直径的半圆面积，
以AC为直径的半圆面积，
以BC为直径的半圆面积，
△ABC的面积，正方形面积S3=c2．
由面积割补可得S1+S2=SAB+SAC+2S△ABC-SBC，代入得．
∵a2+b2=c2，
∴，
∴S1+S2=ab．
∵4(S1+S2)=S3，
∴4ab=c2．
又∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=4ab，即a2-4ab+b2=0．
结合选项验证：若AB=AC，则a=b，此时c2=2a2，4ab=4a2=2c2，满足题设面积关系．
故答案为：A.
【分析】 先由勾股定理得到三边平方关系，再用半圆与直角三角形面积公式表示各部分面积，通过割补法得出S1+S2=ab；再将4(S1+S2)=S3 转化为等式 4ab=c2，与勾股定理联立，最后验证选项得出 AB=AC成立。
11．【答案】(-4，7)
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵点P(-2，7)向左平移2个单位长度，
∴横坐标减2，纵坐标不变，即x=-2-2=-4，y=7，
∴点Q的坐标是(-4，7)．
故答案为：(-4，7).
【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律（向左平移时，横坐标减去平移的单位长度，纵坐标保持不变），将点P(-2，7)的横坐标-2减去2，纵坐标7不变，即可得到平移后点Q的坐标．
12．【答案】∠CAB=∠DAE
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠C=∠D，AC=AD，∠CAB=∠DAE，∴△ABC≌△AED（ASA）．
故答案为：∠CAB=∠DAE.
【分析】根据三角形全等的判定定理，已知一组角相等（∠C=∠D）和一组边相等（AC=AD），若补充一组夹边的角相等（∠CAB=∠DAE），可用ASA判定全等.
13．【答案】95
【知识点】等边三角形的性质；三角形的外角和
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°．
∵∠ADB是△BDC的外角，
∴∠ADB=∠DBC+∠C．
又∵∠DBC=35°，
∴∠ADB=35°+60°=95°．
故答案为：95.
【分析】先利用等边三角形的性质得到∠C=60°，再根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，将∠ADB转化为∠DBC与∠C的和，代入已知角度∠DBC=35°计算即可得到结果．
14．【答案】x>2
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵直线y1=mx与y2=kx+b相交于点P，且点P的横坐标为2，
∴当x=2时，kx+b=mx．
由函数图象可知，当x>2时，直线y2=kx+b在直线y1=mx的下方，即kx+b∴不等式kx+b2．
故答案为：x>2.
【分析】先确定一次函数与一元一次不等式的关系是不等式kx+b2．
15．【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=2，
∴BC=AC=2，，∠BAC=∠B=45°．
由翻折得△CDE≌△CBE，
∴CD=CB=2，DE=BE，∠CDE=∠B=45°．
又∵AE=BC=2，
∴AE=AC=2，△ACE为等腰三角形，
∴，
∴∠ECB=90°-67.5°=22.5°，∠ECD=∠ECB=22.5°，∠ACD=∠ACE-∠ECD=67.5°-22.5°=45°．
在△ACF中，∠BAC=45°，∠ACD=45°，
∴∠AFC=90°，AF=CF．
由AC=2，得，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
．
∵△CDE≌△CBE，
∴．
∴．
故答案为：2.
【分析】先根据等腰直角三角形性质求出边长BC=2，与角度∠BAC=∠B=45°，再利用翻折得到△CDE≌△CBE，对应边CD=CB=2，DE=BE，对应角∠CDE=∠B=45°；接着通过角度计算得出∠ACD=45°，从而得到△ACF为等腰直角三角形，求出线段；最后将四边形面积拆分为△ACE（面积）与△CDE（面积）面积之和，计算得结果为2．
16．【答案】55
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：设充电宝充电功率为P1（瓦），输出功率为P2（瓦）．
0~10分钟：仅充电，电量从0到3n，
∴10P1=3n，即；
10~30分钟：充电同时对外放电，电量从3n到5n，时长20分钟，
∴20(P1-P2)=5n-3n=2n，代入，得，解得；
30分钟后：停止充电，仅对外放电，初始电量5n，放电时间分钟，
∴总测试时间为30+25=55分钟．
故答案为：55.
【分析】先根据0~10分钟的充电数据，求出充电功率；再根据10~30分钟“充电+放电”的净增电量，求出输出功率；最后用总电量5n除以输出功率P2，得到放电时间25分钟，加上之前的30分钟，总测试时间为55分钟．
17．【答案】（1）解：3x-1≥2x+4.
3x-2x≥4+1.
x≥5
（2）解：
解①得x≥-1
解②得3x+4>8x-16.
3x-8x>-16-4.
-5x>-20
x<4
∴原不等式组的解集是-1≤x<4
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)先根据不等式的基本性质，将含x的项移到左边，常数项移到右边，再合并同类项，得到x≥5；
(2)先分别解出两个不等式的解集：x≥-1和x<4，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则，取公共部分得到不等式组的解集-1≤x<4．
18．【答案】证明：∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
即∠ABC=∠DCB.
在△ABC与△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA）.
∴AB=CD.
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】先根据已知角∠1=∠2，∠3=∠4，利用等式性质相加得到∠ABC=∠DCB；再根据ASA判定定理，结合公共边BC=CB，已知角∠2=∠1，证明△ABC≌△DCB；最后根据全等三角形对应边相等的性质，推导出AB=CD．
19．【答案】（1）解：如图，
△A1B1C1 为所作，点A1的坐标是（4，5）
（2）解：如图，作点A关于x轴的对称点A'(-4，-5)，连接A'B，与x轴的交点即为所求点P.
由A'(-4，-5)，B(-2，1)，根据两点间距离公式，
，
∴PA+PB的最小值是（或.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)先根据平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标规律（纵坐标不变，横坐标互为相反数），求出各顶点A，B，C对称点坐标A1，B1，C1，再顺次连接A1B1，B1C1，C1A1，即得 △A1B1C1 ；
(2)先利用轴对称性质将PA转化为PA'，再根据两点之间线段最短，将PA+PB转化为线段A'B的长度，最后用两点间距离公式计算最小值．
20．【答案】（1）解：∵一次函数y=(k-1)x+k2-1(k≠1)的图象经过原点，
∴当x=0时，y=0，且一次项系数k-1≠0，
∴代入得k2-1=0，且k≠1，
∴解得k=±1，且k≠1，
∴k=-1．
（2）解：∵k=-1，
∴该一次函数的解析式为y=(-1-1)x+(-1)2-1=-2x．
∵一次项系数-2<0，
∴y随x的增大而减小．
∵点A(1，p)，点B(-1，q)都在该函数图象上，且1>-1，
∴p【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)先根据一次函数图象经过原点的性质，得到常数项为0且斜率不为0的两个条件，列方程k2-1=0和不等式k≠1，求解得k=-1；
(2)先将k=-1代入函数解析式，得到y=-2x；再根据一次函数的性质，因斜率k=-2<0知y随x增大而减小；最后比较两点横坐标1>-1，推导出p21．【答案】（1）解：设A，B两种笔记本分别为x元/本，y元/本，
由题意得
解得
答：A笔记本12元/本，B笔记本8元/本.
（2）解：设购买A种笔记本a本，则B种笔记本（30-a）本，总费用为W元，
由题意得
解得18≤a≤20.
∴W=12a+8（30-a）=4a+240.
∵k=4>0，
∴W随a的增大而增大，
∵当a=18时，30-a=12，Wmin=312（元）.
答：购买A笔记本18本，B笔记本12本时，总费用最小，最小费用312元.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】(1)先根据“9本A+6本B=156元”和“8本A+12本B=192元”列出二元一次方程组，通过消元法求解得到A，B单价分别为12元，8元；
(2)先根据数量限制条件列出不等式组，求出a的取值范围18≤a≤20，再建立总费用W=4a+240的一次函数模型，利用一次函数单调性，得出当a=18时费用最小为312元．
22．【答案】（1）2000
（2）解：（5000-2000）÷50=60（米/分钟）
答：甲的步行速度为60米/分钟.
（3）解：当t=5分钟时，甲步行路程是300米，∴M（5，4700）.
当t=25分钟时，甲步行路程是1500米，乙慢跑的路程是2000米，
∴N（25，1500）.
∵图象过点M（5，4700），N（25，1500），
∴当y=2300时，x=20（分钟）.
答：甲出发20分钟时，两人相距2300米.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解： (1) ∵乙从B地出发到图书馆用时25-5=20分钟，速度为100米/分钟，
∴B地到图书馆的路程为100×20=2000米．
故答案为：2000.
【分析】(1)先根据乙的速度和跑步时间（25-5=20分钟），计算出B地到图书馆的路程为100×20=2000米；
(2)先算出A地到图书馆的路程为5000-2000=3000米，再除以甲的总用时50分钟，得到甲的步行速度为60米/分钟；
(3)先根据图象上两点M(5，4700)，N(25，1500)求出两人距离的函数解析式yMN=-160t+5500，再令y=2300解方程，得到符合条件的时间t=20分钟．
23．【答案】（1）解：
（2）解：
∵∠DCE=90°，
∴k=1.
（3）解：由（2）得C（1，3），D（2，1），E（-1，2），
，
解得
.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；通过函数图象获取信息；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)先根据两点间距离公式，代入M，N坐标，计算得MN=5；
(2)先根据勾股定理，列出DE2=CD2+CE2，再代入坐标计算各边平方，解方程得k=1；
(3)先求出直线DE，OC的解析式，，联立得交点F坐标，再计算EF，FD长度，最后利用同高三角形面积比等于底边长之比，得出面积比为1．
24．【答案】（1）解：①∵点D在AC的垂直平分线上，
∴AD=CD.
∵AD=CE，
∴CD=CE.
∴△CDE是等腰三角形.
②设∠A=x°，
∵AD=CD，
∴∠DCA=∠A=x°
∵AB=AC，CD=CE.
∵∠CED为△ADE的外角，
∴∠CED=∠A+∠ADE.
∴∠ADE=∠BCD.
（2）解：如图，在BC上取点H，使得DH=BD，
∵BD=DH，DF⊥BC，
即BH=2BF.
由（1）可得∠CED=∠B
∴∠CED=∠DHB.
∴∠DHC=∠DEA.
∵AB=AC，AD=CE，
∴AB-AD=AC-CE.
即BD=AE.
∴AE=DH.
由（1）∠ADE=∠BCD.
∴△ADE≌△DCH（AAS）.
∴DE=CH.
∴BC-CH=BH.
即BC-DE=2BF.
（3）解：a
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的综合；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：(3) 已知S△ABC=a，当时，四边形ADGE面积取得最大值，最大值为．
故答案为：.
【分析】(1)①先根据线段垂直平分线性质得AD=CD，结合已知AD=CE推得CD=CE，从而证明△CDE是等腰三角形；②先设∠A=x°，利用等腰三角形性质分别表示∠BCD和∠ADE，再通过三角形外角性质∠CED=∠A+∠ADE，从而证明∠ADE=∠BCD相等；
(2)先构造等腰△BDH得BH=2BF，再通过AAS证明△ADE≌△DCH得DE=CH，最后结合线段和差关系得BC-DE=2BF；
(3)通过几何最值分析，当时，四边形ADGE面积最大为．
1 / 1浙江台州市黄岩区2025-2026学年度八年级上学期数学期末考试试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2026八上·黄岩期末）下列各个图形中，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图形沿任意直线折叠，直线两旁部分均无法完全重合，不是轴对称图形，A错误；
B、图形沿任意直线折叠，直线两旁部分均无法完全重合，不是轴对称图形，B错误；
C、图形沿任意直线折叠，直线两旁部分均无法完全重合，不是轴对称图形，C错误；
D、图形沿竖直中线折叠，直线两旁部分能够完全重合，是轴对称图形，D正确.
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形的定义（沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合），逐一寻找每个选项的对称轴，即可得出答案.
2．（2026八上·黄岩期末）作△ABC的AB边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：A、三角板的直角边未与AB重合，无法保证垂线垂直于AB，A错误．
B、画出的线段垂直于AC，不是AB边上的高，B错误；
C、三角板的一条直角边与AB重合，另一条直角边经过点C，画出的线段垂直于AB，是AB边上的高，C正确；
D、画出的线段垂直于BC，不是AB边上的高，D错误．
故答案为：C.
【分析】先根据三角形的高定义（从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高），再根据用三角板作高的规范：将三角板的一条直角边与AB重合，另一条直角边经过点C，沿这条直角边画线即为AB边上的高，据此判断选项C符合要求．
3．（2026八上·黄岩期末）下列说法中，能确定物体具体位置的是（　　）
A．距离学校500米 B．北偏东35°方向
C．北纬30°，东经120° D．在人民广场
【答案】C
【知识点】有序数对；用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：A、只给出“距离学校500米”，缺少方向信息，位置不唯一，A错误；
B、只给出“北偏东35°方向”，缺少距离信息，位置不唯一，B错误；
C、“北纬30°，东经120°”是一组完整的经纬度坐标，能唯一确定地球上的具体位置，C正确；
D、只给出“在人民广场”，人民广场是一个区域，范围较大，无法确定精确位置，D错误．
故答案为：C.
【分析】要确定物体的具体位置，需要至少两个独立的定位信息（如经纬度，坐标等），单一信息无法锁定位置．
4．（2026八上·黄岩期末）下列不等式变形正确的是（　　）
A．由x>y，得x+1y，得2-x<2-y
C．由3x>3y，得xy
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由x>y，两边同时加 1，得x+1>y+1，而非x+1B、由x>y，两边同时乘-1，得-x<-y；两边同时再加2，得2-x<2-y，B正确；
C、由3x>3y，两边同时除以3，可得x>y，而非xD、由，两边同时乘-4，得xy，D错误．
故答案为：B.
【分析】先根据不等式的三条基本性质（不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变），逐一验证即可得出答案.
5．（2026八上·黄岩期末）下列各组长度的线段，不能组成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．，2， C．5，12，13 D．6，8，10
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、因为22+32=42+92=13，最长边42=16，而13≠16，即22+32≠42，所以该组线段不能组成直角三角形，A正确；
B、因为，最长边，而6=6，即，所以该组线段能组成直角三角形，B错误；
C、因为52+122=25+144=169，最长边132=169，而169=169，即52+122=132，所以该组线段能组成直角三角形，C错误；
D、因为62+82=36+64=100，最长边102=100，而169=169，即62+82=102，所以该组线段能组成直角三角形，D错误.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理，计算较短两边的平方和a2+b2，并与最长边的平方c2进行比较， 若a2+b2=c2，则是直角三角形；否则不是．
6．（2026八上·黄岩期末）下列命题的逆命题是假命题的是（　　）
A．等腰三角形的两个底角相等 B．内错角相等，两直线平行
C．等边三角形的三个角都是60° D．对顶角相等
【答案】D
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、原命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等．逆命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形．所以这个逆命题是真命题，A错误；
B、原命题：如果内错角相等，那么两直线平行．逆命题：如果两直线平行，那么内错角相等．所以这个逆命题是真命题，B错误；
C、原命题：如果一个三角形是等边三角形，那么它的三个角都是60°．逆命题：如果一个三角形的三个角都是60°，那么这个三角形是等边三角形．所以这个逆命题是真命题，C错误；
D、原命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．所以这个逆命题是假命题，D正确．
故答案为：D.
【分析】先根据“逆命题”的定义（把原命题的条件和结论互换位置得到的新命题），依次写出每个选项的逆命题，结合几何知识判断其真假，即可得出答案．
7．（2026八上·黄岩期末）如图所示，AP垂直于∠ABC的平分线BP于点P，△BPC的面积为10cm2，则△ABC的面积为（　　）
A．15cm2 B． C．25cm2 D．30cm2
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长AP，交BC于点D．
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠DBP．
又∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠DPB=90°．
在△ABP和△DBP中，
∴△ABP≌△DBP（ASA），
∴AP=DP，即P是AD的中点．
∴△ABP与△DBP等底同高，故S△ABP=S△DBP；
△ACP与△DCP等底同高，故S△ACP=S△DCP．
∴S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BPC=S△DBP+S△DCP+S△BPC=S△BPC+S△BPC=2×S△BPC，
∵S△BPC=10cm2，
∴S△ABC=2×10=20cm2．
故答案为：B.
【分析】先通过角平分线和垂直的条件，构造全等三角形△ABP≌△DBP，得到P是AD的中点；再利用“等底同高的三角形面积相等”，得出△ABP与△DBP面积相等，△ACP与△DCP面积相等；最后将△ABC的面积转化为2倍的△BPC的面积，代入S△BPC=10cm2计算即可得到答案．
8．（2026八上·黄岩期末）已知平面直角坐标系中有一点P（m，3m-2），无论m取何值，点P不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：A、P(m，3m-2)在第一象限时，则m>0且3m-2>0，解得，此时点P可能在第一象限，A错误；
B、P(m，3m-2)在第二象限时，则m<0且3m-2>0，无解，即不存在这样的m，此时点P不可能在第二象限，B正确；
C、P(m，3m-2)在第三象限时，则m<0且3m-2<0，解得m<0，此时点P可能在第三象限，C错误；
D、P(m，3m-2)在第四象限时，则m>0且3m-2<0，解得，此时点P可能在第四象限，D错误.
故答案为：B.
【分析】先根据各象限内点的坐标符号特征（第一象限(+，+)，第二象限(-，+)，第三象限(-，-)；第四象限：(+，-)），再对每个象限列出对应的不等式组，解不等式组得出结果判断是否满足P所在的象限．
9．（2026八上·黄岩期末）如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN交∠ACB的平分线于点D，过点D作DE⊥CB，交CB的延长线于点E.若CB=5，BE=3，则AC的长为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵分别以A，B为圆心，大于AB为半径画弧，交于M，N，
∴直线MN是线段AB的垂直平分线．
∵点D在MN上，
∴AD=BD．
过点D作DF⊥AC于F，
∵CD平分∠ACB，DE⊥CB，DF⊥AC，
∴DF=DE
在Rt△ADF和Rt△BDE中，
∴Rt△ADF≌Rt△BDE（HL），
∴AF=BE=3
∵CB=5，BE=3，且E在CB延长线上，
∴CE=CB+BE=5+3=8．
在Rt△CDE和Rt△CDF中，
∴Rt△CDE≌Rt△CDF（HL），
∴CF=CE=8
∵AC=AF+CF，∴AC=3+8=11．
故答案为：D.
【分析】先根据作图得到MN是AB的垂直平分线，推出AD=BD；再利用角平分线性质得到DF=DE；接着通过两次HL全等分别证明AF=BE和CF=CE；最后将AF与CF相加，得到AC的长度为11．
10．（2026八上·黄岩期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足则下列说法正确的是（　　）
A．AB=AC B．2AB=AC C．2AB=BC D．2AC=BC
【答案】A
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设AB=a，AC=b，BC=c．
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴a2+b2=c2．
以AB为直径的半圆面积，
以AC为直径的半圆面积，
以BC为直径的半圆面积，
△ABC的面积，正方形面积S3=c2．
由面积割补可得S1+S2=SAB+SAC+2S△ABC-SBC，代入得．
∵a2+b2=c2，
∴，
∴S1+S2=ab．
∵4(S1+S2)=S3，
∴4ab=c2．
又∵a2+b2=c2，
∴a2+b2=4ab，即a2-4ab+b2=0．
结合选项验证：若AB=AC，则a=b，此时c2=2a2，4ab=4a2=2c2，满足题设面积关系．
故答案为：A.
【分析】 先由勾股定理得到三边平方关系，再用半圆与直角三角形面积公式表示各部分面积，通过割补法得出S1+S2=ab；再将4(S1+S2)=S3 转化为等式 4ab=c2，与勾股定理联立，最后验证选项得出 AB=AC成立。
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2026八上·黄岩期末）把点P（-2，7）向左平移2个单位长度，得到点Q的坐标是　 　。
【答案】(-4，7)
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵点P(-2，7)向左平移2个单位长度，
∴横坐标减2，纵坐标不变，即x=-2-2=-4，y=7，
∴点Q的坐标是(-4，7)．
故答案为：(-4，7).
【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律（向左平移时，横坐标减去平移的单位长度，纵坐标保持不变），将点P(-2，7)的横坐标-2减去2，纵坐标7不变，即可得到平移后点Q的坐标．
12．（2026八上·黄岩期末）如图，已知∠C=∠D，AC=AD，增加一个条件　 　，使△ABC≌△AED.（不添加辅助线且仅用图中已有字母表示）
【答案】∠CAB=∠DAE
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵∠C=∠D，AC=AD，∠CAB=∠DAE，∴△ABC≌△AED（ASA）．
故答案为：∠CAB=∠DAE.
【分析】根据三角形全等的判定定理，已知一组角相等（∠C=∠D）和一组边相等（AC=AD），若补充一组夹边的角相等（∠CAB=∠DAE），可用ASA判定全等.
13．（2026八上·黄岩期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为　 　°.
【答案】95
【知识点】等边三角形的性质；三角形的外角和
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°．
∵∠ADB是△BDC的外角，
∴∠ADB=∠DBC+∠C．
又∵∠DBC=35°，
∴∠ADB=35°+60°=95°．
故答案为：95.
【分析】先利用等边三角形的性质得到∠C=60°，再根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，将∠ADB转化为∠DBC与∠C的和，代入已知角度∠DBC=35°计算即可得到结果．
14．（2026八上·黄岩期末）如图，直线相交于点P，则关于x的不等式kx+b【答案】x>2
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵直线y1=mx与y2=kx+b相交于点P，且点P的横坐标为2，
∴当x=2时，kx+b=mx．
由函数图象可知，当x>2时，直线y2=kx+b在直线y1=mx的下方，即kx+b∴不等式kx+b2．
故答案为：x>2.
【分析】先确定一次函数与一元一次不等式的关系是不等式kx+b2．
15．（2026八上·黄岩期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=2.在斜边AB上取点E，使得AE=BC，连接CE，将△BCE沿着直线CE翻折，得到△CDE，点D与点B对应，CD交AB于点F.则四边形ACED的面积为　 　.
【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=2，
∴BC=AC=2，，∠BAC=∠B=45°．
由翻折得△CDE≌△CBE，
∴CD=CB=2，DE=BE，∠CDE=∠B=45°．
又∵AE=BC=2，
∴AE=AC=2，△ACE为等腰三角形，
∴，
∴∠ECB=90°-67.5°=22.5°，∠ECD=∠ECB=22.5°，∠ACD=∠ACE-∠ECD=67.5°-22.5°=45°．
在△ACF中，∠BAC=45°，∠ACD=45°，
∴∠AFC=90°，AF=CF．
由AC=2，得，
∴，
∵，
∴．
∴．
∵，
．
∵△CDE≌△CBE，
∴．
∴．
故答案为：2.
【分析】先根据等腰直角三角形性质求出边长BC=2，与角度∠BAC=∠B=45°，再利用翻折得到△CDE≌△CBE，对应边CD=CB=2，DE=BE，对应角∠CDE=∠B=45°；接着通过角度计算得出∠ACD=45°，从而得到△ACF为等腰直角三角形，求出线段；最后将四边形面积拆分为△ACE（面积）与△CDE（面积）面积之和，计算得结果为2．
16．（2026八上·黄岩期末）【背景】：小明为新买的充电宝做了如下充放电性能测试：实验开始，充电宝充电口接入电源，开始给充电宝充电，一段时间后，在不断开电源的情况下，充电宝输出口接入电子设备并为其充电，又过了一段时间，充电宝断开电源，直到充电宝电量耗尽，电子设备电量未充满，测试结束.充电宝充电功率和输出功率都恒定.充电宝电量W与测试时间t的关系（部分数据）如图所示.
【问题】：小明本次的测试时间为　 　分钟.
【答案】55
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：设充电宝充电功率为P1（瓦），输出功率为P2（瓦）．
0~10分钟：仅充电，电量从0到3n，
∴10P1=3n，即；
10~30分钟：充电同时对外放电，电量从3n到5n，时长20分钟，
∴20(P1-P2)=5n-3n=2n，代入，得，解得；
30分钟后：停止充电，仅对外放电，初始电量5n，放电时间分钟，
∴总测试时间为30+25=55分钟．
故答案为：55.
【分析】先根据0~10分钟的充电数据，求出充电功率；再根据10~30分钟“充电+放电”的净增电量，求出输出功率；最后用总电量5n除以输出功率P2，得到放电时间25分钟，加上之前的30分钟，总测试时间为55分钟．
三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
17．（2026八上·黄岩期末）解不等式（组）.
（1）3x-1≥2x+4；
（2）
【答案】（1）解：3x-1≥2x+4.
3x-2x≥4+1.
x≥5
（2）解：
解①得x≥-1
解②得3x+4>8x-16.
3x-8x>-16-4.
-5x>-20
x<4
∴原不等式组的解集是-1≤x<4
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)先根据不等式的基本性质，将含x的项移到左边，常数项移到右边，再合并同类项，得到x≥5；
(2)先分别解出两个不等式的解集：x≥-1和x<4，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则，取公共部分得到不等式组的解集-1≤x<4．
18．（2026八上·黄岩期末）如图，AC与BD相交于点E，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD.
【答案】证明：∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
即∠ABC=∠DCB.
在△ABC与△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA）.
∴AB=CD.
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】先根据已知角∠1=∠2，∠3=∠4，利用等式性质相加得到∠ABC=∠DCB；再根据ASA判定定理，结合公共边BC=CB，已知角∠2=∠1，证明△ABC≌△DCB；最后根据全等三角形对应边相等的性质，推导出AB=CD．
19．（2026八上·黄岩期末）如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中A（-4，5），B（-2，1），C（-1，3）.
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出对应点A1的坐标；
（2）在x轴上标出点P，使PA+PB的和最小，并求出PA+PB的最小值.
【答案】（1）解：如图，
△A1B1C1 为所作，点A1的坐标是（4，5）
（2）解：如图，作点A关于x轴的对称点A'(-4，-5)，连接A'B，与x轴的交点即为所求点P.
由A'(-4，-5)，B(-2，1)，根据两点间距离公式，
，
∴PA+PB的最小值是（或.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)先根据平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标规律（纵坐标不变，横坐标互为相反数），求出各顶点A，B，C对称点坐标A1，B1，C1，再顺次连接A1B1，B1C1，C1A1，即得 △A1B1C1 ；
(2)先利用轴对称性质将PA转化为PA'，再根据两点之间线段最短，将PA+PB转化为线段A'B的长度，最后用两点间距离公式计算最小值．
20．（2026八上·黄岩期末）已知一次函数y=（k-1）x+k2-1（k≠1）的图象经过原点.
（1）求k的值；
（2）点A（1，p），点B（-1，q）都在函数图象上，请比较p，q的大小.
【答案】（1）解：∵一次函数y=(k-1)x+k2-1(k≠1)的图象经过原点，
∴当x=0时，y=0，且一次项系数k-1≠0，
∴代入得k2-1=0，且k≠1，
∴解得k=±1，且k≠1，
∴k=-1．
（2）解：∵k=-1，
∴该一次函数的解析式为y=(-1-1)x+(-1)2-1=-2x．
∵一次项系数-2<0，
∴y随x的增大而减小．
∵点A(1，p)，点B(-1，q)都在该函数图象上，且1>-1，
∴p【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)先根据一次函数图象经过原点的性质，得到常数项为0且斜率不为0的两个条件，列方程k2-1=0和不等式k≠1，求解得k=-1；
(2)先将k=-1代入函数解析式，得到y=-2x；再根据一次函数的性质，因斜率k=-2<0知y随x增大而减小；最后比较两点横坐标1>-1，推导出p21．（2026八上·黄岩期末）某校举行八年级英语演讲比赛，需购买A，B两种笔记本作为奖品.若购买9本A笔记本和6本B笔记本，则一共需要156元；若购买8本A笔记本和12本B笔记本，则一共需要192元.
（1）求A，B两种笔记本每本的价格分别是多少元
（2）若该校计划购买两种笔记本共30本，并且购买A笔记本的数量至少比B笔记本的数量多6本，但又不超过B笔记本数量的2倍.则购买这两种笔记本各多少本时，费用最少 最少费用是多少元
【答案】（1）解：设A，B两种笔记本分别为x元/本，y元/本，
由题意得
解得
答：A笔记本12元/本，B笔记本8元/本.
（2）解：设购买A种笔记本a本，则B种笔记本（30-a）本，总费用为W元，
由题意得
解得18≤a≤20.
∴W=12a+8（30-a）=4a+240.
∵k=4>0，
∴W随a的增大而增大，
∵当a=18时，30-a=12，Wmin=312（元）.
答：购买A笔记本18本，B笔记本12本时，总费用最小，最小费用312元.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】(1)先根据“9本A+6本B=156元”和“8本A+12本B=192元”列出二元一次方程组，通过消元法求解得到A，B单价分别为12元，8元；
(2)先根据数量限制条件列出不等式组，求出a的取值范围18≤a≤20，再建立总费用W=4a+240的一次函数模型，利用一次函数单调性，得出当a=18时费用最小为312元．
22．（2026八上·黄岩期末）如图1，A，B两地与图书馆位于一直线上且位于图书馆两侧.甲，乙两位同学分别从A，B两地出发，相约到图书馆学习.已知甲步行先出发，几分钟后乙从B地以100米/分钟的速度慢跑出发，并且比甲先到达图书馆.下图2是表示两人之间的距离s（米）和甲离开A地的时间t（分钟）的关系图.
（1）B地到图书馆的路程是　 　米；
（2）求甲的步行速度；
（3）求两人何时相距2300米
【答案】（1）2000
（2）解：（5000-2000）÷50=60（米/分钟）
答：甲的步行速度为60米/分钟.
（3）解：当t=5分钟时，甲步行路程是300米，∴M（5，4700）.
当t=25分钟时，甲步行路程是1500米，乙慢跑的路程是2000米，
∴N（25，1500）.
∵图象过点M（5，4700），N（25，1500），
∴当y=2300时，x=20（分钟）.
答：甲出发20分钟时，两人相距2300米.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解： (1) ∵乙从B地出发到图书馆用时25-5=20分钟，速度为100米/分钟，
∴B地到图书馆的路程为100×20=2000米．
故答案为：2000.
【分析】(1)先根据乙的速度和跑步时间（25-5=20分钟），计算出B地到图书馆的路程为100×20=2000米；
(2)先算出A地到图书馆的路程为5000-2000=3000米，再除以甲的总用时50分钟，得到甲的步行速度为60米/分钟；
(3)先根据图象上两点M(5，4700)，N(25，1500)求出两人距离的函数解析式yMN=-160t+5500，再令y=2300解方程，得到符合条件的时间t=20分钟．
23．（2026八上·黄岩期末）如图1，在平面直角坐标系中，点P（a，b），Q（m，n），则P，Q两点之间的距离可以表示为例如：A（2，1），B（3，2），则
（1）已知M（1，-2），N（-2，2），求线段MN的长度；
（2）在平面直角坐标系中，点C（k，3），D（k+1，1），E（-1，2），连接CD，CE，DE，若∠DCE=90°，求k的值；
（3）在（2）的条件下，连接OC，与DE相交于点F，求△EFC与△DFC的面积之比.
【答案】（1）解：
（2）解：
∵∠DCE=90°，
∴k=1.
（3）解：由（2）得C（1，3），D（2，1），E（-1，2），
，
解得
.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；通过函数图象获取信息；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】(1)先根据两点间距离公式，代入M，N坐标，计算得MN=5；
(2)先根据勾股定理，列出DE2=CD2+CE2，再代入坐标计算各边平方，解方程得k=1；
(3)先求出直线DE，OC的解析式，，联立得交点F坐标，再计算EF，FD长度，最后利用同高三角形面积比等于底边长之比，得出面积比为1．
24．（2026八上·黄岩期末）如图1，△ABC中，AB=AC，点D，E分别是边AB，AC上的动点，且AD=CE.
（1）当点D在AC的垂直平分线上时，连接CD，DE.
①求证：△CDE是等腰三角形；
②求证：∠ADE=∠BCD；
（2）如图2，在（1）的条件下过点D作DF⊥BC，垂足为F，求证：BC-DE=2BF；
（3）如图3，连接CD，BE，交点为G，若S△ABC=a，直接写出四边形ADGE面积的最大值（结果用含a的式子表示）.
【答案】（1）解：①∵点D在AC的垂直平分线上，
∴AD=CD.
∵AD=CE，
∴CD=CE.
∴△CDE是等腰三角形.
②设∠A=x°，
∵AD=CD，
∴∠DCA=∠A=x°
∵AB=AC，CD=CE.
∵∠CED为△ADE的外角，
∴∠CED=∠A+∠ADE.
∴∠ADE=∠BCD.
（2）解：如图，在BC上取点H，使得DH=BD，
∵BD=DH，DF⊥BC，
即BH=2BF.
由（1）可得∠CED=∠B
∴∠CED=∠DHB.
∴∠DHC=∠DEA.
∵AB=AC，AD=CE，
∴AB-AD=AC-CE.
即BD=AE.
∴AE=DH.
由（1）∠ADE=∠BCD.
∴△ADE≌△DCH（AAS）.
∴DE=CH.
∴BC-CH=BH.
即BC-DE=2BF.
（3）解：a
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的综合；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：(3) 已知S△ABC=a，当时，四边形ADGE面积取得最大值，最大值为．
故答案为：.
【分析】(1)①先根据线段垂直平分线性质得AD=CD，结合已知AD=CE推得CD=CE，从而证明△CDE是等腰三角形；②先设∠A=x°，利用等腰三角形性质分别表示∠BCD和∠ADE，再通过三角形外角性质∠CED=∠A+∠ADE，从而证明∠ADE=∠BCD相等；
(2)先构造等腰△BDH得BH=2BF，再通过AAS证明△ADE≌△DCH得DE=CH，最后结合线段和差关系得BC-DE=2BF；
(3)通过几何最值分析，当时，四边形ADGE面积最大为．
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