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浙江省温州市瑞安市九年级2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．（2025·瑞安模拟） 下列实数中，无理数是（　　）
A． B．0 C． D．-2
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：-2和0为整数，是分数，是无理数.
故答案为：A.
【分析】根据无理数和有理数的概念判断即可.
2．（2025·瑞安模拟）某物体如图所示，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、该选项中的平面图形不是该物体的视图，故此选项不符合题意；
B、该选项中的平面图形是该物体的左视图，故此选项不符合题意；
C、该选项中的平面图形是该物体的俯视图，故此选项不符合题意；
D、该选项中的平面图形是该物体的主视图，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】主视图就是从正面向后面看物体所得到的平面图形，能能看得见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，据此逐一判断得出答案.
3．（2025·瑞安模拟）2025年曹村灯会的展区面积超30000平方米．数据30000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据30000用科学记数法表示为.
故答案为：C．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．（2025·瑞安模拟） 小明周末出游，在圣井山、玉海楼、黄林古村、九珠潭四处景点中随机选取一处景点，则选中九珠潭的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵现有四处景点可供选择：圣井山、玉海楼、黄林古村、九珠潭，
∴从中随机选取一处景点，选中九珠潭的概率为，
故答案为：C.
【分析】直接由概率公式求解即可.
5．（2025·瑞安模拟）化简（﹣a）2a3所得的结果是（　　）
A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：原式
故答案为：A.
【分析】先根据一个负数的偶数次幂为正将(-a)2变形为a2，然后根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加计算即可.
6．（2025·瑞安模拟）如图，和是位似图形，O是位似中心，点的对应点分别为点．若的周长为4，则的周长为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，
∴，而，
∴与的周长比为：，
∵的周长为4，
∴的周长为6.
故答案为：A．
【分析】根据位似图形一定相似可得△ABC∽△A'B'C'，然后根据相似三角形周长的比等于相似比，求解即可.
7．（2025·瑞安模拟）五一劳动节期间，某景点的商店推出优惠活动，决定每个纪念品降价1元销售，降价后用120元可以比降价前多购买4个。设该纪念品的原价是x元，可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：依题意得：，
故答案为：A.
【分析】设该纪念品的原价是x元，则降价后是(x-1)元，根据“降价后用120元可以比降价前多购买4个”即可列出方程.
8．（2025·瑞安模拟）如图，点E为矩形的对角线上一点，过点E分别作，交矩形各边于点，且四边形为正方形．我国数学家杨辉曾在此图形中发现一个与正方形面积相等的图形，从而求得这个正方形的边长．若，则的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；利用开平方求未知数
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AB∥CD，AD∥BC，
∵FG∥BC，MB∥AB，
∴AB∥MN∥CD，AD∥FG∥BC，
∴图中四边形都是矩形，
∴，，，
∴，
设，而，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，(舍去)，
∴.
故答案为：B.
【分析】由矩形的性质得∠B=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AB∥CD，AD∥BC，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出可得AB∥MN∥CD，AD∥FG∥BC，根据有一个内角为直角的平行四边形是矩形可得图中四边形都是矩形，根据矩形的对边相等及三角形面积计算公式可得，，，由等式性质推出，设，由矩形性质及已知可得，然后根据建立方程可用函x的式子表示出EG，最后根据三角形CEG的面积为8，结合三角形面积计算公式建立方程可求出x的值，从而得到BF的长.
9．（2025·瑞安模拟）反比例函数的图象上有两点．下列选项正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：∵ 比例函数 中，，
∴该函数图象位于第二、四象限内，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
当，即时，点位于第二象限内，
∵，
∴， 故A选项错误，不符合题意；
当，即时，点位于第二象限内，位于第四象限内，
∴，故B选项错误，不符合题意；C选项正确，符合题意；
当时，点位于第四象限内，
∵，
∴，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】反比例函数中，当k＜0时，图象两支分别位于第二、四象限内，且在每一象限内，y随x的增大而增大，据此结合题意，分n＞2，0＜n＜2与n＜0三种情况判断出A、B两点所在的象限，结合点的坐标与象限的关系及反比例函数的增减性即可逐一判断得出答案.
10．（2025·瑞安模拟）如图，在中，，分别以为边作正方形和正方形，使点分别落在的延长线上，连接交于点H．求的长，只需知道（　　）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；矩形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，延长交于，设正方形的边长为，正方形的边长为，
∵四边形ACDE与BCFG都是正方形，
∴∠D=∠DEA=∠CBG=90°，
又∵ 点D、F分别落在BC、CA的延长线上
∴四边形BQED为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：D．
【分析】延长EA交BG于Q，设正方形BCFG与ACDE的边长分别为a、b，由正方形的性质得∠D=∠DEA=∠CBG=90°，根据有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形BQED为矩形，由矩形的对边相等得BQ=DE=b，EQ=BD=a+b，由线和差得出GQ=a-b，在Rt△GEQ中，利用勾股定理表示出GE2=2(a2+b2)，在Rt△ABC中，利用那个勾股定理得AB2=a2+b2，从而即可得出答案.
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·瑞安模拟）因式分解： =　 　.
【答案】(x+3)(x-3)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】x2-9=x2-32=(x+3)(x-3).
故答案为(x+3)(x-3).
【分析】运用平方差公式因式分解.
12．（2025·瑞安模拟）方程组的解为　 　．
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
∴原方程组的解为；
故答案为：．
【分析】由于方程组的两个方程中未知数y的系数互为相反数，故将两个方程直接相加可消去y求出x的值，再将x的值代入①方程求出y的值，从而即可得到原方程组的解.
13．（2025·瑞安模拟）若扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的弧长为______．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：因为扇形的圆心角为，半径为1，
所以，
故答案为：．
【分析】
弧长公式：．
14．（2025·瑞安模拟）歌手大赛中，小程“演唱技巧”和“舞台表现”得分分别为9分，8分，若“演唱技巧”和“舞台表现”的权重分别为，，则小程最终得分为　 　分．
【答案】8.9
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（分）．
故答案为：8.9．
【分析】用各项成绩的得分乘以各自对应权重的积的总和和除以各个权重的总和即可得出最终得分.
15．（2025·瑞安模拟）如图，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，连接．若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵切半圆于点，
∴，
∵，，即，
∴，
∵，
∴可设，，则，
∵，
∴3+3x=5x
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，，
连接，则，过点作的垂线，垂足为，如图：
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由圆的切线垂直经过切点的半径可得，从而用有两组角相等的两个三角形相似证明；根据余弦函数的定义结合∠COD的余弦函数值，可设，，则，然后根据CO=OA+CA建立方程可求出x的值；再根据相似三角形的对应边成比例建立方程可求出BE、DE；连接OF，过点作的垂线，垂足为，由有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形DEFK为矩形，由矩形对边相等得出KF=DE，DK=EF，由勾股定理可得KO的值，再根据线段和差即可求出BF的长.
16．（2025·瑞安模拟）如图，在中，E是对角线上一点，过点E作，分别交于点，将四边形沿翻折，得到四边形，点恰好落在上．若，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；定点定长辅助圆模型；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
由折叠可得：四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵由对折可得：，，，，
∴，
∴，
∴在以为圆心，为直径的圆上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，而，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】如图，连接AA'，由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，从而由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形ABFG是平行四边形，由平行四边形的对边相等得AB=GF，AG=BF；由折叠得AB=A'B'，FB=B'F，AG=A'G，BE=B'E，四边形A'GFB'是平行四边；由平行四边形的对边平行且相等得A'B'=GF，A'B'∥GF∥AB，由平行线等分线段可求出HG=AG=A'G，可得A'在以G为圆心，AH为直径的圆上，由直径所对圆周角为直角得出∠AA'H=90°；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似证明△DGE∽△BFE，相似三角形对应边成比例建立方程得出， 进而即可算出AG、AH、A'H的长，再利用勾股定理算出AA'；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABB'A'是平行四边形，由平行四边形的对边平行得AA'∥DB'，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AA'H∽△DB'H，由相似三角形面积得比等于相似比的平方求解即可.
三、解答题（本题有8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2025·瑞安模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据绝对值性质“负数的绝对值等于其相反数”、二次根式性质“”及零指数幂法则“a0=1(a≠0)”分别计算，再计算有理数加减法运算可得答案.
18．（2025·瑞安模拟）解不等式组：．
【答案】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
19．（2025·瑞安模拟）如图，在中，于点，，．
（1）求的长；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；已知正弦值求边长；求正切值
【解析】【分析】（）根据正弦函数的定义可得，然后代入求解即可；
（）在Rt△ACD中，由勾股定理算出CD，从而可得AB的长，然后在Rt△ABD中，由勾股定理算出BD，最后根据正切函数的定义可求出tanB的值.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．（2025·瑞安模拟）某兴趣小组对两种大模型产品进行测评，得到它们在10次测评中的准确率（单位：%）．现有如下信息：
①A模型在10次测评中的准确率分别为：．
②B模型准确率的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中第3组的3个数据分别是．
③两种模型在测评中准确率的平均数、中位数、众数如下表：
测评准确率统计分析表
模型 平均数 中位数 众数
A 90 90 a
B 91.4 b 95
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a的值为________，b的值为________；
（2）从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你会选择哪种模型？请简述理由．
【答案】（1）；；
（2）解：从平均数看，B模型较准确；从中位数看，B模型较准确；从众数看，B模型较准确；所以我会选择B模型．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：A模型在10次测评中的准确率出现次数最多的是，共3次，则a的值为90，
B模型中，第1、2组中共有3个数据，则中位数在第3组，将第3组的数据从小大到排列后第2和3个数的平均数就是B模型的中位数，
∴b的值为；
故答案为：90，93；
【分析】（1）在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合题干给出的信息求解即可；
（2）根据中位数、平均数以及众数都是反应一组数据集中趋势的量，由于B模型的平均数、中数位及众数均大于A模型的，从而即可得出结论.
（1）解：A模型在10次测评中的准确率出现次数最多的是，共3次，则a的值为90，
B模型中，第1、2组中共有3个数据，则中位数在第3组从小大到排列的第2和3个数的平均数，b的值为；
故答案为：90，93；
（2）解：从平均数看，B模型较准确．
从中位数看，B模型较准确．
从众数看，B模型较准确．
所以我会选择B模型．
21．（2025·瑞安模拟）尺规作图：在正方形中，求作等边，使点分别在边，上．
以下是小金的作图过程，如图所示： 1．分别以点，为圆心，的长为半径作圆弧交于正方形外一点，连接，，连接交于点． 2．以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，连接，． 则即为所求．
请根据作图过程回答以下问题：
（1）求的度数；
（2）求证：为等边三角形．
【答案】（1）解：由作图可知，
∴为等边三角形，
∴，
∵四边形正方形，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由题意可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；正方形的性质；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由作图可知CD=CG=DG，由三边相等的三角形是等边三角形得△GDC为等边三角形，由等边三角形的每一个内角都是60°得出∠GDC=60°，由正方形性质四个内角都等于90°得∠GDC=90°，然后由角的构成即可求出∠ADG的度数；
（2）由正方形性质得AD=AB=CD，则AD=DG，由等边对等角及三角形的内角和定理求出∠DAG=15°；然后利用“HL”判断出Rt△ADE≌Rt△ABF，由全等三角形的对应角相等得∠BAF=∠DAE=15°，然后根据角的和差求出∠EAF=60°，从而根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形可得结论.
（1）解：由作图可知，
∴为等边三角形，
∴，
∵四边形正方形，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由题意可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形．
22．（2025·瑞安模拟）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点向左平移5个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上，求a的值；
（3）点在抛物线上，过点C作直线轴，若直线l与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）有两个交点，求m的取值范围．
【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，
，即．
将点代入中，
得，
，
抛物线表达式为；
（2）解： ∵将点向左平移5个单位长度，再向上平移a个单位长度，
∴平移后点B的坐标为．
将代入，
得
；
（3）解：点A（-4，6）关于x=对称的点的坐标为D（1，6）；
当时，点C在点A左侧，仅有1个交点．
当时，点C在点A右侧，对称轴左侧（或对称轴上），仅有1个交点．
当时，点C在对称轴右侧，点D左侧（或与点D重合），有2个交点．
当时，点C在点D右侧，仅有1个交点．
综上所述，若直线l与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）有两个交点，m的取值范围为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；二次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【分析】（1）首先由对称轴直线公式结合对称轴直线为列出方程求出b=3，然后将A点坐标及b=3同时代入y=x2+bx+c可求出c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）首先根据点的坐标平移规律“横坐标左移减右移加，纵坐标上移加下移减”表示出点B平移后的坐标，然后将平移后点B的坐标代入（1）所求的抛物线的解析式即可求出a的值；
（3）易得点A关于直线的对称点坐标为，由于过点C的直线l∥x，故l上点的纵坐标都为n；然后分m＜-4， 、及m＞1四种情况，判断出点C相对于点A的位置，即可分别判断出直线l与抛物线上A，C两点之间的部分（包含点A，C）交点的个数，从而即可得出答案.
（1）抛物线的对称轴为直线，
，即．
将点代入中，
得，
，
抛物线表达式为；
（2）将点向左平移5个单位长度，再向上平移a个单位长度，
即．
将代入，
得
；
（3）令，即，
解得，，
点A关于直线的对称点坐标为．
当时，点C在点A左侧，仅有1个交点．
当时，点C在点A右侧，对称轴左侧（或对称轴上），仅有1个交点．
当时，点C在对称轴右侧，点D左侧（或与点D重合），有2个交点．
当时，点C在点D右侧，仅有1个交点．
综上所述，若直线l与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）有两个交点，m的取值范围为．
23．（2025·瑞安模拟）如图1，共享单车停放点和图书馆C依次在一条东西走向的道路上．甲、乙两人从两停放点之间的P点处同时出发，去往图书馆．甲步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，乙步行去停放点B，然后骑共享单车去往图书馆．已知甲乙两人步行速度均为75米分，两人到图书馆的距离s（米）与时间t（分）的函数关系如图2所示．
（1）求停放点之间的距离；
（2）求甲追上乙的时间；
（3）若乙改为先步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，会比原来更早到达图书馆吗？相差多少分钟？
【答案】（1）解： 75×6+75×14=1500（米），
答：停放点之间的距离1500米；
（2）解法一：（米/分），
时的路程差：（米），
（分），
（分），
答：甲追上乙的时间为10分钟．
解法二：（米），（米）．
（米），
．
设，
将和代入，
得
，
．
设，
将和代入，
得
，
．
当时，，解得．
答：甲追上乙的时间为10分钟．
（3）解：（米/分），
（分），
（分）．
答：会比原来早到2分钟．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；数形结合
【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息可得甲步行6分钟从点P到达了点A，乙步行14分钟从点P步行到点B，根据路程等于速度乘以时间可分别求出PA、PB的长度，进而根据PA+PB=AB可得答案；
（2）解法一：首先求出甲的骑行速度，然后求出t=6时，甲乙之间距离，然后用甲乙之间的距离除以甲乙的速度差即可得出甲从A地出发追上乙的用时，再加上开始的步行时间即可；
解法二：首先根据图象提供的信息，利用待定系数法求出直线GH与MN的函数表达式，然后联立求解即可；
（3）首先根据路程、速度时间三者的关系求出乙骑行的速度，然后求出乙从A地到C地的骑行时间，再加上乙从P地步行到A地的时间可得乙修改后所用的总时间，然后与原方案的时间比较就可求解.
（1）（米）．
答：停放点之间的距离1500米．；
（2）解法一：（米/分），
时的路程差：（米），
（分），
（分），
答：甲追上乙的时间为10分钟．
解法二：（米），（米）．
（米），
．
设，
将和代入，
得
，
．
设，
将和代入，
得
，
．
当时，，解得．
答：甲追上乙的时间为10分钟．
；
（3）（米/分），
（分），
（分）．
答：会比原来早到2分钟．
24．（2025·瑞安模拟）如图，在中，，过点C作于点D，以为直径作交于点E，过点E作交于点F，交于点M，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长（用含k的代数式表示）．
【答案】（1）证明：，
．
，
，
．
（2）证明：连接．
，
．
为直径，
，
．
，
，
，
即．
（3）解：过点A作于点H，
，
．
，
，
，
．
，
，
．
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出，由二直线平行，同位角相等，内错角相等得出，从而根据等量代换即可得出结论；
（2）连接FD，由垂直定义得，由直径所对的圆周角为直角得，由同弧所对的圆周角相等得∠1=∠AEF，则可推出∠1=∠B，从而由有两组角相等的两个三角形相似得△CDB∽△AFD，由相似三角形对应边成比例可得结论；
（3）过点A作于点H，由余弦函数的定义可得cosB=k，根据等腰三角形的三线合一得出，由∠B的余弦函数可表示出，根据线段和差得出；根据同弧所对的圆周角相等及（1）的结论得出，由等角对等边得FM=FD，根据等角的同名三角函数值相等得，在由∠1的余弦函数可求出FD，从而得出答案.
（1）证明：，
．
，
，
．
（2）证明：连接．
，
．
为直径，
，
．
，
，
，
即．
（3）解：过点A作于点H，
，
．
，
，
，
．
，
，
．
，
．
1 / 1浙江省温州市瑞安市九年级2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分）
1．（2025·瑞安模拟） 下列实数中，无理数是（　　）
A． B．0 C． D．-2
2．（2025·瑞安模拟）某物体如图所示，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·瑞安模拟）2025年曹村灯会的展区面积超30000平方米．数据30000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·瑞安模拟） 小明周末出游，在圣井山、玉海楼、黄林古村、九珠潭四处景点中随机选取一处景点，则选中九珠潭的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·瑞安模拟）化简（﹣a）2a3所得的结果是（　　）
A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6
6．（2025·瑞安模拟）如图，和是位似图形，O是位似中心，点的对应点分别为点．若的周长为4，则的周长为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
7．（2025·瑞安模拟）五一劳动节期间，某景点的商店推出优惠活动，决定每个纪念品降价1元销售，降价后用120元可以比降价前多购买4个。设该纪念品的原价是x元，可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·瑞安模拟）如图，点E为矩形的对角线上一点，过点E分别作，交矩形各边于点，且四边形为正方形．我国数学家杨辉曾在此图形中发现一个与正方形面积相等的图形，从而求得这个正方形的边长．若，则的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
9．（2025·瑞安模拟）反比例函数的图象上有两点．下列选项正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．（2025·瑞安模拟）如图，在中，，分别以为边作正方形和正方形，使点分别落在的延长线上，连接交于点H．求的长，只需知道（　　）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·瑞安模拟）因式分解： =　 　.
12．（2025·瑞安模拟）方程组的解为　 　．
13．（2025·瑞安模拟）若扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的弧长为______．
14．（2025·瑞安模拟）歌手大赛中，小程“演唱技巧”和“舞台表现”得分分别为9分，8分，若“演唱技巧”和“舞台表现”的权重分别为，，则小程最终得分为　 　分．
15．（2025·瑞安模拟）如图，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，连接．若，，则的长为　 　．
16．（2025·瑞安模拟）如图，在中，E是对角线上一点，过点E作，分别交于点，将四边形沿翻折，得到四边形，点恰好落在上．若，则的面积为　 　．
三、解答题（本题有8小题，共72分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2025·瑞安模拟）计算：．
18．（2025·瑞安模拟）解不等式组：．
19．（2025·瑞安模拟）如图，在中，于点，，．
（1）求的长；
（2）若，求的值．
20．（2025·瑞安模拟）某兴趣小组对两种大模型产品进行测评，得到它们在10次测评中的准确率（单位：%）．现有如下信息：
①A模型在10次测评中的准确率分别为：．
②B模型准确率的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中第3组的3个数据分别是．
③两种模型在测评中准确率的平均数、中位数、众数如下表：
测评准确率统计分析表
模型 平均数 中位数 众数
A 90 90 a
B 91.4 b 95
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a的值为________，b的值为________；
（2）从平均数、中位数、众数的角度进行分析，你会选择哪种模型？请简述理由．
21．（2025·瑞安模拟）尺规作图：在正方形中，求作等边，使点分别在边，上．
以下是小金的作图过程，如图所示： 1．分别以点，为圆心，的长为半径作圆弧交于正方形外一点，连接，，连接交于点． 2．以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，连接，． 则即为所求．
请根据作图过程回答以下问题：
（1）求的度数；
（2）求证：为等边三角形．
22．（2025·瑞安模拟）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点向左平移5个单位长度，再向上平移个单位长度后，恰好落在抛物线上，求a的值；
（3）点在抛物线上，过点C作直线轴，若直线l与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）有两个交点，求m的取值范围．
23．（2025·瑞安模拟）如图1，共享单车停放点和图书馆C依次在一条东西走向的道路上．甲、乙两人从两停放点之间的P点处同时出发，去往图书馆．甲步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，乙步行去停放点B，然后骑共享单车去往图书馆．已知甲乙两人步行速度均为75米分，两人到图书馆的距离s（米）与时间t（分）的函数关系如图2所示．
（1）求停放点之间的距离；
（2）求甲追上乙的时间；
（3）若乙改为先步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，会比原来更早到达图书馆吗？相差多少分钟？
24．（2025·瑞安模拟）如图，在中，，过点C作于点D，以为直径作交于点E，过点E作交于点F，交于点M，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，求的长（用含k的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：-2和0为整数，是分数，是无理数.
故答案为：A.
【分析】根据无理数和有理数的概念判断即可.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、该选项中的平面图形不是该物体的视图，故此选项不符合题意；
B、该选项中的平面图形是该物体的左视图，故此选项不符合题意；
C、该选项中的平面图形是该物体的俯视图，故此选项不符合题意；
D、该选项中的平面图形是该物体的主视图，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】主视图就是从正面向后面看物体所得到的平面图形，能能看得见的轮廓线画成实线，看不见但又存在的轮廓线画成虚线，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据30000用科学记数法表示为.
故答案为：C．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．【答案】C
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵现有四处景点可供选择：圣井山、玉海楼、黄林古村、九珠潭，
∴从中随机选取一处景点，选中九珠潭的概率为，
故答案为：C.
【分析】直接由概率公式求解即可.
5．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：原式
故答案为：A.
【分析】先根据一个负数的偶数次幂为正将(-a)2变形为a2，然后根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加计算即可.
6．【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，
∴，而，
∴与的周长比为：，
∵的周长为4，
∴的周长为6.
故答案为：A．
【分析】根据位似图形一定相似可得△ABC∽△A'B'C'，然后根据相似三角形周长的比等于相似比，求解即可.
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：依题意得：，
故答案为：A.
【分析】设该纪念品的原价是x元，则降价后是(x-1)元，根据“降价后用120元可以比降价前多购买4个”即可列出方程.
8．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；利用开平方求未知数
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AB∥CD，AD∥BC，
∵FG∥BC，MB∥AB，
∴AB∥MN∥CD，AD∥FG∥BC，
∴图中四边形都是矩形，
∴，，，
∴，
设，而，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，(舍去)，
∴.
故答案为：B.
【分析】由矩形的性质得∠B=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AB∥CD，AD∥BC，由平行于同一直线的两条直线互相平行得出可得AB∥MN∥CD，AD∥FG∥BC，根据有一个内角为直角的平行四边形是矩形可得图中四边形都是矩形，根据矩形的对边相等及三角形面积计算公式可得，，，由等式性质推出，设，由矩形性质及已知可得，然后根据建立方程可用函x的式子表示出EG，最后根据三角形CEG的面积为8，结合三角形面积计算公式建立方程可求出x的值，从而得到BF的长.
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：∵ 比例函数 中，，
∴该函数图象位于第二、四象限内，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
当，即时，点位于第二象限内，
∵，
∴， 故A选项错误，不符合题意；
当，即时，点位于第二象限内，位于第四象限内，
∴，故B选项错误，不符合题意；C选项正确，符合题意；
当时，点位于第四象限内，
∵，
∴，故D选项错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】反比例函数中，当k＜0时，图象两支分别位于第二、四象限内，且在每一象限内，y随x的增大而增大，据此结合题意，分n＞2，0＜n＜2与n＜0三种情况判断出A、B两点所在的象限，结合点的坐标与象限的关系及反比例函数的增减性即可逐一判断得出答案.
10．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；矩形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，延长交于，设正方形的边长为，正方形的边长为，
∵四边形ACDE与BCFG都是正方形，
∴∠D=∠DEA=∠CBG=90°，
又∵ 点D、F分别落在BC、CA的延长线上
∴四边形BQED为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：D．
【分析】延长EA交BG于Q，设正方形BCFG与ACDE的边长分别为a、b，由正方形的性质得∠D=∠DEA=∠CBG=90°，根据有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形BQED为矩形，由矩形的对边相等得BQ=DE=b，EQ=BD=a+b，由线和差得出GQ=a-b，在Rt△GEQ中，利用勾股定理表示出GE2=2(a2+b2)，在Rt△ABC中，利用那个勾股定理得AB2=a2+b2，从而即可得出答案.
11．【答案】(x+3)(x-3)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】x2-9=x2-32=(x+3)(x-3).
故答案为(x+3)(x-3).
【分析】运用平方差公式因式分解.
12．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
∴原方程组的解为；
故答案为：．
【分析】由于方程组的两个方程中未知数y的系数互为相反数，故将两个方程直接相加可消去y求出x的值，再将x的值代入①方程求出y的值，从而即可得到原方程组的解.
13．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：因为扇形的圆心角为，半径为1，
所以，
故答案为：．
【分析】
弧长公式：．
14．【答案】8.9
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（分）．
故答案为：8.9．
【分析】用各项成绩的得分乘以各自对应权重的积的总和和除以各个权重的总和即可得出最终得分.
15．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵切半圆于点，
∴，
∵，，即，
∴，
∵，
∴可设，，则，
∵，
∴3+3x=5x
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，，
连接，则，过点作的垂线，垂足为，如图：
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由圆的切线垂直经过切点的半径可得，从而用有两组角相等的两个三角形相似证明；根据余弦函数的定义结合∠COD的余弦函数值，可设，，则，然后根据CO=OA+CA建立方程可求出x的值；再根据相似三角形的对应边成比例建立方程可求出BE、DE；连接OF，过点作的垂线，垂足为，由有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形DEFK为矩形，由矩形对边相等得出KF=DE，DK=EF，由勾股定理可得KO的值，再根据线段和差即可求出BF的长.
16．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；定点定长辅助圆模型；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
由折叠可得：四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵由对折可得：，，，，
∴，
∴，
∴在以为圆心，为直径的圆上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，而，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】如图，连接AA'，由平行四边形的对边平行得出AD∥BC，从而由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形ABFG是平行四边形，由平行四边形的对边相等得AB=GF，AG=BF；由折叠得AB=A'B'，FB=B'F，AG=A'G，BE=B'E，四边形A'GFB'是平行四边；由平行四边形的对边平行且相等得A'B'=GF，A'B'∥GF∥AB，由平行线等分线段可求出HG=AG=A'G，可得A'在以G为圆心，AH为直径的圆上，由直径所对圆周角为直角得出∠AA'H=90°；由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似证明△DGE∽△BFE，相似三角形对应边成比例建立方程得出， 进而即可算出AG、AH、A'H的长，再利用勾股定理算出AA'；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABB'A'是平行四边形，由平行四边形的对边平行得AA'∥DB'，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△AA'H∽△DB'H，由相似三角形面积得比等于相似比的平方求解即可.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据绝对值性质“负数的绝对值等于其相反数”、二次根式性质“”及零指数幂法则“a0=1(a≠0)”分别计算，再计算有理数加减法运算可得答案.
18．【答案】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
19．【答案】（1）解：∵，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；已知正弦值求边长；求正切值
【解析】【分析】（）根据正弦函数的定义可得，然后代入求解即可；
（）在Rt△ACD中，由勾股定理算出CD，从而可得AB的长，然后在Rt△ABD中，由勾股定理算出BD，最后根据正切函数的定义可求出tanB的值.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．【答案】（1）；；
（2）解：从平均数看，B模型较准确；从中位数看，B模型较准确；从众数看，B模型较准确；所以我会选择B模型．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：A模型在10次测评中的准确率出现次数最多的是，共3次，则a的值为90，
B模型中，第1、2组中共有3个数据，则中位数在第3组，将第3组的数据从小大到排列后第2和3个数的平均数就是B模型的中位数，
∴b的值为；
故答案为：90，93；
【分析】（1）在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合题干给出的信息求解即可；
（2）根据中位数、平均数以及众数都是反应一组数据集中趋势的量，由于B模型的平均数、中数位及众数均大于A模型的，从而即可得出结论.
（1）解：A模型在10次测评中的准确率出现次数最多的是，共3次，则a的值为90，
B模型中，第1、2组中共有3个数据，则中位数在第3组从小大到排列的第2和3个数的平均数，b的值为；
故答案为：90，93；
（2）解：从平均数看，B模型较准确．
从中位数看，B模型较准确．
从众数看，B模型较准确．
所以我会选择B模型．
21．【答案】（1）解：由作图可知，
∴为等边三角形，
∴，
∵四边形正方形，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由题意可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；正方形的性质；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由作图可知CD=CG=DG，由三边相等的三角形是等边三角形得△GDC为等边三角形，由等边三角形的每一个内角都是60°得出∠GDC=60°，由正方形性质四个内角都等于90°得∠GDC=90°，然后由角的构成即可求出∠ADG的度数；
（2）由正方形性质得AD=AB=CD，则AD=DG，由等边对等角及三角形的内角和定理求出∠DAG=15°；然后利用“HL”判断出Rt△ADE≌Rt△ABF，由全等三角形的对应角相等得∠BAF=∠DAE=15°，然后根据角的和差求出∠EAF=60°，从而根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形可得结论.
（1）解：由作图可知，
∴为等边三角形，
∴，
∵四边形正方形，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由题意可知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形．
22．【答案】（1）抛物线的对称轴为直线，
，即．
将点代入中，
得，
，
抛物线表达式为；
（2）解： ∵将点向左平移5个单位长度，再向上平移a个单位长度，
∴平移后点B的坐标为．
将代入，
得
；
（3）解：点A（-4，6）关于x=对称的点的坐标为D（1，6）；
当时，点C在点A左侧，仅有1个交点．
当时，点C在点A右侧，对称轴左侧（或对称轴上），仅有1个交点．
当时，点C在对称轴右侧，点D左侧（或与点D重合），有2个交点．
当时，点C在点D右侧，仅有1个交点．
综上所述，若直线l与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）有两个交点，m的取值范围为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；二次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【分析】（1）首先由对称轴直线公式结合对称轴直线为列出方程求出b=3，然后将A点坐标及b=3同时代入y=x2+bx+c可求出c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）首先根据点的坐标平移规律“横坐标左移减右移加，纵坐标上移加下移减”表示出点B平移后的坐标，然后将平移后点B的坐标代入（1）所求的抛物线的解析式即可求出a的值；
（3）易得点A关于直线的对称点坐标为，由于过点C的直线l∥x，故l上点的纵坐标都为n；然后分m＜-4， 、及m＞1四种情况，判断出点C相对于点A的位置，即可分别判断出直线l与抛物线上A，C两点之间的部分（包含点A，C）交点的个数，从而即可得出答案.
（1）抛物线的对称轴为直线，
，即．
将点代入中，
得，
，
抛物线表达式为；
（2）将点向左平移5个单位长度，再向上平移a个单位长度，
即．
将代入，
得
；
（3）令，即，
解得，，
点A关于直线的对称点坐标为．
当时，点C在点A左侧，仅有1个交点．
当时，点C在点A右侧，对称轴左侧（或对称轴上），仅有1个交点．
当时，点C在对称轴右侧，点D左侧（或与点D重合），有2个交点．
当时，点C在点D右侧，仅有1个交点．
综上所述，若直线l与抛物线上，两点之间的部分（包含点，）有两个交点，m的取值范围为．
23．【答案】（1）解： 75×6+75×14=1500（米），
答：停放点之间的距离1500米；
（2）解法一：（米/分），
时的路程差：（米），
（分），
（分），
答：甲追上乙的时间为10分钟．
解法二：（米），（米）．
（米），
．
设，
将和代入，
得
，
．
设，
将和代入，
得
，
．
当时，，解得．
答：甲追上乙的时间为10分钟．
（3）解：（米/分），
（分），
（分）．
答：会比原来早到2分钟．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题；数形结合
【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息可得甲步行6分钟从点P到达了点A，乙步行14分钟从点P步行到点B，根据路程等于速度乘以时间可分别求出PA、PB的长度，进而根据PA+PB=AB可得答案；
（2）解法一：首先求出甲的骑行速度，然后求出t=6时，甲乙之间距离，然后用甲乙之间的距离除以甲乙的速度差即可得出甲从A地出发追上乙的用时，再加上开始的步行时间即可；
解法二：首先根据图象提供的信息，利用待定系数法求出直线GH与MN的函数表达式，然后联立求解即可；
（3）首先根据路程、速度时间三者的关系求出乙骑行的速度，然后求出乙从A地到C地的骑行时间，再加上乙从P地步行到A地的时间可得乙修改后所用的总时间，然后与原方案的时间比较就可求解.
（1）（米）．
答：停放点之间的距离1500米．；
（2）解法一：（米/分），
时的路程差：（米），
（分），
（分），
答：甲追上乙的时间为10分钟．
解法二：（米），（米）．
（米），
．
设，
将和代入，
得
，
．
设，
将和代入，
得
，
．
当时，，解得．
答：甲追上乙的时间为10分钟．
；
（3）（米/分），
（分），
（分）．
答：会比原来早到2分钟．
24．【答案】（1）证明：，
．
，
，
．
（2）证明：连接．
，
．
为直径，
，
．
，
，
，
即．
（3）解：过点A作于点H，
，
．
，
，
，
．
，
，
．
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出，由二直线平行，同位角相等，内错角相等得出，从而根据等量代换即可得出结论；
（2）连接FD，由垂直定义得，由直径所对的圆周角为直角得，由同弧所对的圆周角相等得∠1=∠AEF，则可推出∠1=∠B，从而由有两组角相等的两个三角形相似得△CDB∽△AFD，由相似三角形对应边成比例可得结论；
（3）过点A作于点H，由余弦函数的定义可得cosB=k，根据等腰三角形的三线合一得出，由∠B的余弦函数可表示出，根据线段和差得出；根据同弧所对的圆周角相等及（1）的结论得出，由等角对等边得FM=FD，根据等角的同名三角函数值相等得，在由∠1的余弦函数可求出FD，从而得出答案.
（1）证明：，
．
，
，
．
（2）证明：连接．
，
．
为直径，
，
．
，
，
，
即．
（3）解：过点A作于点H，
，
．
，
，
，
．
，
，
．
，
．
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