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浙江省绍兴市嵊州市2025年中考一模数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025·嵊州模拟）下列四个数，最大的数是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴最大的数是，
故答案为：D.
【分析】先根据绝对值性质化简绝对值，同时根据估算无理数大小的方法判断出的范围，最后根据正数大于零，0大于负数进行比较即可.
2．（2025·嵊州模拟）下列用七巧板拼成的图案轮廓中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中用七巧板拼成的图案轮廓不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、此选项中用七巧板拼成的图案轮廓是轴对称图形，故此选项合题意；
C、此选项中用七巧板拼成的图案轮廓不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、此选项中用七巧板拼成的图案轮廓不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，据此逐一判断得出答案.
3．（2025·嵊州模拟） 据某平台统计，2025年“五一”期间，嵊州市网红街“东前街”共接待游客约175000人次.数字175000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：175000=1.75×105，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．（2025·嵊州模拟）为纪念“五·四”运动106周年，某校举办歌咏比赛，某班演唱后五位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，则这组数据的中位数是（　　）
A．9.6 B．9.5 C．9.4 D．9.2
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：把五位评委给出的分数从小到大排列为9.2，9.4，9.5，9.5，9.6，故这组数据的中位数是9.5.
故答案为：B.
【分析】求中位数需要先将数据按大小顺序排列，然后根据数据个数的奇偶性找到中间位置的数.
5．（2025·嵊州模拟） 估计-的值应在（　　）
A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．0和1之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
，
∵4<7<9，
∴，
即原式的值在2和3之间，
故答案为：B.
【分析】先计算二次根式，再找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围即可求解.
6．（2025·嵊州模拟）已知菱形的两条对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形的边长为（　　）
A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm
【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】根据题意作图如下：
∵菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，
∴OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，
在直角三角形AOD中AD===5cm，
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质可得OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，再利用勾股定理可得AD的长。
7．（2025·嵊州模拟）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（　　）
A．2027 B．2028 C．2029 D．2030
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵m是一元二次方程的一个根，
∴，即，
∴，
故答案为：C.
【分析】能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，据此将x=m代入方程x2-x-2=0可得m2-m=2，然后将待求式子含字母的项逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
8．（2025·嵊州模拟）如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征；数形结合
【解析】【解答】解：∵横坐标表示单价，纵坐标表示数量，
∴每个点的横纵坐标的乘积表示总价，
∵甲在反比例函数图象下方，
∴甲的横纵坐标的乘积一定小于反比例函数的比例系数k，
∵乙，丁在反比例函数图象上，
∴乙，丁的横纵坐标的乘积一定等于反比例函数的比例系数k，
∵丙在反比例函数图象上方，
∴丙的横纵坐标的乘积一定大于反比例函数的比例系数k，
∴四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是丙，
故答案为：C．
【分析】由图象可知横坐标表示单价，纵坐标表示数量， 故每个点的横纵坐标的乘积表示总价，乙、丁两点在反比例函数图象上，根据反比例函数图象上点的坐标特点，乙，丁的横纵坐标的乘积一定等于反比例函数的比例系数k，由于甲在反比例函数图象下方， 故甲的横纵坐标的乘积一定小于反比例函数的比例系数k； 丙在反比例函数图象上方， 丙的横纵坐标的乘积一定大于反比例函数的比例系数k，据此可得答案．
9．（2025·嵊州模拟）如图，平面直角坐标系中有四个点，，，，二次函数（a，b，c为常数，且）的图象经过这四个点中的其中三个点，若要使a取得最小值，则抛物线经过的三个点是（　　）
A．E，F，M B．E，F，O C．E，M，O D．F，M，O
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；数形结合
【解析】【解答】解：由图象知，经过E，F，M三点的二次函数开口向下，；
经过E，F，O三点的二次函数开口向下，；
经过E，M，O三点的抛物线开口向上，，
经过F，M，O三点的二次函数开口向上，；
要使a取得最小值，选项C、D不符合题意，
当抛物线过E，F，M三点时，则，
解得；
当抛物线过E，F，O三点时，则，
解得，
∵，
∴当抛物线过E，F，M三点时，a值最小，
故答案为：A．
【分析】结合图形判断出经过任意三个点的二次函数的开口方向，开口向下时，a＜0，开口向上时，a＞0；要使a取得最小值，排除a＞0时的情况，从而分别利用待定系数法求出开口向下时的函数解析式，即可比较得出答案.
10．（2025·嵊州模拟）如图，在中，，分别以的三边向外作正方形，正方形，正方形．连结，若，，（a为常数），则下列各式为定值的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股树模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点N作，交的延长线于点H，如图所示：
∵正方形，正方形，正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得：，
即，
∴是定值.
故答案为：D．
【分析】过点N作，交的延长线于点H，由正方形性质得，由角的构成、平角及同角的余角相等推出∠ABC=∠NBH，从而用“AAS”判断出△ABC≌△NBH，由全等三角形的对应边相等可得，进而在Rt△DHN中，根据勾股定理可得结论.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·嵊州模拟）分解因式：a2+a=　 　．
【答案】a（a+1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2+a=a（a+1）．
故答案为：a（a+1）．
【分析】直接提取公因式分解因式得出即可．
12．（2025·嵊州模拟）一个不透明的袋子里装有1个红球和3个白球，它们除颜色外均相同，从袋中任意摸出一个球是红球的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，
故答案为：.
【分析】直接根据概率公式求解即可.
13．（2025·嵊州模拟）《算法统宗》中有这样一个问题：今有上禾三束，下禾五束，共价七十钱；上禾五束，下禾三束，共价七十四钱.问上、下禾每束价各几何？小明设上禾每束x钱，下禾每束y钱，则符合题意的二元一次方程组是　 　.
【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得，
故答案为：.
【分析】根据题目中的两个不同束数组合的总价，分别建立两个方程，联立形成二元一次方程组.
14．（2025·嵊州模拟）如图，是的直径，弦于点E，若，连结，则的长为　 　．
【答案】5
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：是的直径，弦于点E，，
，
设的半径为r，则，
在中，，即，
解得，
故答案为：5.
【分析】由垂直弦的直径平分弦可得CE=CD=4，设的半径为r，则，在中，利用勾股定理建立方程，求解得出r的值即可.
15．（2025·嵊州模拟）如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于E，F两点；再以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点P，连接，则的度数是　 　．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线；分类讨论
【解析】【解答】解：由作图方法可知，垂直平分，
∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∴点A在直线上，
如图所示，当点P在点A下方时，
∴，
由作图方法可知，
∴；
如图所示，当点P在点A上方时，
同理可得
由作图方法可知，
∴，
∵，
∴；
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
【分析】由作图方法可知，EF垂直平分BC，由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得出点A在EF上，分类讨论：①点P在点A下方时，由等腰三角形的三线合一得出∠BAP=∠BAC=40°，然后根据等边对等角及三角形内角和定理可求出∠BPA的度数；②当点P在店A上方时，由等腰三角形的三线合一得出∠BAF=∠BAC=40°，然后根据等边对等角及三角形外角性质可求出∠BPA的度数，综上可得答案.
16．（2025·嵊州模拟）如图，放置在平面直角坐标系中，轴，轴，点B坐标为，点C坐标为，把绕点A逆时针旋转一个角度后得到，若边经过点则点E的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作轴的垂线，交于，如下图：
由题意得：，，AO=10，DE=BC=20，
，
DG=OG，AG=GF，
∴DF=DG+GF=OG+AG=OA=10，
设，，
根据勾股定理：，即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
解得：，
，
则点，
故答案为：．
【分析】过点E作EH⊥x轴于点H，由点B、F、C的坐标可得AB=OF=5，AO=10，BC=20，由旋转的性质可得DE=BC=20及AD=AB，∠D=∠B=∠FOG=90°，从而用“AAS”证明△ADG≌△FOG，由全等三角形的对应边相等得DG=OG，AG=GF，则DF=DG+GF=OG+AG=OA=10，设，，在Rt△FOG中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，从而求出GF、GE的长；由有两组角对应相等的两个三角形相似得△FOG∽△EHG，由相似三角形对应边成比例求出GH及HE的长，进而根据线段和差，由OH=GH-OG可算出OH的长，从而即可得到点E的坐标.
三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
17．（2025·嵊州模拟）计算：．
【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据有理数乘方运算法则、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”及负整数指数幂的法则“”分别计算，再根据有理数加减法运算法则计算可得答案.
18．（2025·嵊州模拟） 解方程：
【答案】解：去分母得： x-2(x-1)=-3
去括号得：x-2x+2=-3
移项得：-x=-5
x=5
经检验：x=5是原方程的解.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】首先将方程右边分式变形，使分母与左边相同，然后通过去分母转化为整式方程求解，最后检验解是否合法.
19．（2025·嵊州模拟）某校积极响应“健康中国”战略，引入AI赋能的校园体育云打卡平台，该平台可实时追踪学生运动时长，提供个性化运动数据反馈，以此激励学生养成锻炼习惯．现随机抽取数名学生，统计其使用该平台后每天运动打卡时长t（单位：分钟），结果分为六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，刘老师整理数据后，绘制了如下不完整的两幅统计图，请解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生；
（2）若该校有1200名学生，试估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数．
【答案】（1）解：（名）；
答：本次调查共抽取了200名学生；
（2）解：（人）；
答：估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数为960．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用第4组的人数除以所占的比例可求出本次调查抽取的总人数；
（2）利用样本估计总体的思想，用该校学生的总人数乘以样本中每天综合体育活动时间不低于1小时的学生人数所占的百分比即可估算出该校能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数.
（1）解：（名）；
答：本次调查共抽取了200名学生；
（2）解：（人）；
答：估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数为960．
20．（2025·嵊州模拟）随着日新月异的科技发展，越来越多的领域开始使用智能机器人代替人工劳动．某生产车间实行8小时上班制，工人每日上、下午各工作3.5小时，中午休息1小时．机器人刚开始工作时需开机、预热10分钟，之后正常工作．如果每台智能机器人和每名工人工作时间，工作效率不变，一名工人、一台机器人的每日生产的零件y（个）与上班时间x（小时）的函数关系式如图所示．
（1）求一名工人每小时能生产零件的个数；
（2）当x为何值时，机器人生产的零件数比工人生产的零件数多60个．
【答案】（1）解：由图象可知：
（个）；
答：一名工人每小时能生产零件16个．
（2）解：设机器人所在函数解析式为，由图象可把点代入得：，
解得：，
∴机器人所在函数解析式为（），
同理可得：每名工人在4.5≤x≤8生产零件的个数与工作时间x之间的函数解析式为(4.5≤x≤8)，
将x=4.5代入y=24x-4可得y=24×4.5-4=104，104-56=48＜60，
∴工人中午休息时，机器人生产的零件数不可能比工人生产的零件数多60个 ；
∴，
解得：；
答：当时，机器人生产的零件数比工人生产的零件数多60个．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用；数形结合
【解析】【分析】（1）根据函数图象提供的信息可得一名工人3.5小时可生产零件56个零件，从而根据工作总量除以工作时间等于工作效率求解即可；
（2）利用待定系数法求出机器人生产的零件个数y与工作时间x之间的函数解析式为y=24x-4；再利用待定系数法求出每名工人在4.5≤x≤8生产零件的个数与工作时间x之间的函数解析式为y=16x-16；然后将x=4.5代入y=24x-4算出y=104，求出104与56的差与60比较即可判断出工人中午休息时，机器人生产的零件数不可能比工人生产的零件数多60个 ；然后令4.5≤x≤8时机器人生产的零件数与工人生产的零件数差为60，求解即可得出x的值.
（1）解：由图象可知：
（个）；
答：一名工人每小时能生产零件16个．
（2）解：设机器人所在函数解析式为，由图象可把点代入得：
，
解得：，
∴机器人所在函数解析式为，
由（1）可知：时间在4.5小时到8小时之间工人所生产的零件数为（个），
即当时，则，
∴同理可得：时间在4.5小时到8小时之间的函数解析式为，
∴当时，代入得：，解得：，
不在3.5到4.5之间，所以不符合当工人中午休息时，机器人生产的零件数比工人生产的零件数多60个；
∴，
解得：；
答：当时，机器人生产的零件数比工人生产的零件数多60个．
21．（2025·嵊州模拟）如图1是“宇树科技”机器人“”在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，另一腿的大腿部分与所成的角度为，小腿部分刚好平行于地面，即于点，，．已知，，．是机器人“”小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分）求：
（1）的度数；
（2）点距离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，）
【答案】（1）解：如图，过点作
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵，
∴
∴；
（2）解：如图，过点作，过点作，交于点，则四边形是矩形，
∴，
在中，
∴
∴
答：点距离地面的高度约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）过点作，由二直线平行，同旁内角互补求出∠BAF=90°，根据角的构成，由∠CAF=∠CAB-∠FAB算出∠CAF的度数，然后根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出CD∥AF，最后根据二直线平行，同位角相等可求出∠DCE的度数；
（2）过点作，过点作，交于点，由有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形ABGH是矩形，由矩形对边相等得出HG=AB=60cm，在中，利用∠CAF的正弦函数求得的长，最后根据EG=EH+HG即可得出答案.
（1）解：如图，过点作
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
（2）解：如图，过点作，过点作，交于点，则四边形是矩形，
∴，
在中，
∴
∴
答：点距离地面的高度约为．
22．（2025·嵊州模拟）八年级教材下册5.1《矩形》的作业题中有如下题目：
利用矩形的性质定理“矩形的对角线相等”证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
小嵊同学将该问题输入，给出如下分析：
已知：如图1，在中，，D为斜边的中点． 求证：． 证明思路： 延长至点E，使，连接，，证明构造的四边形是平行四边形，再根据，证明四边形是矩形，最后利用矩形的性质来证明结论．
（1）请根据提供的思路完成证明；
（2）好学的小州同学展开了探索：在中，，延长至点E．
①如图2，若，D为边的中点，连接，，求的度数；
②如图3，若，，点F是边中点，连接，求的长．
【答案】（1）证明：如图，延长至点E，使，连接，，
∵D为斜边的中点．
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴AC=BE，
∴．
（2）解：①如图，连接，
∵D为边的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
②如图，取的中点，则，
∵，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵点F是边中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）如图，延长至点E，使，连接，，由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCE为平行四边形，由有一个内角为90°的平行四边形是矩形可得四边形ABCE为矩形，进而根据矩形的对角线相等得出AC=BE，从而可得结论；
（2）①如图，连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，由等边对等角可得，，再结合三角形的外角的性质可得答案；
②如图，取AB的中点H，则AH=BH=BE，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得FH=EF，由三角形中位线定理得出HF=AC=2，从而即可得出EF的长.
（1）解：如图，延长至点E，使，连接，，
∵D为斜边的中点．
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴．
（2）解：①如图，连接，
∵D为边的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
②如图，取的中点，则，
∵，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵点F是边中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，
∴．
23．（2025·嵊州模拟）在平面直角坐标系中，已知y关于x的二次函数（m为常数）．
（1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）若点，其中．
①若的最大值是1，求m的值；
②若点也在抛物线上，且对于，，都有，求m的取值范围．
【答案】（1）解：①将m=1代入得
∴．
∴．
∴该二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：①∵，
∴其对称轴为直线，
∵二次项系数，
∴函数图象开口向上．
∵，在对称轴处取得函数最小值，在离对称轴较远的端点处取得最大值．
比较端点与的距离为，端点与的距离为，
∴当时，取得最大值．
把代入函数中，可得，即．
∵的最大值是，
∴，
解得．
②∵点在抛物线上，
∴．
∵点在抛物线上，且，
∴．
∵对于，，都有，
∴．的取值范围是，
∴在取值范围内的最大值在处取得．
当时，；
∴最大值为．
∴，移项化为．
对于一元二次方程，
，
∴，．
∵，
∴或．
【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）先将m=1代入二次函数y=x2-2mx+m2+m，再通过配方法将二次函数化为顶点式，从而得到顶点坐标；
（2）①先将二次函数解析式化为顶点式，确定其对称轴为x=m，再根据二次项系数a=1＞0，抛物线开口向上，可得在对称轴x=m处取得函数最小值，在离对称轴较远的端点处取得最大值，结合x的取值范围比较两界点处离对称轴直线的距离，判断出x1=m-3时，求出y1的最大值1，据此即可求解；
②先分别求出和的表达式，再根据及x1=m-3处取得最大值列出不等式，整理转化为，然后利用公式法求出对于一元二次方程的两个根即可得出m的取值范围.
（1）解：①当时，函数变为
∴．
∴．
∴该二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：①∵，
∴其对称轴为直线，
∵二次项系数，
∴函数图象开口向上．
∵，在对称轴处取得函数最小值，在离对称轴较远的端点处取得最大值．
比较端点与的距离为，端点与的距离为，
∴当时，取得最大值．
把代入函数中，可得，即．
∵的最大值是，
∴，
解得．
②∵点在抛物线上，
∴．
∵点在抛物线上，且，
∴．
∵对于，，都有，
∴．的取值范围是，
∴在取值范围内的最大值在或处取得．
当时，；
当时，，
∴最大值为．
∴，移项化为．
对于一元二次方程，
，
∴，．
∵，
∴或．
24．（2025·嵊州模拟）已知，正方形，，以为直径在正方形内部作半圆M，点E是边上动点，连结交半圆M于点F，连结．
（1）若，求的度数；
（2）如图2，连结，将沿着对折，得到，交于点N．
①若，求的度数；
②求的最小值．
【答案】（1）解∶∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
（2）解∶ ①设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②由折叠的性质得：，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当与圆O相切时，最小，则最小，此时取得最小值，
如图，连接，
∵，
∴与圆O相切，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴四边形是菱形，
∴垂直平分，
∵，
∴点M在上，
∵正方形，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
即的最小值为．
【知识点】菱形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理；切线长定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半可得，由正方形四个内角都是直角得∠ADC=90°，最后根据角的构成可求出∠ADE的度数；
（2）①设，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出，由等边对等角可得，从而得到，再由三角形的内角和定理可得，由折叠得到，最后根据角的构成可求出∠MFP的度数；
②仿照①的思路先证明；可得当AF与圆O相切时，最小，则最小，此时MN取得最小值；连接AP，根据切线长定理得AD=AF，由折叠的性质得：，由四边相等的四边形是菱形得四边形AFPD是菱形，由菱形的对角线互相垂直平分得到AP垂直平分DF，由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得出点M在AP上；在Rt△ADM中，根据勾股定理算出AM，再由余弦函数的定义，求出∠DAQ的余弦函数值，由同角的余角相等推出，根据等角的同名三角函数值相等得，再利用余弦函数定义可得DQ、DN的长，最后根据线段和差即可求解．
（1）解∶∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
（2）解∶ ①由折叠的性质得：，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②由折叠的性质得：，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当与圆O相切时，最小，则最小，此时取得最小值，
如图，连接，
∵，
∴与圆O相切，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴四边形是菱形，
∴垂直平分，
∵，
∴点M在上，
∵正方形，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
即的最小值为．
1 / 1浙江省绍兴市嵊州市2025年中考一模数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025·嵊州模拟）下列四个数，最大的数是（　　）
A． B．0 C． D．
2．（2025·嵊州模拟）下列用七巧板拼成的图案轮廓中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·嵊州模拟） 据某平台统计，2025年“五一”期间，嵊州市网红街“东前街”共接待游客约175000人次.数字175000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·嵊州模拟）为纪念“五·四”运动106周年，某校举办歌咏比赛，某班演唱后五位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，则这组数据的中位数是（　　）
A．9.6 B．9.5 C．9.4 D．9.2
5．（2025·嵊州模拟） 估计-的值应在（　　）
A．3和4之间 B．2和3之间 C．1和2之间 D．0和1之间
6．（2025·嵊州模拟）已知菱形的两条对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形的边长为（　　）
A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm
7．（2025·嵊州模拟）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（　　）
A．2027 B．2028 C．2029 D．2030
8．（2025·嵊州模拟）如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．（2025·嵊州模拟）如图，平面直角坐标系中有四个点，，，，二次函数（a，b，c为常数，且）的图象经过这四个点中的其中三个点，若要使a取得最小值，则抛物线经过的三个点是（　　）
A．E，F，M B．E，F，O C．E，M，O D．F，M，O
10．（2025·嵊州模拟）如图，在中，，分别以的三边向外作正方形，正方形，正方形．连结，若，，（a为常数），则下列各式为定值的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·嵊州模拟）分解因式：a2+a=　 　．
12．（2025·嵊州模拟）一个不透明的袋子里装有1个红球和3个白球，它们除颜色外均相同，从袋中任意摸出一个球是红球的概率为　 　.
13．（2025·嵊州模拟）《算法统宗》中有这样一个问题：今有上禾三束，下禾五束，共价七十钱；上禾五束，下禾三束，共价七十四钱.问上、下禾每束价各几何？小明设上禾每束x钱，下禾每束y钱，则符合题意的二元一次方程组是　 　.
14．（2025·嵊州模拟）如图，是的直径，弦于点E，若，连结，则的长为　 　．
15．（2025·嵊州模拟）如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于E，F两点；再以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点P，连接，则的度数是　 　．
16．（2025·嵊州模拟）如图，放置在平面直角坐标系中，轴，轴，点B坐标为，点C坐标为，把绕点A逆时针旋转一个角度后得到，若边经过点则点E的坐标是　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分）
17．（2025·嵊州模拟）计算：．
18．（2025·嵊州模拟） 解方程：
19．（2025·嵊州模拟）某校积极响应“健康中国”战略，引入AI赋能的校园体育云打卡平台，该平台可实时追踪学生运动时长，提供个性化运动数据反馈，以此激励学生养成锻炼习惯．现随机抽取数名学生，统计其使用该平台后每天运动打卡时长t（单位：分钟），结果分为六组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，刘老师整理数据后，绘制了如下不完整的两幅统计图，请解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生；
（2）若该校有1200名学生，试估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数．
20．（2025·嵊州模拟）随着日新月异的科技发展，越来越多的领域开始使用智能机器人代替人工劳动．某生产车间实行8小时上班制，工人每日上、下午各工作3.5小时，中午休息1小时．机器人刚开始工作时需开机、预热10分钟，之后正常工作．如果每台智能机器人和每名工人工作时间，工作效率不变，一名工人、一台机器人的每日生产的零件y（个）与上班时间x（小时）的函数关系式如图所示．
（1）求一名工人每小时能生产零件的个数；
（2）当x为何值时，机器人生产的零件数比工人生产的零件数多60个．
21．（2025·嵊州模拟）如图1是“宇树科技”机器人“”在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，另一腿的大腿部分与所成的角度为，小腿部分刚好平行于地面，即于点，，．已知，，．是机器人“”小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分）求：
（1）的度数；
（2）点距离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，）
22．（2025·嵊州模拟）八年级教材下册5.1《矩形》的作业题中有如下题目：
利用矩形的性质定理“矩形的对角线相等”证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
小嵊同学将该问题输入，给出如下分析：
已知：如图1，在中，，D为斜边的中点． 求证：． 证明思路： 延长至点E，使，连接，，证明构造的四边形是平行四边形，再根据，证明四边形是矩形，最后利用矩形的性质来证明结论．
（1）请根据提供的思路完成证明；
（2）好学的小州同学展开了探索：在中，，延长至点E．
①如图2，若，D为边的中点，连接，，求的度数；
②如图3，若，，点F是边中点，连接，求的长．
23．（2025·嵊州模拟）在平面直角坐标系中，已知y关于x的二次函数（m为常数）．
（1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）若点，其中．
①若的最大值是1，求m的值；
②若点也在抛物线上，且对于，，都有，求m的取值范围．
24．（2025·嵊州模拟）已知，正方形，，以为直径在正方形内部作半圆M，点E是边上动点，连结交半圆M于点F，连结．
（1）若，求的度数；
（2）如图2，连结，将沿着对折，得到，交于点N．
①若，求的度数；
②求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴最大的数是，
故答案为：D.
【分析】先根据绝对值性质化简绝对值，同时根据估算无理数大小的方法判断出的范围，最后根据正数大于零，0大于负数进行比较即可.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中用七巧板拼成的图案轮廓不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、此选项中用七巧板拼成的图案轮廓是轴对称图形，故此选项合题意；
C、此选项中用七巧板拼成的图案轮廓不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、此选项中用七巧板拼成的图案轮廓不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】还原用科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：175000=1.75×105，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：把五位评委给出的分数从小到大排列为9.2，9.4，9.5，9.5，9.6，故这组数据的中位数是9.5.
故答案为：B.
【分析】求中位数需要先将数据按大小顺序排列，然后根据数据个数的奇偶性找到中间位置的数.
5．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
，
∵4<7<9，
∴，
即原式的值在2和3之间，
故答案为：B.
【分析】先计算二次根式，再找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围即可求解.
6．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】根据题意作图如下：
∵菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，
∴OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，
在直角三角形AOD中AD===5cm，
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质可得OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，再利用勾股定理可得AD的长。
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵m是一元二次方程的一个根，
∴，即，
∴，
故答案为：C.
【分析】能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解，据此将x=m代入方程x2-x-2=0可得m2-m=2，然后将待求式子含字母的项逆用乘法分配律变形后整体代入计算可得答案.
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征；数形结合
【解析】【解答】解：∵横坐标表示单价，纵坐标表示数量，
∴每个点的横纵坐标的乘积表示总价，
∵甲在反比例函数图象下方，
∴甲的横纵坐标的乘积一定小于反比例函数的比例系数k，
∵乙，丁在反比例函数图象上，
∴乙，丁的横纵坐标的乘积一定等于反比例函数的比例系数k，
∵丙在反比例函数图象上方，
∴丙的横纵坐标的乘积一定大于反比例函数的比例系数k，
∴四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是丙，
故答案为：C．
【分析】由图象可知横坐标表示单价，纵坐标表示数量， 故每个点的横纵坐标的乘积表示总价，乙、丁两点在反比例函数图象上，根据反比例函数图象上点的坐标特点，乙，丁的横纵坐标的乘积一定等于反比例函数的比例系数k，由于甲在反比例函数图象下方， 故甲的横纵坐标的乘积一定小于反比例函数的比例系数k； 丙在反比例函数图象上方， 丙的横纵坐标的乘积一定大于反比例函数的比例系数k，据此可得答案．
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；数形结合
【解析】【解答】解：由图象知，经过E，F，M三点的二次函数开口向下，；
经过E，F，O三点的二次函数开口向下，；
经过E，M，O三点的抛物线开口向上，，
经过F，M，O三点的二次函数开口向上，；
要使a取得最小值，选项C、D不符合题意，
当抛物线过E，F，M三点时，则，
解得；
当抛物线过E，F，O三点时，则，
解得，
∵，
∴当抛物线过E，F，M三点时，a值最小，
故答案为：A．
【分析】结合图形判断出经过任意三个点的二次函数的开口方向，开口向下时，a＜0，开口向上时，a＞0；要使a取得最小值，排除a＞0时的情况，从而分别利用待定系数法求出开口向下时的函数解析式，即可比较得出答案.
10．【答案】D
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股树模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点N作，交的延长线于点H，如图所示：
∵正方形，正方形，正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得：，
即，
∴是定值.
故答案为：D．
【分析】过点N作，交的延长线于点H，由正方形性质得，由角的构成、平角及同角的余角相等推出∠ABC=∠NBH，从而用“AAS”判断出△ABC≌△NBH，由全等三角形的对应边相等可得，进而在Rt△DHN中，根据勾股定理可得结论.
11．【答案】a（a+1）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2+a=a（a+1）．
故答案为：a（a+1）．
【分析】直接提取公因式分解因式得出即可．
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，
故答案为：.
【分析】直接根据概率公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意得，
故答案为：.
【分析】根据题目中的两个不同束数组合的总价，分别建立两个方程，联立形成二元一次方程组.
14．【答案】5
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：是的直径，弦于点E，，
，
设的半径为r，则，
在中，，即，
解得，
故答案为：5.
【分析】由垂直弦的直径平分弦可得CE=CD=4，设的半径为r，则，在中，利用勾股定理建立方程，求解得出r的值即可.
15．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线；分类讨论
【解析】【解答】解：由作图方法可知，垂直平分，
∵，
∴点A在线段的垂直平分线上，
∴点A在直线上，
如图所示，当点P在点A下方时，
∴，
由作图方法可知，
∴；
如图所示，当点P在点A上方时，
同理可得
由作图方法可知，
∴，
∵，
∴；
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
【分析】由作图方法可知，EF垂直平分BC，由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得出点A在EF上，分类讨论：①点P在点A下方时，由等腰三角形的三线合一得出∠BAP=∠BAC=40°，然后根据等边对等角及三角形内角和定理可求出∠BPA的度数；②当点P在店A上方时，由等腰三角形的三线合一得出∠BAF=∠BAC=40°，然后根据等边对等角及三角形外角性质可求出∠BPA的度数，综上可得答案.
16．【答案】
【知识点】点的坐标；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点作轴的垂线，交于，如下图：
由题意得：，，AO=10，DE=BC=20，
，
DG=OG，AG=GF，
∴DF=DG+GF=OG+AG=OA=10，
设，，
根据勾股定理：，即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
解得：，
，
则点，
故答案为：．
【分析】过点E作EH⊥x轴于点H，由点B、F、C的坐标可得AB=OF=5，AO=10，BC=20，由旋转的性质可得DE=BC=20及AD=AB，∠D=∠B=∠FOG=90°，从而用“AAS”证明△ADG≌△FOG，由全等三角形的对应边相等得DG=OG，AG=GF，则DF=DG+GF=OG+AG=OA=10，设，，在Rt△FOG中，利用勾股定理建立方程可求出x的值，从而求出GF、GE的长；由有两组角对应相等的两个三角形相似得△FOG∽△EHG，由相似三角形对应边成比例求出GH及HE的长，进而根据线段和差，由OH=GH-OG可算出OH的长，从而即可得到点E的坐标.
17．【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据有理数乘方运算法则、0指数幂法则“a0=1(a≠0)”及负整数指数幂的法则“”分别计算，再根据有理数加减法运算法则计算可得答案.
18．【答案】解：去分母得： x-2(x-1)=-3
去括号得：x-2x+2=-3
移项得：-x=-5
x=5
经检验：x=5是原方程的解.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】首先将方程右边分式变形，使分母与左边相同，然后通过去分母转化为整式方程求解，最后检验解是否合法.
19．【答案】（1）解：（名）；
答：本次调查共抽取了200名学生；
（2）解：（人）；
答：估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数为960．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用第4组的人数除以所占的比例可求出本次调查抽取的总人数；
（2）利用样本估计总体的思想，用该校学生的总人数乘以样本中每天综合体育活动时间不低于1小时的学生人数所占的百分比即可估算出该校能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数.
（1）解：（名）；
答：本次调查共抽取了200名学生；
（2）解：（人）；
答：估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数为960．
20．【答案】（1）解：由图象可知：
（个）；
答：一名工人每小时能生产零件16个．
（2）解：设机器人所在函数解析式为，由图象可把点代入得：，
解得：，
∴机器人所在函数解析式为（），
同理可得：每名工人在4.5≤x≤8生产零件的个数与工作时间x之间的函数解析式为(4.5≤x≤8)，
将x=4.5代入y=24x-4可得y=24×4.5-4=104，104-56=48＜60，
∴工人中午休息时，机器人生产的零件数不可能比工人生产的零件数多60个 ；
∴，
解得：；
答：当时，机器人生产的零件数比工人生产的零件数多60个．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用；数形结合
【解析】【分析】（1）根据函数图象提供的信息可得一名工人3.5小时可生产零件56个零件，从而根据工作总量除以工作时间等于工作效率求解即可；
（2）利用待定系数法求出机器人生产的零件个数y与工作时间x之间的函数解析式为y=24x-4；再利用待定系数法求出每名工人在4.5≤x≤8生产零件的个数与工作时间x之间的函数解析式为y=16x-16；然后将x=4.5代入y=24x-4算出y=104，求出104与56的差与60比较即可判断出工人中午休息时，机器人生产的零件数不可能比工人生产的零件数多60个 ；然后令4.5≤x≤8时机器人生产的零件数与工人生产的零件数差为60，求解即可得出x的值.
（1）解：由图象可知：
（个）；
答：一名工人每小时能生产零件16个．
（2）解：设机器人所在函数解析式为，由图象可把点代入得：
，
解得：，
∴机器人所在函数解析式为，
由（1）可知：时间在4.5小时到8小时之间工人所生产的零件数为（个），
即当时，则，
∴同理可得：时间在4.5小时到8小时之间的函数解析式为，
∴当时，代入得：，解得：，
不在3.5到4.5之间，所以不符合当工人中午休息时，机器人生产的零件数比工人生产的零件数多60个；
∴，
解得：；
答：当时，机器人生产的零件数比工人生产的零件数多60个．
21．【答案】（1）解：如图，过点作
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵，
∴
∴；
（2）解：如图，过点作，过点作，交于点，则四边形是矩形，
∴，
在中，
∴
∴
答：点距离地面的高度约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）过点作，由二直线平行，同旁内角互补求出∠BAF=90°，根据角的构成，由∠CAF=∠CAB-∠FAB算出∠CAF的度数，然后根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出CD∥AF，最后根据二直线平行，同位角相等可求出∠DCE的度数；
（2）过点作，过点作，交于点，由有三个内角为直角的四边形是矩形得出四边形ABGH是矩形，由矩形对边相等得出HG=AB=60cm，在中，利用∠CAF的正弦函数求得的长，最后根据EG=EH+HG即可得出答案.
（1）解：如图，过点作
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
（2）解：如图，过点作，过点作，交于点，则四边形是矩形，
∴，
在中，
∴
∴
答：点距离地面的高度约为．
22．【答案】（1）证明：如图，延长至点E，使，连接，，
∵D为斜边的中点．
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴AC=BE，
∴．
（2）解：①如图，连接，
∵D为边的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
②如图，取的中点，则，
∵，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵点F是边中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）如图，延长至点E，使，连接，，由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形ABCE为平行四边形，由有一个内角为90°的平行四边形是矩形可得四边形ABCE为矩形，进而根据矩形的对角线相等得出AC=BE，从而可得结论；
（2）①如图，连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，由等边对等角可得，，再结合三角形的外角的性质可得答案；
②如图，取AB的中点H，则AH=BH=BE，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得FH=EF，由三角形中位线定理得出HF=AC=2，从而即可得出EF的长.
（1）解：如图，延长至点E，使，连接，，
∵D为斜边的中点．
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴．
（2）解：①如图，连接，
∵D为边的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
②如图，取的中点，则，
∵，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵点F是边中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：①将m=1代入得
∴．
∴．
∴该二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：①∵，
∴其对称轴为直线，
∵二次项系数，
∴函数图象开口向上．
∵，在对称轴处取得函数最小值，在离对称轴较远的端点处取得最大值．
比较端点与的距离为，端点与的距离为，
∴当时，取得最大值．
把代入函数中，可得，即．
∵的最大值是，
∴，
解得．
②∵点在抛物线上，
∴．
∵点在抛物线上，且，
∴．
∵对于，，都有，
∴．的取值范围是，
∴在取值范围内的最大值在处取得．
当时，；
∴最大值为．
∴，移项化为．
对于一元二次方程，
，
∴，．
∵，
∴或．
【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）先将m=1代入二次函数y=x2-2mx+m2+m，再通过配方法将二次函数化为顶点式，从而得到顶点坐标；
（2）①先将二次函数解析式化为顶点式，确定其对称轴为x=m，再根据二次项系数a=1＞0，抛物线开口向上，可得在对称轴x=m处取得函数最小值，在离对称轴较远的端点处取得最大值，结合x的取值范围比较两界点处离对称轴直线的距离，判断出x1=m-3时，求出y1的最大值1，据此即可求解；
②先分别求出和的表达式，再根据及x1=m-3处取得最大值列出不等式，整理转化为，然后利用公式法求出对于一元二次方程的两个根即可得出m的取值范围.
（1）解：①当时，函数变为
∴．
∴．
∴该二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：①∵，
∴其对称轴为直线，
∵二次项系数，
∴函数图象开口向上．
∵，在对称轴处取得函数最小值，在离对称轴较远的端点处取得最大值．
比较端点与的距离为，端点与的距离为，
∴当时，取得最大值．
把代入函数中，可得，即．
∵的最大值是，
∴，
解得．
②∵点在抛物线上，
∴．
∵点在抛物线上，且，
∴．
∵对于，，都有，
∴．的取值范围是，
∴在取值范围内的最大值在或处取得．
当时，；
当时，，
∴最大值为．
∴，移项化为．
对于一元二次方程，
，
∴，．
∵，
∴或．
24．【答案】（1）解∶∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
（2）解∶ ①设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②由折叠的性质得：，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当与圆O相切时，最小，则最小，此时取得最小值，
如图，连接，
∵，
∴与圆O相切，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴四边形是菱形，
∴垂直平分，
∵，
∴点M在上，
∵正方形，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
即的最小值为．
【知识点】菱形的判定与性质；正方形的性质；圆周角定理；切线长定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半可得，由正方形四个内角都是直角得∠ADC=90°，最后根据角的构成可求出∠ADE的度数；
（2）①设，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出，由等边对等角可得，从而得到，再由三角形的内角和定理可得，由折叠得到，最后根据角的构成可求出∠MFP的度数；
②仿照①的思路先证明；可得当AF与圆O相切时，最小，则最小，此时MN取得最小值；连接AP，根据切线长定理得AD=AF，由折叠的性质得：，由四边相等的四边形是菱形得四边形AFPD是菱形，由菱形的对角线互相垂直平分得到AP垂直平分DF，由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得出点M在AP上；在Rt△ADM中，根据勾股定理算出AM，再由余弦函数的定义，求出∠DAQ的余弦函数值，由同角的余角相等推出，根据等角的同名三角函数值相等得，再利用余弦函数定义可得DQ、DN的长，最后根据线段和差即可求解．
（1）解∶∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴；
（2）解∶ ①由折叠的性质得：，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②由折叠的性质得：，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当与圆O相切时，最小，则最小，此时取得最小值，
如图，连接，
∵，
∴与圆O相切，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴四边形是菱形，
∴垂直平分，
∵，
∴点M在上，
∵正方形，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
即的最小值为．
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