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浙江省宁波市宁海县2025年中考二模数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．（2025·宁海模拟）以下四个数中最大的数是（　　）
A．3 B．2 C．-1 D．-4
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：
∴最大的数为3，
故答案为：A.
【分析】根据有理数的大小比较法则即可求出答案.
2．（2025·宁海模拟）5个相同正方体搭成的几何体主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，几何体的主视图为：
故答案为：B．
【分析】从小正方体搭成的几何体前面向后看得到的平面图形就是该几何体的主视图，该小正方体搭成的几何体的主视图有三列两行，从左至右各列小正方形的个数依次为2、1、2；从下往上各行小正方形的个数依次为3、2，据此逐一判断得出答案.
3．（2025·宁海模拟）2024年某市某区总量约为50570000000元，数据50570000000用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时， n是正数；当原数的绝对值 时， n是负数.
4．（2025·宁海模拟）下列式子运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x3与x2不是同类项，不能合并，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确.
故答案为：D．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断D选项.
5．（2025·宁海模拟）某射击运动员5次射击成绩分别为（单位：环）：9.0，8.6，9.0，8.4，10．则这5次成绩的中位数为（　　）
A．8.6环 B．9.0环 C．8.8环 D．9.5环
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列为： 8.4， 8.6， 9.0， 9.0， 10，
∴中位数为9.0.
故答案为：B.
【分析】先将数据从大到小从新排列，然后根据中位数的定义求解即可.
6．（2025·宁海模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点．若点 的对应点为，四边形的周长为27，则四边形的周长为（　　）
A．9 B．6 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：点 的对应点为，
四边形与四边形的位似比为3，
四边形与四边形的周长比为3，
四边形的周长为27，
四边形的周长为：，
故答案为：A．
【分析】在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），根据性质可求出两个四边形的位似比，进而根据位似图形周长的比等于位似比求解即可.
7．（2025·宁海模拟）动画电影《哪吒》以打破中国影史记录的票房引起国内外关注，某商家相应推出了联名款的玩偶和人物卡片．已知购买个玩偶和2包人物卡片需花费55元，购买个玩偶和5包人物卡片需花费65元，问联名款的玩偶和人物卡片的单价分别为多少？设玩偶单价为元/个，人物卡片单价为元/包，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；列二元一次方程
【解析】【解答】解：依题意得：
故答案为：D.
【分析】根据“购买3个玩偶和2包人物卡片需花费55元，购买1个玩偶和5包人物卡片需花费65元”，即可得出关于x， y的二元一次方程组.
8．（2025·宁海模拟）如图，在中，，取边上任意一点D（不与点A重合），连结，作，与交于点F，则下列结论中正确的是（　　）
①当点D位置变化时，F始终为中点；
②当D为中点时，线段取得最小值；
③当时，四边形为矩形；
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴F始终为中点，故①正确；
由垂线段最短可知，当时，线段取得最小值，
当D为中点时，则，
∴四边形是菱形，
∴，此时与不垂直，故②不正确；
∵四边形是平行四边形，
∴当时，四边形为矩形，故③正确．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可判断①；根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出AD=CD，从而由一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形ADCE是菱形，进而根据菱形的对角线互相垂直可得ED⊥AC，但此时FD与AB不垂直，根据垂线段最短得出此时FD不是最短的，即可判断②；根据有一个内角为直角的平行四边形是矩形可判断③．
9．（2025·宁海模拟）二次函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴直线的距离越远，其对应的函数值就越大，
∵， ，且|4-2|=2＞|a-2|，∴，故A选项不符合题意；
当a＞2时，抛物线开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∵， ，
∴ 当时，则，当时，则，故B、D选项不符合题意；
当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴直线的距离越远，其对应的函数值就越小，
∵， ，
∴|a-2|=2-a＞|2-4|=2，∴，故C选项符合题意.
故答案为：C.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)中，对称轴直线为，当a＞0时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴直线的距离越远，其对应的函数值就越大，当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴直线的距离越远，其对应的函数值就越小，据此可判断A、C选项；二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)中，当a＞0，时，y随x增大而增大， 据此可判断A、D选项.
10．（2025·宁海模拟）弦图是我国古代数学家证明勾股定理时使用的一种精巧的几何图形，最早见于《周髀算经》和三国时期刘徽的《九章算术注》．弦图的基本结构由四个全等的直角三角形和一个中心正方形组成．如下弦图中，四边形和四边形为正方形，点E，F，G，H分别在边上，，连结，分别交于点M，N，．则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；“赵爽弦图”模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点M作于P，
由弦图可得：，
∴，，，
∵正方形，
∴
∴
∴
设，由，
由勾股定理，得，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
设，则，，
∴
∴
∵，，
∴
∴即，
∴，
解得：，（舍去），
∴，，
∴
故答案为：D．
【分析】过点M作MP⊥AD于点P，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得AE=BF=CG=DH，AF=BG=CH=DE=3及∠PEM=∠BGN，由正方形的每一条对角线平分一组对角得出∠EDM=∠GBN=45°，从而用“ASA”证△DEM≌△BNG，由全等三角形的对应边相等得DM=BN；设，由，在Rt△ABD中，由勾股定理表示出BD，结合已知可表示出DM；由等腰直角三角形性质可得PM=PD，设，则，，根据用不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等可求得；由有两组角相等的两个三角形相似证由相似三角形对应边成比例建立方程求出y的值，则可得到PE、PM的长，最后再根据勾股定理算出EM即可.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·宁海模拟）因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
12．（2025·宁海模拟）不等式组的解是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：；
故答案为：.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
13．（2025·宁海模拟）如图，是的切线，为半径，连结交圆于点C，点D在优弧上．已知，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵是的切线，OB为半径
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：．
【分析】由圆的切线垂直经过切点的半径得出∠ABO=90°，由直角三角形的两锐角互余求出∠AOB的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠D的度数.
14．（2025·宁海模拟）卫生委员要在小明、小王、小芳、小慧四人中选派两人去打扫包干区，则刚好选中小王、小慧的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：把剩下的小明、小王、小芳、小慧四人分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好选中小王、小慧有2种结果，
所以刚好选中小王、小慧的概率为
故答案为：
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中刚好选中小王、小慧的结果有2种，再由概率公式求解即可.
15．（2025·宁海模拟）如图，，分别是边，的中点，点是的中点，连结，交于点，若，则　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵点E为AC的中点，点F为AE的中点，
∴AE=AC，AF=EF=AE，
∴AF=EF=AC，
∴CF=AC-AF=AC
∴
∵，分别是边，的中点，
∴且，
∴．
∴，即
∴，
∴．
∴．
故答案为：2.5.
【分析】先线段中点的定义求出AF=EF=AC，再利用线段和差求出CF=AC，则；利用三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半得出DE∥BC，DE=BC，然后根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得出△FGE∽△FBC，由相似三角形对应边成比例建立方程求出BC的长，从而即可求出DE的长，最后根据线段核查可算出DG的长.
16．（2025·宁海模拟）如图，在矩形中，O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，双曲线 分别交，于点D，E，，以为边向下方作， 使与矩形面积相等，连结，，则　 　，的面积是　 　．
【答案】3；
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：过点D作于点H，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴四边形都是矩形，
∴，
由可设，则有，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
连接，过点O作，并延长，交于点Q，如图所示：
由反比例函数k的几何意义可知：，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：3，．
【分析】过点D作于点H，由三个内角都是直角的四边形是矩形易得四边形ABHD与OCDH都是矩形，由矩形的对边相等得AB=DH=OC；设，则有，根据反比例函数图象上点的坐标特点得，，进而得出，，由线段和差表示出AE，从而即可求出AE与BE的比值；根据矩形面积公式算出矩形ABOC的面积；连接，过点O作，并延长，交于点Q，根据反比例函数k的几何意义得出 由三角形面积公式算出△ADE的面积，然后利用割补法，由算出△DEO的面积，结合三角形和平行四边形面积公式推出，从而即可得出△OFG的面积.
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．（2025·宁海模拟）计算：．
【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据立方根定义、绝对值性质及负整数指数幂法则“”分别计算，然后计算有理数加法得出答案.
18．（2025·宁海模拟）小明解分式方程如下图所示，小慧认为小明过程有错误，请指出过程中首次出错的是__________（填序号），并给出正确的解题过程．
解方程： 解：去分母得， ------① 移项得， ----------------② 所以， --------------------③ 经检验：不是原方程的根，原方程无解．----④
【答案】①
解：
去分母得，，
移项得，
所以，，
经检验：是原方程的根
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴原方程可变形为，
在方程的两边同时乘以x-3约去分母，得到x+x-3=-2，
∴小明计算过程中首次出错的是①；
故答案为：①；
【分析】小明解题过程首次出错的是第①步，出错的原因没有注意到，因此原方程可变形为，在方程的两边同时乘以x-3约去分母得到x+x-3=-2，小明在第①步中错误的将右边写成2，导致后续过程全部错误；正确的解法，先将方程右边的分母与分式本身同时改变符号，然后方程两边同时乘以x-3约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验可得结论.
19．（2025·宁海模拟）图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中作一个以为腰的等腰．
（2）在图2中以为边画一个平行四边形．
【答案】（1）解：如图，△ABC就是所求的三角形；
（2）解：如图，四边形ABCD就是所求的平行四边形.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）开放性命题，答案不唯一；利用网格纸的特点、全等三角形的对应边相等及等腰三角形定义作图即可；
（2） 开放性命题，答案不唯一；利用网格纸的特点，平行四边形的判定定理（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）作图即可.
（1）解：如图所示，等腰即为所求；
（2）解：如图所示，平行四边形即为所求；
20．（2025·宁海模拟）年大模型井喷式发展，某校学生为了解全校学生对大模型的使用情况开展了相关抽样调查．同学们对此次调查设计了调查问卷，发放了200份问卷并全部回收，对回收的问卷做了归纳统计，相关信息如下：
大模型调查问卷 请根据实际情况填写，每空填写一个． 问题1：你平时学习生活中会使用大模型吗？　 　 （填“会”或“不会”） 问题1中回答“会”的请继续回答下面问题： 问题2：你平时学习生活中使用最多的大模型是． （A）豆包（B）（C）（D）通义千问（E）其他 问题3：你使用大模型主要是用于以下哪个方面　 　 （A）辅助学习（B）查找信息（C）休闲娱乐（D）其他
根据以上信息．解答下列问题：
（1）本次调查的200人中使用最多的大模型为“豆包”的有多少人？
（2）全校共有2000名学生，根据统计信息，估计该校使用最多的AI大模型为“通义千问”的学生人数．
【答案】（1）解：（人），
答：本次调查的200人中使用最多的大模型为“豆包”的有45人．
（2）解：由图可知：所占百分比为，则通义千问所占百比分为：，
∴使用最多的AI大模型为“通义千问”的学生人数为：．
答：使用最多的AI大模型为“通义千问”的学生人数为90人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用本次调查抽取的总人数乘以会使用AI大模型的人数所占的百分比得到会用总人数，然后再乘以使用“豆包”的人数所占的百分比，即可得出本次调查的总人数中使用最多的AI大模型为“豆包”的人数；
（2）由统计图表提供的信息可得所占百分比为，从而根据使用各个AI大模型的人数所占的百分比为1可求得使用通义千问所占的百分比为，利用样本估计总体的思想，用该学校总人数乘以会用AI大模型的人数所占的百分比得到会用总人数 ，再乘以样本中使用“通义千问”的学生人数所占的百分比，即可估计该校使用最多的AI大模型为“通义千问”的学生人数.
（1）解：（人），
答：本次调查的200人中使用最多的大模型为“豆包”的有45人．
（2）解：由图可知：所占百分比为，
则通义千问所占百比分为：，
∴使用最多的AI大模型为“通义千问”的学生人数为：．
答：使用最多的AI大模型为“通义千问”的学生人数为90人．
21．（2025·宁海模拟）某数学活动小组设计采用航拍无人机测量楼高．如图所示，航拍无人机飞行到楼房前方某高度时测得楼房底端B处俯角为，楼房顶端A处俯角为，米．
（1）求此时航拍无人机离地面的垂直距离．
（2）求楼房高度．
（本题参考数据：，结果精确到1米）
【答案】（1）解：
由题意，得，
∴，
在 中，
（米），
即无人机距离地面112米．
（2）解：
在中，
（米），
由题意可知四边形为矩形，
，
在中，
（米），
（米），
米．
即楼房高为49米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】【分析】
（1）过点S作BC的垂线段SF构造，再解直角三角形即可；
（2）过点A作SF的垂线段AE，再解直角三角形可得米，再利用矩形的性质可得米，再解即可求解．
（1）解：
由题意，得，
∴，
在 中，
（米），
即无人机距离地面112米．
（2）解：
在中，
（米），
由题意可知四边形为矩形，
，
在中，
（米），
（米），
米．
即楼房高为49米．
22．（2025·宁海模拟）甲、乙两人分别驾车和骑车匀速从A地前往B地，甲到达B地后以原速度立马返回A地，在A地休息1小时后，又以原速度前往B地；乙从A地出发骑车5小时到达途中的景点C，停车在景点C游玩2小时，接着以原速度继续前往B地．甲、乙两人距离A地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）分别求甲、乙的速度．
（2）求甲从B地返回A地时路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式？
（3）甲、乙两人第二次相遇时距离A地多远？
【答案】（1）解：（千米/小时），
（千米/小时）
（2）解：甲从B地返回时的时间为（小时），
设甲从B地返回A地时路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式，
把，代入，得
，解得：，
∴
∵甲从B地返回A地时开始时间为2.5小时，结束时间为5小时，
∴，
∴
（3）解：∵甲行驶速度没变，
∴甲第二次从A地到B地的函数图象与第二次从A地到B地函数图象平行，
∴设甲第二次从A地到B地的函数解析式为，
把代入，得，
∴
∴
乙从A地到C地距离为（千米），
∴休息后，由C地继续前往B地的出发地坐标为，B地的坐标为
∴设乙休息后，由C地继续前往B地的函数解析式为，
把，分别代入，得，
解得：，
∴，
联立得，
解得，
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用-行程问题；数形结合
【解析】【分析】（1）结合图象A、B两地相距200千米，甲驾车匀速从A地前往B地，甲到达B地后以原速度立马返回A地共用时5小时；乙骑车匀速从A地前往B地，途中休息2小时，总用时12小时，从而根据速度=路程÷时间即可分别求出甲乙的度数；
（2）设甲从B地返回A地时路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式y=kx+b，然后将(2.5，200)与(5，0)分别代入可得关于字母k、b的方程组，求解得出k、b的值，即可求出函数解析式，进而结合图象写出自变量的取值范围；
（3）先利用待定系数法求得甲第二次从A地到B地的函数解析式及乙休息后，由C地继续前往B地的函数解析式，再联立方程组，求解即可．
（1）解：（千米/小时），
（千米/小时），
（2）解：甲从B地返回时的时间为（小时），
设甲从B地返回A地时路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式，
把，代入，得
，解得：，
∴
∵甲从B地返回A地时开始时间为2.5小时，结束时间为5小时，
∴，
∴．
（3）解：∵甲行驶速度没变，
∴甲第二次从A地到B地的函数图象与第二次从A地到B地函数图象平行，
∴设甲第二次从A地到B地的函数解析式为，
把代入，得，
∴
∴
乙从A地到C地距离为（千米），
∴休息后，由C地继续前往B地的出发地坐标为，B地的坐标为
∴设乙休息后，由C地继续前往B地的函数解析式为，
把，分别代入，得，
解得：，
∴，
，
解得，
23．（2025·宁海模拟）已知二次函数（为常数，）的函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
0 1 2
4
（1）当 时， 求二次函数的表达式．
（2）当时，
①求、之间的数量关系．
②在自变量范围内，的最大值为9，求的值．
【答案】（1）解：由题意可得： ，
解得，
∴
（2）解：①把代入二次函数表达式得：，
②由①可知，二次函数表达式为，
∴对称轴为直线，
以下分两种情况讨论：
当时，，解得：，
当时， ，解得：，
综上所述：或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将x=-1，y=1与x=2，y=4代入y=ax2+bx+4可得关于字母a、b的方程组，求解得出a、b的值，即可得到所求的函数解析式；
（2）①把x=1，y=4代入y=ax2+bx+4即可得到a与b的关系；
②结合①可得二次函数表达式为y=ax2-ax+4，利用对称轴直线公式求出抛物线的对称轴为直线；当a＞0时，函数图象开口向上，图象上的点到对称轴直线的距离越大其函数值就越大，当a＜0时，函数图象开口向下，图象上的点到对称轴直线的距离越大其函数值就越小，据此分两种情况结合x取值范围界点处的值，判断出x为何值时，取得最大值，从而建立方程即可求出a的值.
（1）解：由题意可得： ，
解得，
∴；
（2）①把代入二次函数表达式得：，
②由①可知，二次函数表达式为，
∴对称轴为直线，
以下分两种情况讨论：
当时，，解得：，
当时， ，解得：，
综上所述：或．
24．（2025·宁海模拟）已知内接于圆，作外角的角平分线交圆于点A，连结，．
（1）如图1，求证：为等腰三角形．
（2）如图2，若过圆心，、交于点F，，，求．
（3）如图3，作直径交于点G，若，且，，求圆的半径．
【答案】（1）证明： 如图，
∵DA平分
，
，即为等腰三角形
（2）解：连结．
∵为圆直径
∴
∴
∴
∴
由勾股定理得：
（3）解：连结，在射线上取点K，使得
∵BD∥AC，
∴
∴AD=BC
∵
∴设
∵
∴
∵
∴
∵四边形内接于圆O，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
由勾股定理，得
在Rt△BOG中，
．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠1=∠2，由邻补角、圆内接四边形的对角互补及同角的补角相等推出∠1=∠4，根据同弧所对的圆周角相等得∠2=∠3，则∠3=∠4，从而根据等腰三角形的判定方法可得结论；
（2）连结AO，由直径所对的圆周角为直角得出∠DBC=90°，由圆心角、弧、弦的关系得，由平分弦所对弧的直径垂直弦得出AO⊥BC，由同一平面内，垂直同一直线的两条直线互相平行得出BD∥OA，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得到△OAF∽△DBF，由相似三角形对应边成比例建立方程求出AO，最后由勾股定理求解即可；
（3）连结BO，在射线DE上取点K，使得AK=AD，由夹在两条平行弦中的弧相等得，由等弧所对的弦相等得AD=BC，由 ，可设BC=AD=10x，则BD=21x；由等边对等角、邻补角、圆内接四边形的对角互补及同角的补角相等推出∠ACB=∠ADK=∠AKD=∠ABC，由有两组角相等的两个三角形相似得出△ABC∽△ADK，由相似三角形对应边成比例建立方程表示出DK；由三角形的内角和定理推出∠DAK=∠CAD，由二直线平行内错角相等、角的构成及等量代换可推出∠AKD=∠BAK，由等角对等边明AB=BK，据此建立方程求解得出x的值，从而得到BG的长，再由勾股定理求得AG，最后在Rt△BOG 中，根据勾股定理建立方程，求解可得OB的长.
（1）解：如图，
，
，即为等腰三角形
（2）解：连结．
∵为圆直径
∴
∴
∴
∴
由勾股定理得：
（3）解：连结，在射线上取点K，使得
∵
∴设
∵
∴
∵
∴
∵四边形内接于圆O，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
由勾股定理，得
在RT中，
．
1 / 1浙江省宁波市宁海县2025年中考二模数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．（2025·宁海模拟）以下四个数中最大的数是（　　）
A．3 B．2 C．-1 D．-4
2．（2025·宁海模拟）5个相同正方体搭成的几何体主视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·宁海模拟）2024年某市某区总量约为50570000000元，数据50570000000用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·宁海模拟）下列式子运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·宁海模拟）某射击运动员5次射击成绩分别为（单位：环）：9.0，8.6，9.0，8.4，10．则这5次成绩的中位数为（　　）
A．8.6环 B．9.0环 C．8.8环 D．9.5环
6．（2025·宁海模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点．若点 的对应点为，四边形的周长为27，则四边形的周长为（　　）
A．9 B．6 C．4 D．3
7．（2025·宁海模拟）动画电影《哪吒》以打破中国影史记录的票房引起国内外关注，某商家相应推出了联名款的玩偶和人物卡片．已知购买个玩偶和2包人物卡片需花费55元，购买个玩偶和5包人物卡片需花费65元，问联名款的玩偶和人物卡片的单价分别为多少？设玩偶单价为元/个，人物卡片单价为元/包，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·宁海模拟）如图，在中，，取边上任意一点D（不与点A重合），连结，作，与交于点F，则下列结论中正确的是（　　）
①当点D位置变化时，F始终为中点；
②当D为中点时，线段取得最小值；
③当时，四边形为矩形；
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．（2025·宁海模拟）二次函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．（2025·宁海模拟）弦图是我国古代数学家证明勾股定理时使用的一种精巧的几何图形，最早见于《周髀算经》和三国时期刘徽的《九章算术注》．弦图的基本结构由四个全等的直角三角形和一个中心正方形组成．如下弦图中，四边形和四边形为正方形，点E，F，G，H分别在边上，，连结，分别交于点M，N，．则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2025·宁海模拟）因式分解： 　 　.
12．（2025·宁海模拟）不等式组的解是　 　．
13．（2025·宁海模拟）如图，是的切线，为半径，连结交圆于点C，点D在优弧上．已知，则的度数为　 　．
14．（2025·宁海模拟）卫生委员要在小明、小王、小芳、小慧四人中选派两人去打扫包干区，则刚好选中小王、小慧的概率是　 　．
15．（2025·宁海模拟）如图，，分别是边，的中点，点是的中点，连结，交于点，若，则　 　．
16．（2025·宁海模拟）如图，在矩形中，O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，双曲线 分别交，于点D，E，，以为边向下方作， 使与矩形面积相等，连结，，则　 　，的面积是　 　．
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分）
17．（2025·宁海模拟）计算：．
18．（2025·宁海模拟）小明解分式方程如下图所示，小慧认为小明过程有错误，请指出过程中首次出错的是__________（填序号），并给出正确的解题过程．
解方程： 解：去分母得， ------① 移项得， ----------------② 所以， --------------------③ 经检验：不是原方程的根，原方程无解．----④
19．（2025·宁海模拟）图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中作一个以为腰的等腰．
（2）在图2中以为边画一个平行四边形．
20．（2025·宁海模拟）年大模型井喷式发展，某校学生为了解全校学生对大模型的使用情况开展了相关抽样调查．同学们对此次调查设计了调查问卷，发放了200份问卷并全部回收，对回收的问卷做了归纳统计，相关信息如下：
大模型调查问卷 请根据实际情况填写，每空填写一个． 问题1：你平时学习生活中会使用大模型吗？　 　 （填“会”或“不会”） 问题1中回答“会”的请继续回答下面问题： 问题2：你平时学习生活中使用最多的大模型是． （A）豆包（B）（C）（D）通义千问（E）其他 问题3：你使用大模型主要是用于以下哪个方面　 　 （A）辅助学习（B）查找信息（C）休闲娱乐（D）其他
根据以上信息．解答下列问题：
（1）本次调查的200人中使用最多的大模型为“豆包”的有多少人？
（2）全校共有2000名学生，根据统计信息，估计该校使用最多的AI大模型为“通义千问”的学生人数．
21．（2025·宁海模拟）某数学活动小组设计采用航拍无人机测量楼高．如图所示，航拍无人机飞行到楼房前方某高度时测得楼房底端B处俯角为，楼房顶端A处俯角为，米．
（1）求此时航拍无人机离地面的垂直距离．
（2）求楼房高度．
（本题参考数据：，结果精确到1米）
22．（2025·宁海模拟）甲、乙两人分别驾车和骑车匀速从A地前往B地，甲到达B地后以原速度立马返回A地，在A地休息1小时后，又以原速度前往B地；乙从A地出发骑车5小时到达途中的景点C，停车在景点C游玩2小时，接着以原速度继续前往B地．甲、乙两人距离A地的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）分别求甲、乙的速度．
（2）求甲从B地返回A地时路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式？
（3）甲、乙两人第二次相遇时距离A地多远？
23．（2025·宁海模拟）已知二次函数（为常数，）的函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：
0 1 2
4
（1）当 时， 求二次函数的表达式．
（2）当时，
①求、之间的数量关系．
②在自变量范围内，的最大值为9，求的值．
24．（2025·宁海模拟）已知内接于圆，作外角的角平分线交圆于点A，连结，．
（1）如图1，求证：为等腰三角形．
（2）如图2，若过圆心，、交于点F，，，求．
（3）如图3，作直径交于点G，若，且，，求圆的半径．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：
∴最大的数为3，
故答案为：A.
【分析】根据有理数的大小比较法则即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，几何体的主视图为：
故答案为：B．
【分析】从小正方体搭成的几何体前面向后看得到的平面图形就是该几何体的主视图，该小正方体搭成的几何体的主视图有三列两行，从左至右各列小正方形的个数依次为2、1、2；从下往上各行小正方形的个数依次为3、2，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时， n是正数；当原数的绝对值 时， n是负数.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x3与x2不是同类项，不能合并，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项错误；
D、，故D选项正确.
故答案为：D．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断D选项.
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列为： 8.4， 8.6， 9.0， 9.0， 10，
∴中位数为9.0.
故答案为：B.
【分析】先将数据从大到小从新排列，然后根据中位数的定义求解即可.
6．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：点 的对应点为，
四边形与四边形的位似比为3，
四边形与四边形的周长比为3，
四边形的周长为27，
四边形的周长为：，
故答案为：A．
【分析】在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），根据性质可求出两个四边形的位似比，进而根据位似图形周长的比等于位似比求解即可.
7．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；列二元一次方程
【解析】【解答】解：依题意得：
故答案为：D.
【分析】根据“购买3个玩偶和2包人物卡片需花费55元，购买1个玩偶和5包人物卡片需花费65元”，即可得出关于x， y的二元一次方程组.
8．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；菱形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴F始终为中点，故①正确；
由垂线段最短可知，当时，线段取得最小值，
当D为中点时，则，
∴四边形是菱形，
∴，此时与不垂直，故②不正确；
∵四边形是平行四边形，
∴当时，四边形为矩形，故③正确．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可判断①；根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出AD=CD，从而由一组邻边相等的平行四边形是菱形得出四边形ADCE是菱形，进而根据菱形的对角线互相垂直可得ED⊥AC，但此时FD与AB不垂直，根据垂线段最短得出此时FD不是最短的，即可判断②；根据有一个内角为直角的平行四边形是矩形可判断③．
9．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴直线的距离越远，其对应的函数值就越大，
∵， ，且|4-2|=2＞|a-2|，∴，故A选项不符合题意；
当a＞2时，抛物线开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∵， ，
∴ 当时，则，当时，则，故B、D选项不符合题意；
当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴直线的距离越远，其对应的函数值就越小，
∵， ，
∴|a-2|=2-a＞|2-4|=2，∴，故C选项符合题意.
故答案为：C.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)中，对称轴直线为，当a＞0时，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴直线的距离越远，其对应的函数值就越大，当时，抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴直线的距离越远，其对应的函数值就越小，据此可判断A、C选项；二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)中，当a＞0，时，y随x增大而增大， 据此可判断A、D选项.
10．【答案】D
【知识点】正方形的性质；“赵爽弦图”模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点M作于P，
由弦图可得：，
∴，，，
∵正方形，
∴
∴
∴
设，由，
由勾股定理，得，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
设，则，，
∴
∴
∵，，
∴
∴即，
∴，
解得：，（舍去），
∴，，
∴
故答案为：D．
【分析】过点M作MP⊥AD于点P，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得AE=BF=CG=DH，AF=BG=CH=DE=3及∠PEM=∠BGN，由正方形的每一条对角线平分一组对角得出∠EDM=∠GBN=45°，从而用“ASA”证△DEM≌△BNG，由全等三角形的对应边相等得DM=BN；设，由，在Rt△ABD中，由勾股定理表示出BD，结合已知可表示出DM；由等腰直角三角形性质可得PM=PD，设，则，，根据用不同的式子表示同一个量，则这两个式子相等可求得；由有两组角相等的两个三角形相似证由相似三角形对应边成比例建立方程求出y的值，则可得到PE、PM的长，最后再根据勾股定理算出EM即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为：；
故答案为：.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
13．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵是的切线，OB为半径
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：．
【分析】由圆的切线垂直经过切点的半径得出∠ABO=90°，由直角三角形的两锐角互余求出∠AOB的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠D的度数.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：把剩下的小明、小王、小芳、小慧四人分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好选中小王、小慧有2种结果，
所以刚好选中小王、小慧的概率为
故答案为：
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中刚好选中小王、小慧的结果有2种，再由概率公式求解即可.
15．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵点E为AC的中点，点F为AE的中点，
∴AE=AC，AF=EF=AE，
∴AF=EF=AC，
∴CF=AC-AF=AC
∴
∵，分别是边，的中点，
∴且，
∴．
∴，即
∴，
∴．
∴．
故答案为：2.5.
【分析】先线段中点的定义求出AF=EF=AC，再利用线段和差求出CF=AC，则；利用三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半得出DE∥BC，DE=BC，然后根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得出△FGE∽△FBC，由相似三角形对应边成比例建立方程求出BC的长，从而即可求出DE的长，最后根据线段核查可算出DG的长.
16．【答案】3；
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：过点D作于点H，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴四边形都是矩形，
∴，
由可设，则有，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
连接，过点O作，并延长，交于点Q，如图所示：
由反比例函数k的几何意义可知：，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：3，．
【分析】过点D作于点H，由三个内角都是直角的四边形是矩形易得四边形ABHD与OCDH都是矩形，由矩形的对边相等得AB=DH=OC；设，则有，根据反比例函数图象上点的坐标特点得，，进而得出，，由线段和差表示出AE，从而即可求出AE与BE的比值；根据矩形面积公式算出矩形ABOC的面积；连接，过点O作，并延长，交于点Q，根据反比例函数k的几何意义得出 由三角形面积公式算出△ADE的面积，然后利用割补法，由算出△DEO的面积，结合三角形和平行四边形面积公式推出，从而即可得出△OFG的面积.
17．【答案】解：
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据立方根定义、绝对值性质及负整数指数幂法则“”分别计算，然后计算有理数加法得出答案.
18．【答案】①
解：
去分母得，，
移项得，
所以，，
经检验：是原方程的根
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴原方程可变形为，
在方程的两边同时乘以x-3约去分母，得到x+x-3=-2，
∴小明计算过程中首次出错的是①；
故答案为：①；
【分析】小明解题过程首次出错的是第①步，出错的原因没有注意到，因此原方程可变形为，在方程的两边同时乘以x-3约去分母得到x+x-3=-2，小明在第①步中错误的将右边写成2，导致后续过程全部错误；正确的解法，先将方程右边的分母与分式本身同时改变符号，然后方程两边同时乘以x-3约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验可得结论.
19．【答案】（1）解：如图，△ABC就是所求的三角形；
（2）解：如图，四边形ABCD就是所求的平行四边形.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）开放性命题，答案不唯一；利用网格纸的特点、全等三角形的对应边相等及等腰三角形定义作图即可；
（2） 开放性命题，答案不唯一；利用网格纸的特点，平行四边形的判定定理（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）作图即可.
（1）解：如图所示，等腰即为所求；
（2）解：如图所示，平行四边形即为所求；
20．【答案】（1）解：（人），
答：本次调查的200人中使用最多的大模型为“豆包”的有45人．
（2）解：由图可知：所占百分比为，则通义千问所占百比分为：，
∴使用最多的AI大模型为“通义千问”的学生人数为：．
答：使用最多的AI大模型为“通义千问”的学生人数为90人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用本次调查抽取的总人数乘以会使用AI大模型的人数所占的百分比得到会用总人数，然后再乘以使用“豆包”的人数所占的百分比，即可得出本次调查的总人数中使用最多的AI大模型为“豆包”的人数；
（2）由统计图表提供的信息可得所占百分比为，从而根据使用各个AI大模型的人数所占的百分比为1可求得使用通义千问所占的百分比为，利用样本估计总体的思想，用该学校总人数乘以会用AI大模型的人数所占的百分比得到会用总人数 ，再乘以样本中使用“通义千问”的学生人数所占的百分比，即可估计该校使用最多的AI大模型为“通义千问”的学生人数.
（1）解：（人），
答：本次调查的200人中使用最多的大模型为“豆包”的有45人．
（2）解：由图可知：所占百分比为，
则通义千问所占百比分为：，
∴使用最多的AI大模型为“通义千问”的学生人数为：．
答：使用最多的AI大模型为“通义千问”的学生人数为90人．
21．【答案】（1）解：
由题意，得，
∴，
在 中，
（米），
即无人机距离地面112米．
（2）解：
在中，
（米），
由题意可知四边形为矩形，
，
在中，
（米），
（米），
米．
即楼房高为49米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；矩形底座模型
【解析】【分析】
（1）过点S作BC的垂线段SF构造，再解直角三角形即可；
（2）过点A作SF的垂线段AE，再解直角三角形可得米，再利用矩形的性质可得米，再解即可求解．
（1）解：
由题意，得，
∴，
在 中，
（米），
即无人机距离地面112米．
（2）解：
在中，
（米），
由题意可知四边形为矩形，
，
在中，
（米），
（米），
米．
即楼房高为49米．
22．【答案】（1）解：（千米/小时），
（千米/小时）
（2）解：甲从B地返回时的时间为（小时），
设甲从B地返回A地时路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式，
把，代入，得
，解得：，
∴
∵甲从B地返回A地时开始时间为2.5小时，结束时间为5小时，
∴，
∴
（3）解：∵甲行驶速度没变，
∴甲第二次从A地到B地的函数图象与第二次从A地到B地函数图象平行，
∴设甲第二次从A地到B地的函数解析式为，
把代入，得，
∴
∴
乙从A地到C地距离为（千米），
∴休息后，由C地继续前往B地的出发地坐标为，B地的坐标为
∴设乙休息后，由C地继续前往B地的函数解析式为，
把，分别代入，得，
解得：，
∴，
联立得，
解得，
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用-行程问题；数形结合
【解析】【分析】（1）结合图象A、B两地相距200千米，甲驾车匀速从A地前往B地，甲到达B地后以原速度立马返回A地共用时5小时；乙骑车匀速从A地前往B地，途中休息2小时，总用时12小时，从而根据速度=路程÷时间即可分别求出甲乙的度数；
（2）设甲从B地返回A地时路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式y=kx+b，然后将(2.5，200)与(5，0)分别代入可得关于字母k、b的方程组，求解得出k、b的值，即可求出函数解析式，进而结合图象写出自变量的取值范围；
（3）先利用待定系数法求得甲第二次从A地到B地的函数解析式及乙休息后，由C地继续前往B地的函数解析式，再联立方程组，求解即可．
（1）解：（千米/小时），
（千米/小时），
（2）解：甲从B地返回时的时间为（小时），
设甲从B地返回A地时路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式，
把，代入，得
，解得：，
∴
∵甲从B地返回A地时开始时间为2.5小时，结束时间为5小时，
∴，
∴．
（3）解：∵甲行驶速度没变，
∴甲第二次从A地到B地的函数图象与第二次从A地到B地函数图象平行，
∴设甲第二次从A地到B地的函数解析式为，
把代入，得，
∴
∴
乙从A地到C地距离为（千米），
∴休息后，由C地继续前往B地的出发地坐标为，B地的坐标为
∴设乙休息后，由C地继续前往B地的函数解析式为，
把，分别代入，得，
解得：，
∴，
，
解得，
23．【答案】（1）解：由题意可得： ，
解得，
∴
（2）解：①把代入二次函数表达式得：，
②由①可知，二次函数表达式为，
∴对称轴为直线，
以下分两种情况讨论：
当时，，解得：，
当时， ，解得：，
综上所述：或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将x=-1，y=1与x=2，y=4代入y=ax2+bx+4可得关于字母a、b的方程组，求解得出a、b的值，即可得到所求的函数解析式；
（2）①把x=1，y=4代入y=ax2+bx+4即可得到a与b的关系；
②结合①可得二次函数表达式为y=ax2-ax+4，利用对称轴直线公式求出抛物线的对称轴为直线；当a＞0时，函数图象开口向上，图象上的点到对称轴直线的距离越大其函数值就越大，当a＜0时，函数图象开口向下，图象上的点到对称轴直线的距离越大其函数值就越小，据此分两种情况结合x取值范围界点处的值，判断出x为何值时，取得最大值，从而建立方程即可求出a的值.
（1）解：由题意可得： ，
解得，
∴；
（2）①把代入二次函数表达式得：，
②由①可知，二次函数表达式为，
∴对称轴为直线，
以下分两种情况讨论：
当时，，解得：，
当时， ，解得：，
综上所述：或．
24．【答案】（1）证明： 如图，
∵DA平分
，
，即为等腰三角形
（2）解：连结．
∵为圆直径
∴
∴
∴
∴
由勾股定理得：
（3）解：连结，在射线上取点K，使得
∵BD∥AC，
∴
∴AD=BC
∵
∴设
∵
∴
∵
∴
∵四边形内接于圆O，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∴
∴
由勾股定理，得
在Rt△BOG中，
．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由角平分线的定义得∠1=∠2，由邻补角、圆内接四边形的对角互补及同角的补角相等推出∠1=∠4，根据同弧所对的圆周角相等得∠2=∠3，则∠3=∠4，从而根据等腰三角形的判定方法可得结论；
（2）连结AO，由直径所对的圆周角为直角得出∠DBC=90°，由圆心角、弧、弦的关系得，由平分弦所对弧的直径垂直弦得出AO⊥BC，由同一平面内，垂直同一直线的两条直线互相平行得出BD∥OA，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得到△OAF∽△DBF，由相似三角形对应边成比例建立方程求出AO，最后由勾股定理求解即可；
（3）连结BO，在射线DE上取点K，使得AK=AD，由夹在两条平行弦中的弧相等得，由等弧所对的弦相等得AD=BC，由 ，可设BC=AD=10x，则BD=21x；由等边对等角、邻补角、圆内接四边形的对角互补及同角的补角相等推出∠ACB=∠ADK=∠AKD=∠ABC，由有两组角相等的两个三角形相似得出△ABC∽△ADK，由相似三角形对应边成比例建立方程表示出DK；由三角形的内角和定理推出∠DAK=∠CAD，由二直线平行内错角相等、角的构成及等量代换可推出∠AKD=∠BAK，由等角对等边明AB=BK，据此建立方程求解得出x的值，从而得到BG的长，再由勾股定理求得AG，最后在Rt△BOG 中，根据勾股定理建立方程，求解可得OB的长.
（1）解：如图，
，
，即为等腰三角形
（2）解：连结．
∵为圆直径
∴
∴
∴
∴
由勾股定理得：
（3）解：连结，在射线上取点K，使得
∵
∴设
∵
∴
∵
∴
∵四边形内接于圆O，
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
由勾股定理，得
在RT中，
．
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