资源简介

八省八校T8联考2026届高三下学期第二次质量检测（4月联合测评）
数学试卷
一、选择题
1．已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2．已知复数的实部与虚部相等，则实数( )
A. B. C. D.3
3．已知数列的前n项和，若，p，q为正整数，则( )
A.4052 B.2026 C. D.
4．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则( )
A. B. C.1 D.2
5．已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量a在平面上的投影向量是( )
A. B. C. D.
6．已知圆与圆有且仅有三条公切线，则( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7．已知，，，则( )
A. B. C. D.
8．设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线右支上一点，的平分线交x轴于点，令，，若，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D..
二、多项选择题
9．设A，B为同一随机试验的两个随机事件，且它们发生的概率分别为，，则下列结论正确的是( )
A.若事件A，B互斥，则
B.若事件A，B互斥，则
C.若事件A，B相互独立，则
D.若，则
10．已知在棱长为1的正方体中，M为侧面内一点（包含边界），则下列结论正确的是( )
A.若平面BDM，则DM的最大值为
B.若点M在线段上，则的最小值为
C.存在点M，使得点和点C到平面的距离相等
D.三棱锥外接球的体积的最小值是
11．已知三个不同的实数x，y，z满足，且，，则( )
A. B.
C. D.的最小值是
三、填空题
12．的展开式中的系数为________________.
13．在平面直角坐标系中，函数的部分图象如图所示，若，则点C的纵坐标为________________.
14．已知数列的前n项和为，若，，则________________.
四、解答题
15．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角C的取值范围；
（2）求的取值范围.
16．如图，在底面是菱形的直四棱柱中，，，E为线段上靠近的三等分点，F为线段BC的中点.
（1）求证：平面ACE；
（2）求点到平面ACE的距离.
17．已知椭圆的上顶点为P，右焦点为，右顶点为A.
（1）若椭圆的离心率为，且以原点O为圆心，b为半径的圆与直线相切，求椭圆C的标准方程；
（2）若直线PF交椭圆C于另一点Q，设直线AP，AQ的斜率分别为，求的值（结果用离心率e表示）.
18．在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈、列队、翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验.
已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；B型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为、试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人.
（1）记X为前3轮试验的总得分，求X的数学期望；
（2）设为第n轮试验使用A型号机器人的概率.
①求数列的通项公式；
②记为前n轮试验的期望总得分，求关于n的表达式.
19．已知函数，若有三个实数解，且.
（1）求实数a的取值范围；
（2）求证：①；
②.
参考答案
1．答案：D
2．答案：B
3．答案：A
4．答案：B
5．答案：C
6．答案：C
7．答案：A
8．答案：D
9．答案：ACD
10．答案：ACD
11．答案：ABC
12．答案：
13．答案：
14．答案：
15．解析：（1），
由正弦定理得，
即.
为锐角三角形，，即.
，，
.
（2）由正弦定理得
.
，.
16．（1）证明：如图1，连接DF交线段AC于点G，连接GE.
，，.
又，.又平面ACE，
平面，平面ACE.
（2）如图2，连接，四边形ABCD为菱形，，
，，则为等边三角形.
又F为BC中点，.又，
.易知平面，
以A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
易知，，，，
E为上靠近的三等分点，.
，，.
设平面ACE的法向量为，则
令，则，，
点到平面ACE的距离
.
17．（1）依题意得，联立解得
椭圆C的标准方程为.
（2）依题意得，直线PQ的方程为.
联立消去y，
得，解得，或.
点Q的坐标为，
.
.
18．（1）若得分为0分，则3轮都失败，概率为；
若得分为1分，则3轮中只有1轮成功，
概率为
若得分为2分，则3轮中只有2轮成功，
概率为；
若得分为3分，则3轮都成功，概率为.
.
（2）①由题意得递推关系得.
由，构造等比数列得，
通项公式为.
②设第k轮得分期望为，
则.
前n轮期望总得分为
.
19．（1）令，
即.设，
则函数的图象与有三个交点.
当时，，
.
易知此时，在区间上单调递减.
当时，，
.
当时，；当时，.
在区间上单调递增，在区间上单调递减.
当时，；
当时，，.
要使直线与函数的图象有三个交点，则；
（2）证明：①由（1）可知，.
设，
.
当时，，，
，在区间上单调递增.
，
即，.
又，.
又，，在区间上单调递减，
，即.
②过点和的直线的方程为，
直线即为曲线的割线.
当时，，
函数的图象总在直线上方.
过点且与函数的图象相切的直线的方程为.
时，，
函数的图象总在直线上方，大致图象如图所示.
设直线与直线的交点横坐标分别为，
则可知，，
.

展开更多......

收起↑