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2025-2026 2学年九年级下学期 3月学情自测数学试题 6．将抛物线 y＝﹣2x 平移 3个单位长度后得到 y＝﹣2（x﹣3）2，则平移方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
7．把一个大正方形分成如图所示的四个不重叠的小正方形，现从中任选三个，则选中的三个小
一．选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分，在每小题给出的四个选项中，只有一
正方形中包括两个阴影部分小正方形的概率是（ ）
项是符合题目要求的。
1． 的相反数是（ ）
A．2025 B．﹣2025 C． D．
2．我国某公司生产的“手撕钢”，比纸薄，光如镜，质地还很硬，厚度仅 0.000015米，是世界
上最薄的不锈钢．数据 0.000015用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D．
A．1.5×10﹣4 B．1.5×10﹣5 C．15×10﹣6 D．0.15×10﹣4
8．若点 A（1﹣a，a+2）在第二象限，则 a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
3．我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对
称图形的是（ ） A． B．
C． D．
A． B． C． D． 9．若关于 x的一元二次方程 x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则 2b2﹣8c+1的值为（ ）
4．光线在不同介质中的传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块 A．﹣1 B．1 C．0 D．2
玻璃的 a、b两面，且 a∥b，现有一束光线 CD从玻璃中射向空气时发生折射，折射后光线 10．如图，在平面直角坐标系中，点 A、B都在反比例函数 的图象上，延长 AB交
变成 DE，F为射线 CD延长线上一点，当∠1＝133°，∠2＝19°时，∠3的度数为（ ）
y轴于点 C，作 BD⊥x轴于点 D，连接 CD、AD，并延长 AD交 y轴于点 E．若 AB＝2BC，
△DCE的面积是 4.5，则 k的值为（ ）
A．28° B．31° C．35° D．38°
5．下列各式计算正确的是（ ）
A．a2+2a3＝3a5 B．（a2）3＝a6
6 2 A．2 B．3 C．6 D．9C．a ÷a ＝a3 D．a2 a3＝a6
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二．填空题：本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分。 17．（7分）如图，在△ABC中，D为边 AC上的一点，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点 E，DF
11．在如图的方格中，若要使横、竖、斜对角的 3个实数相乘都得到同样的结果，则图中 m的 ⊥BC于点 F．
值为 ． （1）尺规作图：作线段 BD的垂直平分线，交 AB于点 M，交 BC于点 N，连接 DM，DN，
MN交 BD于点 H（只保留作图痕迹，不写作法和结论）．
（2）在（1）的条件下，求证：EM＝FN．请补全下面的证明过程．
证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
2 2 ∴① （② ），12．已知 a、b是方程 x +3x+1＝0的两根，则 a +4a+b﹣3＝ ．
3 2 ∠ABD＝∠CBD．13．因式分解：a b ﹣9a＝ ．
∵MN是 BD的垂直平分线，
14．如图是某款“不倒翁”的示意图，PA，PB分别与 所在圆相切于点 A，B．若该圆半
∴BM＝DM，BN＝DN，∠BHM＝∠BHN＝90°．
径是 4cm，∠P＝60°，则 的长是 cm．
在△BHM和△BHN中，
∴△BHM≌△BHN（ASA），
∴③ ，
15．如图，在正方形 ABCD中，AB＝2，E，F分别为边 AB，AD的中点，BF与 ED，EC分别 ∴DM＝DN（④ ）．
交于点 M，N．计算 MN的长为 ． ∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEM＝∠DFN＝90°．
在 Rt△DME和 Rt△DNF中，
∴Rt△DME≌Rt△DNF（HL），
∴EM＝FN．
三．解答题（一）：本大题共 3小题，每小题 7分，共 21分、
16．（7分）先化简，再求值： ，其中 x＝﹣4． 18．（7分）“一方有难八方支援”，某市筹集了大量的医疗物资，用 A，B两种型号的货车，分
两批运往疫情严重的地区，具体运输情况如下：
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第一批 第二批 这 4名学生中随机选出 2名学生，请用树状图或列表格的方法求出所选的学生恰好是一男一
A 1 2 女的概率．型号货车的辆数（单位：辆）
20．（9分）如图，四边形 OABC是平行四边形，以 O为圆心，OA为半径的圆交 AB于 D，延
B型号货车的辆数（单位：辆） 4 3
长 AO交⊙O于 E，连接 CD，CE，若 CE是⊙O的切线．
累计运送货物的吨数（单位：吨） 34 38
（1）求证：CD是⊙O的切线；
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
（2）若 CE＝4，OC＝5，则△DBC的面积＝ ．
（1）求 A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨医疗物资；
（2）该市后续又筹集了 60吨医疗物资，现已联系了 3辆 A型号货车，试问至少还需要多少
辆 B型号货车才能一次性将这批医疗物资运往目的地．
四．解答题（二）：本大题共 5小题，每小题 9分，共 27分。
19．（9分）某校进行九年级体能测试，测试后，将学生的体能成绩分为 A，B，C，D四个等级， 21．（9分）我们定义：如果一个矩形 A的周长和面积分别是矩形 B的周长和面积的 n倍，那么
并将结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图． 我们就称矩形 A是矩形 B的完全 n倍体．
【概念辨析】：若矩形 B为正方形，是否存在一个正方形 A是正方形 B的完全 2倍体？
（填“存在”或“不存在”）．
【深入探究】：（1）长为 4，宽为 3的矩形 C是否存在完全 2倍体？小颖和小丽分别有以下思
路：
①小颖：设新矩形长和宽为 x、y，则依题意 x+y＝14，xy＝24，联立 ，得 x2﹣14x
+24＝0，再探究根的情况；
②小丽：如图，也可用反比例函数 l2： 与一次函数 l1：y＝﹣x+14来研究，作出图象，
请你根据统计图信息，回答下列问题： 两图象有交点，则意味着存在完全 2倍体．
（1）参加体能测试的学生共有 名；在扇形统计图中，表示“C等级”的扇形的 请直接写出这个完全 2倍体的长与宽： ．
圆心角的度数为 ；图中 m的值为 ． （2）那么长为 4，宽为 3的矩形 C是否存在完全 倍体？请利用上述其中一种思路说明原因．
（2）补全条形统计图；
（3）如果长为 4，宽为 3的矩形 C存在完全 k倍体，请直接写出 k满足的不等式．
（3）等级为 C的学生有 4名来自九年级 1班，这 4名学生中有两名是女生．王老师准备从
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（1）求二次函数表达式；
（2）线段 DE、CD有什么数量关系？请说明理由．
【探究】
若二次函数 y＝mx2+nx+p（m＞0）的图象经过上述 A、B两点，其它条件不变，线段 DE、
CD的以上数量关系还成立吗？说明理由．
【拓展】
若开口向上的二次函数的图象经过两点（a，0）和（b，0），且 b＞a＞0，其它条件不变，请
22．（13分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCO的顶点 A（﹣6，8），点 C在 x轴正半轴
直接写出线段 DE、CD的数量关系是 ．
上，对角线 AC交 y轴于点 M，边 AB交 y轴于点 H．动点 P从点 A出发，以 2个单位长度/
秒的速度沿折线 A﹣B﹣C向终点 C运动．
（1）求点 B的坐标．
（2）求对角线 AC所在直线的解析式．
（3）设动点 P的运动时间为 t秒，连接 PM、BM，△PBM的面积为 S，请用含 t的式子表示
S；
（4）当 t＝8时，直线 AC上是否存在点 N，使 S△NBM＝S△PBM．若存在，请求出 N点的坐标；
若不存在，请说明理由．
23．（14分）【尝试】
如图，二次函数 y＝ax2+bx+3的图象经过点 A（1，0）和 B（3，0），与 y轴相交于点 C．已
知位于点 B右侧图象上有一动点 P，并且射线 PA、PB分别交 y轴于点 D、点 E．
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参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A B D A B B C
二．填空题 ．
11． ． （2）证明：∵BD平分∠ABC，DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠ABD＝∠CBD，DE＝DF，
12．﹣7．
∵MN是 BD的垂直平分线，
13．a（ab﹣3）（ab+3）．
∴∠BHM＝∠BHN＝90°，BM＝DM，BN＝DN，
14． ．
在△BHM和△BHN中，
15． ．
，
三．解答题
16．解： ∴△BHM≌△BHN（ASA），
∴BM＝BN，
＝[ ]
∴DM＝DN（等量代换）．
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEM＝∠DFN＝90°．
在 Rt△DME和 Rt△DNF中，

，
，
∴Rt△DME≌Rt△DNF（HL），
当 x＝﹣4时，原式 ． ∴EM＝FN．
17．（1）解：如图，作线段 BD的垂直平分线，交 AB于点 M，交 BC于点 N，连接 DM，DN， 故答案为：①DE＝DF；②角平分线的性质；③BM＝BN；④等量代换；⑤DM＝DN．
MN交 BD于点 H．
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18．解：（1）设 A种型号货车每辆满载能运 x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运 y吨生 （3）列表如下：
活物资， 男 男 女 女
依题意，得 ， 男 （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女）
解得 ，
答：A种型号货车每辆满载能运 10吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运 6吨生活物资． 女 （女，男） （女，男） （女，女）
（2）设还需联系 m辆 B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地， 女 （女，男） （女，男） （女，女）
依题意，得：10×3+6m≥60， 共有 12种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一男一女的结果有 8种，
解得：m≥5，
∴所选的学生恰好是一男一女的概率为 ．
又∵m为正整数，
20．（1）证明：连接 OD，如图所示：
∴m的最小值为 5．
答：至少还需联系 5辆 B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
四．解答题
19．解：（1）参加体能测试的学生共有 30÷15%＝200（名）．
在扇形统计图中，表示“C等级”的扇形的圆心角的度数为 ．
∵四边形 OABC是平行四边形，
∵ ，
∴OC∥AB，OC＝AB，
∴m＝40．
∴∠DOC＝∠ODA，∠EOC＝∠OAD，
故答案为：200；72°，40．
∵OD＝OA，
（2）A等级的人数为 200﹣30﹣40﹣80＝50（人）．
∴∠OAD＝∠ODA，
补全条形统计图如图所示．
∴∠EOC＝∠DOC，
在△EOC和△DOC中，
，
∴△EOC≌△DOC（SAS），
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∴∠OEC＝∠ODC， 故答案为： ．
∵CE是⊙O的切线，
21．解：概念辨析：不存在．
∴OE⊥EC，即∠OEC＝90°，
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为 2时，
∴∠ODC＝90°，即 OD⊥DC，
则面积比必定是 4，所以不存在．
∵OD是⊙O的半径，
故答案为：不存在．
∴CD是⊙O的切线；
（1）①长为 4，宽为 3的矩形 C存在完全 2倍体矩形，
（2）解：过点 O作 OF⊥AB于点 F，如图所示：
∵矩形 ABCD长为 4，宽为 3，
∴矩形 ABCD的周长为 14，面积为 12，
小颖：设新矩形长和宽分别为 x、y，则依题意 x+y＝14，xy＝24，
联立 ，
整理得 x2﹣14x+24＝0，
∴AD＝2AF， 解得：x1＝12，x2＝2，
由（1）OE⊥EC，OC＝AB＝5， ∴新矩形的长为 12，宽为 2时，周长为 28，面积为 24，
∵CE＝4，OC＝5， ∴长为 4，宽为 3的矩形 C存在完全 2倍体矩形．
∴ ， ②小丽：设新矩形长和宽为 x、y，
则依题意 x+y＝14，xy＝24，
∵∠OEC＝∠AFO＝90°，∠EOC＝∠OAD，
即 ，
∴△EOC∽△FAO，
利用反比例函数 与一次函数 l1：y＝﹣x+14来研究，作出图象，有交点，意味着存
∴ ，
在完全 2倍体，
∴ ，
故答案为：长为 12，宽为 2；
∴ ， （2）长为 4，宽为 3的矩形 C的周长为 14，面积为 12．
∴ ， 设新矩形长和宽为 x、y，则依题意 ，xy＝6，
∴ ；
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联立得 ， ，解得 ，
整理得：2x2﹣7x+12＝0， ∴直线 AC的解析式为：y x+5，
∵Δ＝（﹣7）2﹣4×2×12＝﹣47＜0，
（3）连接 BM，如图 3﹣1中，当 0≤t＜5时，
∴此方程没有实数根，即长为 4，宽为 3的矩形 C不存在完全 倍体． ∵对角线 AC交 y轴于点 M，
（3）设所求矩形的长为 x，则所求矩形的宽为：k（4+3）﹣x，即 7k﹣x， ∴M（0，5），
由题意得：x （7k﹣x）＝12k， ∴OM＝5，
整理得：x2﹣7kx+12k＝0， ∴MH＝OH﹣OM＝8﹣5＝3，
Δ＝49k2﹣48k， ∴S PB MH （10﹣2t）×3＝15﹣3t，
∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积 k倍，
如图 3﹣2中，当 5＜t≤10时，
∴Δ≥0，即：49k2﹣48k≥0，
∵四边形 ABCO是菱形，
解得：k ，k≤0（不符合题意）， ∴∠OCM＝∠BCM，
∴k的取值范围为：k ． ∵CO＝CB，CM＝CM，
∴△OCM≌△BCM（SAS），
22．解：（1）∵A（﹣6，8），
∴∠MOC＝∠MBC＝90°，
∴AH＝6，OH＝8，
∴MB⊥BC，
∴OA 10，
∴S BP MB （2t﹣10）×5＝5t﹣25，
∵四边形 ABCO是菱形，
∴AB＝OA＝10，AB∥OC，
∴综上所述， ，
∴AH＝6，
（4）存在点 N，如图 4所示：
∴BH＝AB﹣AH＝10﹣6＝4，
当 t＝8时，点 P在 BC上运动，
∴B（4，8），
∴S△PBM＝5t﹣25＝5×8﹣25＝15，
（2）设直线 AC的解析式为 y＝kx+b，把 A（﹣6，8），C（10，0）代入得：
∵S△NBM＝S△PBM，
∴S△NBM＝15，
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过点 N作 NP⊥x轴交 MB于点 Q， ∴DE＝OE﹣OD＝3t﹣3﹣（t﹣3）＝2t，
设直线 MB的解析式为 y＝k1x+b1，把 M（0，5），B（4，8）代入得： CD＝OC+OD＝3+（t﹣3）＝1，
∴DE＝2CD；
，解得： ，
【探究】数量关系成立，理由如下：
∴直线 MB的解析式为：y x+5， 设经过上述 A、B两点的抛物线为：y＝m（x
2﹣4x+3），则 OC＝3m，
∴ ，
设 N（n， n+5），Q（n， n+5），
∴NQ ，＝|（ n+5）﹣（ n+5）|＝| n|，
∴DE＝OE﹣OD＝3mt﹣3m﹣（mt﹣3m）＝2mt，
∴S△NBM | n|×（8﹣0）＝15，
CD＝OC+OD＝3m+（mt﹣3m）＝mt，
解得：n＝±3，
∴DE＝2CD；
∴N（3， ）或（﹣3， ）． 【拓展】设抛物线的解析式为 y＝n（x﹣a）（x﹣b），则 OC＝abn，
23．解：【尝试】（1）将点 A（1，0）和 B（3，0）代入 y＝ax2+bx+3中， ∴OD＝an（t﹣b），OE＝bn（t﹣a），
∴DE＝OE﹣OD＝bn（t﹣a）﹣an（t﹣b）＝（b﹣a）nt，
∴ ，
CD＝OC+OD＝abn+an（t﹣b）＝ant，
解得 ，
∴DE CD，
∴抛物线的解析式为 y＝x2﹣4x+3；
故答案为：DE CD．
（2）数量关系：DE＝2CD，理由如下：
过点 P作 PH⊥x轴于 H，设 P（t，t2﹣4t+3），
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2 0 2 6 /4 /1 0 1 6 :2 5 :0 6；用户：1 8 8 7 2 9 8 0 2 8 6；邮箱：1 8 8 7 2 9 8 0 2 8 6；学号：6 8 7 2 0 8 2 2
∵△PAH∽△DAO，
∴ ，
∴ ，
∵△PBH∽△EBO，
∴ ，
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