资源简介

2025一 202学年九年级下学期四月份学科素养测评数学试卷
一．选择题（每小题 3分，共 30分）
1．下列各项中，倒数是﹣2025的是（ ）
A．2025 B． C．﹣2025 D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器嫦娥五号，首次在 380000公里外月球轨道
上进行无人交会对接，数据 380000用科学记数法表示应为（ ）
A．38×104 B．3.8×105 C．0.38×106 D．3.8×104
4．下列几何体是由 4个相同的小正方体搭成的，其中与其他三个几何体的左视图与俯视图
不相同的是（ ）
A． B．
C． D．
5．将抛物线 y＝x2+1向左平移 1个单位，再向下平移 2个单位，所得的抛物线解析式是（ ）
A．y＝（x+1）2﹣1 B．y＝（x+1）2+3
C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+3
6．如图，将△ABC绕顶点 A逆时针旋转α得到△ADE．若点 D恰好落在边 BC上，且α＝∠
B，则旋转角α的大小是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
7．如图，射线 PA，PB切⊙O于点 A，B，直线 DE切⊙O于点 C，交 PA于点 D，交 PB
于点 E，若△PDE的周长是 12cm，则 PA的长是（ ）
A．6cm B．3cm C．24cm D．12cm
8．现需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形．如图 1，⊙O表示一圆形纸板，操作过程如
下：第一次剪裁，将圆形纸板等分成 4个扇形（如图 2）；第二次剪裁，将上次得到的扇
形中的某一个再等分成 4个扇形（如图 3）；以后按第二次剪裁的做法进行下去．按上述
操作过程，若将原来的圆形纸板剪成 151个扇形，共需进行剪裁（ ）
A．49次 B．50次 C．51次 D．52次
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以点 C为圆心，适当长度为半径作弧，交
CA于点M，交 CB于点 N，再分别以点M、N为圆心，大于 为半径作弧，两弧相
交于点 P，作射线 CP交 AB于点 D，则∠BCD为（ ）度．
A．30 B．45 C．36 D．54
10．如图，在矩形 ABCD中，AB＝4cm，AD＝8cm，动点 P从 A点出发，以 1cm/s的速度沿
A﹣D﹣C的方向运动，动点 Q同时从 A点出发，以 1cm/s的速度沿 A﹣B﹣C的方向运
动，两动点到达 C点停止运动．设运动的时间为 x（s），△APQ的面积为 y（cm2），则下
列 y关于 x的函数图象正确的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题 3分，共 30分）
11．函数 中 x的取值范围为 ．
12．把多项式 ax2﹣9a分解因式的结果是 ．
13．关于 x的不等式组 无解，则实数 a的取值范围是 ．
14．一个不透明盒子里装有 3个红球、2个白球和 5个黄球，它们除颜色外都相同．从中任
意摸出 1个球，摸到红球的概率是 ．
15．若扇形的圆心角为 30°，半径为 6cm，则它的弧长为 cm．
16．龙兴寺位于山西省新烽县城北街顶端的高座上，初名“碧落观”，唐咸亨元年改称龙兴
寺”，龙兴寺中最为宝贵者为“舍利子宝塔”（如图①），它是我国最古老的宝塔之一．根
据光的反射定律（如图②），小亮将一面镜子放在宝塔 AB前 50m的点 E处，然后沿着直
线 BE后退到点 C处．这时小亮恰好在镜子里看到宝塔的顶端 A，通过测量得 CE＝3m，
已知小亮眼睛离地面 BC的距离 DC为 1.5m，那么该宝塔 AB的高度是 m．
17．公元前 3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”．已知手压水井的阻力和阻
力臂分别是 90N和 0.3m，则动力 F1（单位：N）与动力臂 L1（单位：m）之间的函数表
达式是 ．
18．计算 的结果是 ．
19．已知等腰△ABC的腰 AB＝AC＝25cm，BC＝14cm，则△ABC顶角的平分线 AD＝
cm．
20．如图，在矩形 ABCD中，∠DOC＝60°，AB＝1，AE平分∠BAD分别与 BD，BC交于
点 H，E，连接 OE．则下列结论：①∠EAC＝15°；②∠EOC＝∠AEB；③EH＝EC；④
．其中正确的是 .（填写序号）
三．解答题（其中 21-22题各 7分，23-24题各 8分，25-27各 10分，共计 60分）
21．（7分）先化简，再求代数式 的值，其中 a＝tan60°﹣2sin30°．
22．（7分）如图，在 6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，A、B、C均为小正
方形的顶点，请仅用无刻度的直尺画图，按要求保留作图痕迹．
（1）在图 1中作出 BC边上的高 AD；
（2）在图 2中作出 AC边上的点 E，使得 AE：CE＝3：4；
（3）在图 3中作出 AB边上的点 F，使得 tan∠ACF ．
23．（8分）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样
的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的
百分制成绩（x分）用 5级记分法呈现：“x＜60”记为 1分，“60≤x＜70”记为 2分，“70
≤x＜80”记为 3分，“80≤x＜90”记为 4分，“90≤x≤100”记为 5分．现随机将全校
学生以 20人为一组进行分组，并从中随机抽取了 3个小组的学生成绩进行整理，绘制统
计图表，部分信息如下：
平均数 中位数 众数
第 1小组 3.9 4 a
第 2小组 b 3.5 5
第 3小组 3.25 c 3
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①第 2小组得分扇形统计图中，“得分为 1分”这一项所对应的圆心角为
度；
②请补全第 1小组得分条形统计图；
（2）a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）已知该校共有 4200名学生，以这 3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有
多少名学生竞赛成绩不低于 90分？
24．（8分）若过 m边形的一个顶点有 7条对角线，过 n边形的一个顶点有 3条对角线．求
代数式 n2﹣m的值．
25．（10分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际
用 10000元购进 A、B两种风味粽子共 2000个，购买 A种粽子与购买 B种粽子的费用之
比为 3：2．已知 A种粽子的进货单价是 B种粽子进货单价的 2倍．
（1）求 A、B两种粽子的单价各是多少？
（2）若计划用不超过 8000元的资金再次购进 A、B两种粽子共 1600个，已知 A、B两
种粽子的进价不变，求 A种粽子最多能购进多少个？
26．（10分）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多…
【问题提出】（1）如图①，PC是△PAB的角平分线，求证 ．
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”．
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”．
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．
【作图应用】（2）如图②，AB是⊙O的弦，在优弧 AB上作出点 P，使得 ．
要求：①用直尺和圆规作图；
②保留作图的痕迹．
【结论应用】（3）在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的 2倍，且 AB＝3，AC＝4，求
BC．
27．（10分）在平面直角坐标系中，已知一次函数 y＝（2a﹣3）x+5﹣b的图象为直线 l，它
与 x轴，y轴分别交于 A，B两点．
（1）如果把 l向上平移 2个单位后得到直线 y＝5x+1，求 a，b的值；
（2）当直线 l过点（m，6﹣b）和点（m+3，4a﹣7）时，且﹣3＜b＜8，求 a的取值范围；
（3）若平面内有动点 P（2n﹣1，4﹣2n），不论 n取何值，点 P均不在直线 l上，设△
PAB的面积为 S．求 S的值（用含字母 b的式子表示）．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D． B B． B A C A B C D
二．填空题
11．x ．
12．a（x﹣3）（x+3）．
13．a≤1．
14． ．
15．π．
16．25．
17．F1 ．
18． ．
19．24．
20．①②④．
三．解答题
21．解：原式 （a﹣1）
，
∵a＝tan60°﹣2sin30° 1，
∴原式
．
22．解：（1）如图 1，高 AD即为所求．
（2）如图 2，点 E即为所求．
（3）如图 3，点 F即为所求．
23．解：（1）①360°×（1﹣30%﹣15%﹣10%﹣40%）
＝360°×5%
＝18°，
故答案为：18；
②第一小组中，得分为 4分的人数为 20﹣1﹣2﹣3﹣8＝6（人），补全条形统计图如下：
（2）第一小组学生得分出现次数最多的是 5分，共出现 8次，因此第一小组学生成绩的
众数是 5分，即 a＝5，
第二小组 20名学生成绩的平均数为 3.5（分），
即 b＝3.5，
将第三小组 20名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为 3
（分），所以中位数是 3分，即 c＝3，
故答案为：5，3.5，3；
（3）4200 1260（名），
答：该校 4200名学生中大约有 1260名学生竞赛成绩不低于 90分．
24．解：∵过 m边形的一个顶点有 7条对角线，过 n边形的一个顶点有 3条对角线，
∴m﹣3＝7，n﹣3＝3，
∴m＝10，n＝6，
∴n2﹣m＝62﹣10＝26．
25．解：（1）设 B种粽子单价为 x元/个，则 A种粽子单价为 2x元/个，
根据题意，得： 2000，
解得：x ，
经检验，x 是原方程的解，且符合题意，
∴2x＝7．
答：A种粽子单价为 7元/个，B种粽子单价为 元/个．
（2）设购进 A种粽子 m个，则购进 B种粽子（1600﹣m）个，
依题意，得：7m （1600﹣m）≤8000，
解得：m≤685 ．
答：A种粽子最多能购进 685个．
26．解：（1）小明思路：过点 B作 BD∥PC交 AP的延长线于点 D，如图 1，
∴ ，∠1＝∠D，∠2＝∠3，
∵PC是△PAB的角平分线，
∴∠1＝∠2，
∴∠D＝∠3，
∴PD＝PB，
∴ ；
小红思路：分别过点 P，C作 PD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足为 D，E，F，如图 2，
∵PC是△PAB的角平分线，
∴CE＝CF，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）①作弦 AB的垂直平分线，交弦 AB于点 D，交⊙O点 E，
由垂径定理得 ，
②再作线段 BD的垂直平分线，交弦 AB于点 C，
③连接 EC并延长交⊙O点 P，如图 3，
点 P即为所求；
∵ ，
∴PC平分∠APB，
∵ ，
∴ ，
由（1）的结论得 ，
同理，点 P2也为所求；
（3）如图 4所示，作∠BAC的平分线交 BC于点 D，
∵AB＝3，AC＝4，
∴ ，
∴ ，
∵∠BAC＝2∠BAD，∠BAC＝2∠C，
∴∠BAD＝∠C，
又∵∠ABD＝∠CBA，
∴△BDA∽△BAC，
∴ ，
∴AB2＝BD BC，
即 ，
∴BC2＝21，
∴ （负值舍去）．
27．解：（1）由题意得： ，
解得 ；
（2）由题意得：
，
则 2a﹣b＝﹣4，
即 ，
当 b＝﹣3时，则 a＝﹣3.5，当 b＝8时，则 a＝2，
∵ ，故 a随 b的增大而增大且﹣3＜b＜8，
∴﹣3.5＜a＜2，
∵2a﹣3≠0，即 a≠1.5，
∴﹣3.5＜a＜2且 a≠1.5；
（3）方法一：设点 P（x，y），
则 ，即 y＝﹣x+3，
∴点 P是直线 y＝﹣x+3上一动点，
∵不论 n取何值，点 P均不在直线 l上，
故上述两条直线平行，
即 2a﹣3＝﹣1且 5﹣b≠3，
解得 ，
∴直线 l的解析式为 y＝﹣x+5﹣b，直线 l及直线 y＝﹣x+3与 x轴所交锐角为 45°，
∵平行线间的距离处处相等，
设直线 y＝﹣x+3与 x轴交点 C，过点 C作 CD⊥l于点 D，
①当 5﹣b＞3，即 b＜2时，
S＝S△CAB AB CD
OA
OA AC
；
②当 5﹣b＜3，即 b＞2时，
S＝S△CAB
AB CD
OA AC
，
；
综上，S ；
方法二：设点 P（x，y），则 ，
即 y＝﹣x+3，
∴点 P是直线 y＝﹣x+3上一动点，
∵不论 n取何值，点 P均不在直线 l上，
∴关于 x，y的方程组 ，
无解，即关于 x的方程（2a﹣2）x＝﹣2+b无解，
∴ ，
∴ ，
∴直线 l的解析式为 y＝﹣x+5﹣b，
易知直线 l及直线 y＝﹣x+3与 x轴所交锐角为 45°，
∵平行线间的距离处处相等，
设直线 y＝﹣x+3与 x轴交点 C，
过点 C作 CD⊥l于点 D，
①当 5﹣b＞3，即 b＜2时，
S＝S△CAB
AB CD
OA AC
；
②当 5﹣b＜3，即 b＞2时，
S＝S△CAB
AB CD
OA AC
，
．
综上，S ．

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