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8.4梯形强化巩固专练
一、单选题
1．下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰梯形 C．正方形 D．正三角形
2．下列说法中，符合梯形定义的是（ ）
A．有一组对边平行的四边形是梯形
B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形
C．有两组对边平行的四边形是梯形
D．只有一组对边平行的四边形是梯形
3．等腰梯形的腰长为，两底差为，则高为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，梯形中共有（）对面积相等的三角形．
A．2 B．3 C．4 D．5
5．顺次连接下列各图形的各边中点，构成的图形一定是正方形的是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．对角线互相垂直的等腰梯形
6．如图，梯形中，，，，则为（　　）
A．1.6 B．1.8 C．2 D．3.6
7．如图四边形是一个等腰梯形，在边上作一个三角形，使四边形成为一个平行四边形，若，，则下面所给的量中可以求的是（ ）
A．三角形ABE的周长 B．的长
C．等腰梯形与三角形ABE周长的差 D．与的差
8．若一个四边形有一组对边平行，且它关于经过这组对边中点的直线对称，则称这个四边形为“平称四边形”．已知四边形满足，下列条件不能满足四边形是“平称四边形”的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在等腰梯形中，，对角线相交于点，那么以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在中，，，．点P从点A出发、以的速度沿运动，同时点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．在此运动过程中，线段出现的次数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11．梯形的一组对边________________，另一组对边________________．
12．在等腰梯形中，E、F、G、H依次分别为各边中点，已知对角线长40，则四边形的周长为________．
13．在梯形中，，，，，，则______．
14．已知直角梯形的两腰之比是，那么该梯形的最大角为_____，最小角为____．
15．如图的梯形是由一张长方形纸片折叠而成的．这个梯形的面积是( )平方厘米．（单位：）
16．如果一个等腰梯形的一个底角为，上底长为3，下底长为5，则其腰长为_____．
17．如图，正五边形中，点分别是边的中点，则______．
18．如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置，若，，，，则阴影部分的面积是______．
三、解答题
19．如图，在梯形中，，延长到点E，使，．
(1)试说明梯形是等腰梯形．
(2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由．
20．如图，在梯形中，，，，、分别在、的延长线上，且，交于点．
(1)证明
(2)求的度数．
21．已知：如图，在梯形中，，平分，过点作平行交线段延长线于点，．
(1)求证：梯形为等腰梯形；
(2)当，，求四边形的面积．
22．位于弋江区境内的芜湖高新技术产业开发区是安徽省第二家国家级高新技术产业开发区，2024年在全国高新区排名前进2位．如图1为高新开发区的部分规划图，其中，火炬创新创业园区可近似地看成一个直角梯形．如图2， ．
(1)求的长；
(2)求四边形的面积．
23．如图A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动，设点P的运动时间为t秒．
(1)________，________（用含t的代数式表示）；
(2)t为多少时，四边形的面积为；
(3)t为多少时，点P和点Q的距离为．
试卷第4页，共5页
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B D B A A C B
1．C
【详解】A：等腰直角三角形有1条对称轴；
B：等腰梯形有1条对称轴；
C：正方形有4条对称轴；
D：正三角形有3条对称轴；
综上所述正方形对称轴条数最多，
故选：C．
2．D
【详解】解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意；
B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意；
C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意；
D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意.
故选：D．
3．B
【详解】解：如图，四边形是等腰梯形，，两底差为，
过点A和点D作的垂线，垂足为点E和点F，
∵四边形是等腰梯形，，
∴四边形是矩形，
∵两底差为，
∴，则，
根据勾股定理可得：，
故选：B．
4．B
【详解】解：如下图：
与面积相等，
与面积相等；
理由是同底等高；
最后一对面积相等的三角形是与，
理由：∵与面积相等，而它们都包含，
∴当它们减去一个相同面积的三角形时，面积仍然相等；
∴面积相等的三角形有3对．
故选：B．
5．D
【详解】解：顺次连接下列各图形的各边中点，构成的四边形的两组对边分别平行于原图形的对角线，且每组边等于相对的对角线的一半，可判定为平行四边形，
当原图形的对角线互相垂直时，又可判定为菱形，而等腰梯形的对角线相等且垂直，所以可判定为正方形，
故选D．
6．B
【详解】解：梯形中，
，
∴的面积的面积，
的面积的面积的面积的面积，
的面积，
同理的面积，
∴的面积的面积，
故选：B．
7．A
【详解】解：四边形是平行四边形，
，（平行四边形的对边平行且相等），（平行四边形的对角相等），
，
四边形是一个等腰梯形，
，
，
，
，
的周长为，
无法求出边上的高、等腰梯形与周长的差、与的差，
故选：．
8．A
【详解】由题意知，四边形满足，
当时，四边形是平行四边形或等腰梯形，当四边形是平行四边形不满足四边形是“平称四边形”，故A选项符合题意；
当时，四边形是矩形，满足四边形是“平称四边形”，故B选项不符合题意；
当时，四边形是菱形或等腰梯形，满足四边形是“平称四边形”，故C选项不符合题意；
当时，四边形是矩形或等腰梯形，满足四边形是“平称四边形”，故D选项不符合题意．
故选：A．
9．C
【详解】解析：∵等腰梯形中，，对角线相交于点
∴，①正确；
∵，
∴
∴，
∴，
∴，即，②正确；
和不一定相等，故③错误；
∵
∴
∴
∴，④正确；
故选：C．
10．B
【详解】解：在中， ，，
∴，，
∵点P从点A出发、以的速度沿运动，
∴点P从点A出发到达D点的时间为：，
∵点Q从点C出发，以的速度沿往复运动，
∴点Q从点C出发到B点的时间为：，
∵，
∴，
当时，四边形为平行四边形，
∴，
当时，四边形为等腰梯形，
∴，
设同时运动的时间为，
当时，，
∴，
此时，四边形为平行四边形，，
如图：过点分别作的垂线，分别交于点，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵四边形是等腰梯形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
此时是等腰梯形，，
当时，，
∴，
此时，四边形为平行四边形，，
当时，，
∴，
此时，四边形为平行四边形，，
综上，当或或或时，，共4次，
故选：B．
11． 平行 不平行
【详解】解：梯形是指一组对边互相平行，另一组对边不平行的四边形．
故答案为：平行；不平行．
12．80
【详解】解：连接，
∵四边形为等腰梯形，
∴，
∵E、F、G、H分别为各边中点，
∴，，，，
∴四边形的周长，
故答案为：80．
13．9或3
【详解】解：如图，在梯形中，过点作于，
则四边形为矩形，
，，，
由勾股定理得：，
，
在梯形中，，
则的长为9或3，
故答案为：9或3．
14． /150度 /30度
【详解】解：如图，梯形是直角梯形，作于点E，延长到点F使，连接，
∵梯形是直角梯形，
∴，
∴四边形是矩形，是直角三角形，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴该梯形的最大角为，最小角为．
故答案为：，．
15．32
【详解】解：由题意得
（平方厘米）
故答案为：32．
16．2
【详解】解：如图，过点A作，交于E，
∵四边形为等腰梯形，等腰梯形的一个底角为，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，即等腰梯形的腰长为2，
故答案为：2．
17．/36度
【详解】解：在正五边形中，，，
点分别是边的中点，
，
则，
在等腰中，，则，
连接，如图所示：
点分别是边的中点，
，
，
则，
故答案为：．
18．
【详解】解：由平移的性质得：梯形的面积梯形的面积，，
∴阴影部分的面积梯形的面积，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积，
答：阴影部分面积是
故答案为：．
19．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是等腰梯形．
（2）解：，
理由是：连接,
∵四边形是等腰梯形，
∴，
∵，
∴．
20．
【详解】（1）证明：∵在梯形中，，，
∴
∵在和中，，，
∴
（2）解：∵
∴
∴
∵，
∴
21．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴
∴，
∵，
∴，
∴梯形为等腰梯形；
（2）解：如图，过点作于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
则．
22．(1)
(2)
【详解】（1）解：作于点E，
∴，
又，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴（m）；
（2）解：（）．
23．(1)，；
(2)t为秒时，四边形的面积为；
(3)t为或秒时，点P和点Q的距离为．
【详解】（1）解：由题意得：，，
四边形是矩形，，
，
，，
故答案为：，；
（2）解：四边形是矩形，，
，，，
四边形是直角梯形，
四边形的面积，
四边形的面积为，
，
解得：，
答：t为秒时，四边形的面积为；
（3）解：如图，过点作于点，
则四边形是矩形，
，，
点P和点Q的距离为，
，
当点在点上方时，，
由勾股定理得：，
，
；
当点在点下方时，，
由勾股定理得：，
，
，
综上可知，t为或秒时，点P和点Q的距离为．

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