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第八章四边形单元综合巩固测试卷
（满分100分 时间120分钟）
一、单选题（每题2分 共20分）
1．下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边也平行 B．一组对角相等，另一组对角也相等
C．一组对边平行，一组对角相等 D．一组对边平行，另一组对边相等
2．菱形的对角线长分别为5和8，它的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形中，平分与交于点，平分与交于点，若，，则长为（ ）
A．8 B．10 C．13 D．16
4．如图，把矩形纸片沿折叠，点C，D分别落在，处，交于点G．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，与成中心对称，ED是的中位线，是的中位线．已知，则等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1.5
6．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
7．如图，菱形绕着顶点D逆时针旋转得到菱形，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在菱形中，对角线、交于点，点是边上的一个动点（不与、两点重合），过点作射线交边于点，作线段的垂直平分线分别交、边于点、，得到四边形．在点的运动过程中，下列结论正确的是（ ）
①存在无数个四边形是平行四边形；
②存在无数个四边形是矩形；
③存在无数个四边形是菱形；
④至少存在一个四边形是正方形．
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④
9．如图，在菱形中，，P是菱形内的一点，连接，且，则面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图1，正方形中，动点E从点A出发，沿折线运动到点C停止，过点E作交于点F，设点E的运动路程为x，，y与x对应关系的图象如图2．那么在运动过程中，下列结论不一定正确的是（　　）
A．
B．图2中
C．图2中
D．当点E运动到中点时，
二、填空题（每题3分 共30分）
11．在平行四边形中，若，则的度数是______．
12．在中，，，那么的周长等于________．
13．在等腰梯形中，，，则等腰梯形的面积是_____
14．如图，关于原点O中心对称，若点A的坐标为，则点C的坐标为______．
15．【数对问题】如果平行四边形的三个顶点 A，B，C的位置用数对表示分别是，那么顶点D的位置用数对表示是_____．
16．如图，若菱形的面积为，，将菱形折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为，则______cm．

17．如图，，的中位线经过点，且，若，则的长为___．

18．如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_______．
19．如图，数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为______．

20．如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：①；②；③；④FG的最小值为．其中正确结论的序号为______．

三、解答题（共50分）
21．如图，在正方形网格中，每个小正方形顶点称为格点，例如线段的端点在格点上，已知每个小正方形边长均为，利用无刻度直尺作图，请完成下列各小题．
(1)在图①中，以为边作一个菱形（不是正方形），其中点为格点；
(2)在图②中，以为边作正方形，其中点为格点．
22．如图，在梯形中，，延长到点E，使，．
(1)试说明梯形是等腰梯形．
(2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由．
23．如图已知点是平行四边形对角线上的一点，连结，过点作交于点．
(1)求证：；
(2)若，，当，求的长．
24．如图，在正方形中，G是对角线的延长线上的点，以线段为边作正方形，连接，与边交于点P，连接，与交于点H．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)若，，求的长．
25．如图，正方形的对角线相交于点．是线段上的点（不与、重合），过点作，交于点．

(1)求证：；
(2)若平分，求的长．
26．（1）如图，在正方形中，的顶点，分别在，上，高与正方形的边长相等，求的度数．
（2）如图，在中，，，点，是边上的任意两点，且，将绕点逆时针旋转至位置，连接，试判断，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）在图中，连接分别交，于点，，若，，，求，的长度．
27．问题提出：
（1）如图1，在四边形中，对角线，，，E，F，G，H分别是各边的中点，求证：四边形是正方形．
问题解决：
（2）如图2，某市有一块四边形土地，米，米，是直角，P是该四边形土地内的一点，计划在四个三角形土地，，，中分别种植不同的花草，为了方便种植，王师傅设计出如下方案：取四边形各边的中点E，F，G，H，然后在四边形的四条边，，，铺上人行道地砖（人行道宽度不计），铺设地砖成本为100元/米，经测量，，，设计要求是四边形为正方形，请问王师傅的设计方案是否符合要求？若符合，请写出证明过程，并计算铺设地砖所需的费用；若不符合，请说明理由．
试卷第6页，共7页
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A B A C B C C A
1．D
【详解】解：
A、，
四边形是平行四边形，正确，故本选项不符合题意；
B、，，
四边形是平行四边形，正确，故本选项不符合题意；
C、，
，，
，，
四边形是平行四边形，正确，故本选项不符合题意；
D、根据，，可以得出四边形可能是等腰梯形，错误，故本选项符合题意；
故选：D．
2．B
【详解】因为菱形的对角线的长分别是5和8，
所以菱形的面积为．
故选B．
3．A
【详解】解：设，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
4．B
【详解】解∶∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选∶B．
5．A
【详解】解：与成中心对称，
，
.
是的中位线，
.
故选：A ．
6．C
【详解】解：∵四边形是菱形，
，
，
与关于点C成中心对称，
,
，
.
故选：C．
7．B
【详解】解：∵菱形绕着顶点D逆时针旋转得到菱形，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选B．
8．C
【详解】解：由题意，画出图形如下：
∵四边形是菱形，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是线段的垂直平分线，
∴必经过的中点，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形的对角线互相平分，
∴四边形是平行四边形，
又∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵点是边上的一个动点（不与、两点重合），
∴存在无数个四边形是平行四边形，则结论①正确；
存在无数个四边形是菱形，则结论③正确；
若菱形是正方形时（正方形是特殊的菱形，在此只证明存在性），
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴当菱形是正方形时，菱形是正方形，
∵点是边上的一个动点（不与、两点重合），
∴至少存在一个四边形是正方形，则结论④正确；
不存在无数个四边形是矩形，则结论②错误；
综上，结论正确的是①③④，
故选：C．
9．C
【详解】解：在菱形中，
∵
∴.
∴，
∴，
∴．
当的面积最小时，点P到的距离最小，即点P到的距离最大；
当是等腰直角三角形时，即点P到的距离最大.
如图，过点C作于点F，于点E.
在菱形中，，
∴
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴点P到的距离为，
∴的面积的最小值为.
故选：C．
10．A
【详解】解：A、当点E在上运动时，
正方形中，，
，
四边形为矩形，
，
当点E在上运动时，与不一定相等，故A选项结论不一定正确，符合题意；
B、由图2知时，点E运动到点，所以，有，结论正确，不符合题意；
C、由图2知，正方形边长为，
点E运动到点时，所以，结论正确，不符合题意；
D、当点E运动到中点时，
由图2知，时，，
，
，结论正确，不符合题意；
故选：A．
11．
【详解】解：∵在平行四边形中，，
∴；
故答案为：．
12．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
13．
【详解】解：设与交于点，
四边形是等腰梯形，
，
，
，
故答案为：．
14．
【详解】解：由题意可得，A、C关于原点对称，所以C的坐标为．
故答案为：
15．
【详解】解：因为四边形是平行四边形，
∴，
∴用数对表示点D的第一个数为，第二个数为6，
∴顶点D的位置用数对表示是，
故答案为： ．
16．
【详解】解：连接、，如图所示：
四边形是菱形，
，
将菱形折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点处，折痕为，
，，
、分别为、的中点，
是的中位线，
，
菱形的面积为，，
，，
，，
，即，
∴，
∴，
∴，
；
故答案为：．
17．8
【详解】解：是的中位线，
，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：8．
18．42
【详解】解：∵边长分别为8，4，2的正方形的面积为：64，16和4，
∴三个正方形的面积和为,
∵三点分别是正方形的中心，
∴图中阴影部分的面积为，
故答案为：42．
19．
【详解】解：如图，连接，

∵四边形是菱形，
，，
∴是等边三角形，
，
，
，
∴ 正方形的边长是，
故答案为：．
20．①②③④
【详解】解：如图所示，连接，交于点O，如图：
，，
，
，
四边形为矩形，
，，
四边形为正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，故①正确；
延长，交于，交于点，如图：

由①得：，，
，，
，
，
，
，
即：，
，故②正确；
由②得：，
，故③正确；
为对角线上的一个动点，
∴当时，最小，
，
在中，，
，
，
由①得：，
的最小值为，故④正确；
则正确结论的序号为：①②③④，
故答案为：①②③④．
21．
【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求；
（2）解：如图所示，四边形即为所求．
22．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是等腰梯形．
（2）解：，
理由是：连接,
∵四边形是等腰梯形，
∴，
∵，
∴．
23．
【详解】（1）证明∶设、相交于O，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
又，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．
【详解】（1）证明：∵四边形和四边形都是正方形，
，
，即．
在和中，
，
．
（2）解：．
理由：由（1）知，，
．
，，，
，
．
（3）解：如图，过点G作，交的延长线于点M．
∵四边形是正方形，
，
．
，
，
，
是等腰直角三角形．
在中，由勾股定理得，
解得（负值已舍去）．
∵四边形是正方形，，
，
．
在中，由勾股定理得．
25．
【详解】（1）解：∵正方形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：过点E作，垂足为P，如下图所示，

∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
26．
【详解】（1）解：在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴的度数为．
（2）解：，，之间的数量关系为，理由如下：
由旋转可得，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：设正方形的边长为，则，
∵，，
∴，，
在中，，
由（1）得，，
∴，，
∴，
解得，
∴，
如图，令与交于点，与交于点，
设，
在中，，
∵，
∴，
∴，
由（2）可得，
∴，
解得，
∴，
∴的长度为，的长度为．
27．
【详解】（1）（1）证明：∵E，F，G，H分别是各边的中点，
∴， ，，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是正方形．
（2）解：符合．
如图，连接，，与相交于点O．
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可知，四边形为正方形．
∵米，米，，
∴由勾股定理，得（米），
∴（米），
（元）．
∴铺设地砖所需的费用为10000元．

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