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2025-2026学年北京市通州区潞河中学高一（下）段考数学试卷（3月份）
一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。
1.若复数z=-2+i,则复数z在复平面内对应的点位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量=（2，1），=（4，x），且∥，则x的值为（　　）
A. -2 B. 2 C. -8 D. 8
3.已知两个单位向量，满足|2+|=，则，的夹角为（　　）
A. B. C. D.
4.已知P为△ABC所在平面内一点，，则（　　）
A. B.
C. D.
5.在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则sin（A+B）=（　　）
A. B. C. D.
6.在△ABC中，acosA=bcosB，则三角形的形状为（　　）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰三角形
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,则“A＞B”是“asinA＞bsinB”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.对于非零向量，，定义运算“×”：×=||||sinθ，其中θ为，的夹角．设，，为非零向量，则下列说法错误的是（　　）
A. ×=× B. （+）×=×+×
C. 若×=0，则∥ D. ×=（-）×
9.如图，为了测量河对岸的塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个观测点C和D，测得∠BCD=α，∠BDC=β，CD长a米，并在C处测得塔顶A的仰角为γ，则塔高AB=（　　）米.
A.
B.
C.
D.
10.在△ABC中，AB=AC=1，∠A=120°，D为△ABC所在平面内的动点，且，则的最小值为（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若复数z=（a-1）+i为纯虚数，则实数a= .
12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,，，b=1，则c= ，△ABC的面积为 .
13.已知向量=（1，-1），=（-2，1），则2= ；向量在上的投影向量的坐标为 .
14.在矩形ABCD中，若AB=1，，且，则的值为 ，的值为 .
15.已知向量，是平面α内的一组基向量，O为α内的定点，对于α内任意一点P，当=x+y时，则称
有序实数对（x，y）为点P的广义坐标．若点A、B的广义坐标分别为（x1，y1）（x2，y2），关于下列命题：
①线段A、B的中点的广义坐标为（）；
②A、B两点间的距离为；
③向量平行于向量的充要条件是x1y2=x2y1；
④向量垂直于的充要条件是x1x2+y1y2=0．
其中的真命题是______．（请写出所有真命题的序号）
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
若复数z满足（1-i） z=3+i,其中i为虚数单位，其共轭复数为.
（Ⅰ）求复数z和|z|；
（Ⅱ）若，（a,b∈R），求实数a,b的值.
17.(本小题14分)
已知函数f（x）=（sinx+cosx）2-2sin2x.
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值，并求相应的x的值.
18.(本小题14分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,.
（1）求角A的大小；
（2）从以下三个条件中选择一个作为已知，使得三角形存在且唯一确定，求△ABC的面积.
条件①：a=7，b=8
条件②：，a=7
条件③：，c=8
注：如果选择的条件不符合要求.第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
19.(本小题14分)
在平面直角坐标系中，O为原点，A（2，2），B（3，m），C（n,4），，，P为线段BC上一点，且.
（1）求m,n的值；
（2）当时，求cos∠APC；
（3）求的取值范围.
20.(本小题15分)
已知在△ABC中，sin2A=sinBsinC．
（1）若∠A=，求∠B的大小；
（2）若bc=1，求△ABC的面积的最大值．
21.(本小题15分)
对于一组向量，，，…，（m∈N*且m≥3），令，如果存在，使得，那么称ap是该向量组的“1向量”.
（1）设，n∈N*，若是向量组，，的“1向量”，求实数x的取值范围；
（2）若，n∈N*，则向量组，，，…，是否存在“1向量”？若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；
（3）已知，，均是向量组，，的“1向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列P1，P2，P3，…，Pt（t∈N*且t≥4）满足：P1为坐标原点，，且与P2k关于点P1对称，P2k+2与P2k+1关于点P2对称，求的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】1
12.【答案】1

13.【答案】（0，-1）
（）

14.【答案】
2

15.【答案】①③
16.【答案】解：（Ⅰ）由题意，z===1+2i,
|z|==；
（Ⅱ）=1-2i,z =（1+2i）（1-2i）=5，
则a=5，b=0．
17.【答案】解：（1）因为f（x）=（sinx+cosx）2-2sin2x=sin2x+cos2x+2sinxcosx-2sin2x
=，
所以f（x）的最小正周期；
令，
解得：，
所以f（x）的单调递增区间为；
（2）当时，，
所以当，即时，；
当，即时，f（x）min=-1．
18.【答案】解：（1）由正弦定理得：，
又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴，
∵C∈（0，π），
∴sinC＞0，
∴，即，
∵A∈（0，π），
∴．
（2）若选条件①，由余弦定理得：，
即，
解得：或，
∴三角形不唯一，不合题意；
若选条件②，由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
即，
解得：（舍）或，
∴满足题意的三角形唯一，满足题意；此时；
若选条件③，由余弦定理得：，
即，
解得：（舍）或，
∴满足题意的三角形唯一，满足题意，
此时．
19.【答案】解：（1）根据题意，可得，，
由，得n-2+2（m-2）=0，即2m+n=6，
由，得2（n-3）=2（4-m），即m+n=7，
由，解得m=-1，n=8，所以m=-1，n=8．
（2）由（1）得，由，，得，
，，
所以cos∠APC=＜ ＞===．
（3）由（2）知，，，
则，
由P为线段BC上一点，且，得0≤λ≤1，
当时，，当λ=1时，，所以的取值范围[-8，10]．
20.【答案】解：（1）∵sin2A=sinBsinC．由正弦定理可得a2=bc，
由余弦定理可得：cosA=，
∴，化为（b-c）2=0，
∴b=c．
∴△ABC是等边三角形，
∴．
（2）∵bc=1，a2=bc，
由余弦定理可得：cosA===，A∈（0，π）,
当且仅当b=c时，等号成立，
∴，
∴S△ABC==sinA=．
∴△ABC的面积的最大值为．
21.【答案】解：（1）由题意可得：，
则，解得-2≤x≤0，
所以x的取值范围是[-2，0]；
（2）存在“1向量”，且“1向量”为，， ，，
理由如下：
由题意可得，
因为，
所以向量组，，， ，以4为周期，
若存在“1向量”，只需使，
又，
所以，
故只需使
=
=，即，
当p=2，6， ，4i+2时，符合要求，
故存在“1向量”，且“1向量”为，， ，；
（3）由题意，得，，
即，
同理，
，
三式相加并化简，
得，
即，即，
所以，设，
则由，可得，
设Pt（xt，yt），
则依题意得，
故（x2k+2，y2k+2）=2k[（x2，y2）-（x1，y1）]+（x2，y2），
（x2k+1，y2k+1）=2k[（x1，y1）-（x2，y2）]+（x2，y2），
所以，
，
当且仅当（K∈Z）或时等号成立，
所以．
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