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2025-2026学年甘肃省兰州市某校九年级（下）月考数学试卷（四）
一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图是一个陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
2.若a＜b,则下列不等式变形正确的是（　　）
A. a+1＜b-1 B. -a＜-b C. -1+a＜-1+b D.
3.已知直线AB及直线AB外一点C，如图是小明利用尺规作图作出CD∥AB的痕迹，他判定两直线平行的依据是（　　）
A. 同位角相等，两直线平行
B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线平行
D. 平行于同一条直线的两直线平行
4.化简的结果是（　　）
A. -1 B. 1 C. x-1 D. x-2
5.体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠2=20°，则∠1等于（　　）
A. 100° B. 110° C. 115° D. 120°
6.为落实“五育并举”，某校开设了丰富的劳动教育课程，甲、乙两名同学从“园艺”、“厨艺”、“陶艺”、“木工”4门课程中随机选择一门学习，则甲、乙两人选择同一门课程的概率是（　　）
A. B. C. D.
7.如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD是以O为位似中心的位似图形，若A（-3，2），B（-2，0），D（4，0），则点C的坐标是（　　）
A. （4，-6）
B. （6，-4）
C. （6，-5）
D. （-6，4）
8.若一次函数y=kx+b的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A. k＜0
B. 当x=2时，y=0
C. y随x的增大而减小
D. 当x＞0时，y＞0
9.我国古代数学名著《九章算术》中记录的一道题：今有程，迟马至九百里，多一日；疾马至，少三日.疾马日速倍迟.译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍.设未知数x,y,依题意列出一个方程y（x+1）=2y（x-3），则用一个未知数列出方程正确的是（　　）
A. B.
C. D.
10.如图，BD是菱形ABCD的对角线，点F在边AD上，连接CF并延长，交BA的延长线于点E，CE交BD于点G，若AD=4AE，CE=18，则CG的长为（　　）
A. 8
B. 12
C. 14
D. 16
11.如图，四边形ABCD中，BC∥AD，∠A=60°，AB=BC=10cm,AD=16cm,点P从点A出发，以4cm/s的速度沿A-D向点D运动，同时，点Q从点A出发，以5cm/s的速度沿A-B-C向点C运动，直到两点都到达终点.若点P的运动时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），则下列最能反映S与t之间函数关系的图象是（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
12.分解因式4a2-4b2=______．
13.在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进1km所用的时间，即“配速”（单位：min/km）.小华参加5km的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中正确的是 .
①第1km所用的时间最长；
②第5km的平均速度最大；
③第2km和第3km的平均速度相同；
④前2km的平均速度大于最后2km的平均速度.
14.如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，，若∠CAB=37°，则∠CAD= .
15.如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG.若AB=4，BC=6，则tan∠GCF的值是 .
三、解答题：本题共11小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：.
17.(本小题6分)
先化简，再求值：3a2b+ab2-（-ab2+3a2b+1），其中a=3，b=-2.
18.(本小题6分)
解方程：2（x-1）2=x-1.
19.(本小题6分)
如图，直线y=-x+b与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B，与反比例函数（m为常数m≠0）的图象在第二象限交于点C（-2，a）.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△BOC的面积.
20.(本小题6分)
某消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分，能建立如图所示的平面直角坐标系进行表示.其中，A，B为某建筑物墙面上的两点，水枪喷口位于点C处时，水流恰好到达A处着火点.已知点A与点C的垂直距离OA与水平距离OC均为16米，水流在与点A水平距离为6米处达到最高点.
（1）求水枪喷口位于点C处时，水流恰好到达A处着火点所形成的抛物线解析式，并标出x的取值范围；
（2）若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移3米到点D处，其他条件不变，此时水流能否到达点A正上方7.5米处的B着火点？请说明理由.
21.(本小题6分)
项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底.从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形.综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告.
项目主题 景物的测量与计算
驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径
活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
活动过程 方案说明 图1为该景点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直径，图中点A，B，C，D在同一条直线上.
图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E，F，外栏墙AE与DF均与水平地面垂直，且AE=DF.BE，CF均表示步道的宽，BE=CF.图中各点都在同一竖直平面内.
数据测量 在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠DAB=37°，∠DAC=8.5°，AD=26米.图中墙的厚度均忽略不计.
计算 …
交流展示 …
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1米.参考数据：（sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）.
22.(本小题6分)
为庆祝中国共产党建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，继承革命先烈的优良传统，某中学开展了建党100周年知识测试.该校七、八年级各有300名学生参加，从中各随机抽取了50名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息：
a.八年级的频数分布直方图如下（数据分为5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；
b.八年级学生成绩在80≤x＜90的这一组是：
80 81 82 83 83 83.583.5 84 84 85 86 86.5 87 88 89 89
七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 87.2 85 91
八年级 85.3 m 90
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为______；
（2）在随机抽样的学生中，建党知识成绩为84分的学生，在______年级抽样学生中排名更靠前，理由是______；
（3）若成绩85分及以上为“优秀”，请估计八年级达到“优秀”的人数.
23.(本小题6分)
请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务.
数学兴趣课上，老师和同学们共同探讨了下面的问题：
题目：已知正方形ABCD，利用尺规作一个正方形，使点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA边上.
勤学小组展示了他们讨论并优化后的成果如图1.作法如下：①作线段AD的垂直平分线分别交AD，
BC于点H，F；②作AB或FH或CD的垂直平分线分别交AB，CD于点E，G，连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH是所求的正方形.
任务：
（1）如图1，勤学小组作法的第一步中，用尺规作出线段AD垂直平分线作法依据的定理是______；
（2）如图2，作线段AD的垂直平分线分别交AD，BC于点H，F；请在图2中，用不同于图1的方法作出满足条件的正方形EFGH；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（3）如图3，点E是AB边上的一点，请你在图3中作出满足条件的正方形EFGH.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
24.(本小题6分)
如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O外一点，AD⊥CD于点D，且AC平分∠BAD.
（1）求证：直线CD为⊙O的切线；
（2）若AD=3，AC=4，求⊙O的半径.
25.(本小题6分)
【问题呈现】
如图1，∠MPN的顶点在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P旋转，旋转过程中，∠MPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E、F（点F与点C，D不重合）.探索线段DE、DF、AD之间的数量关系.
（1）【问题初探】
爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论.请你写出线段DE、DF、AD之间的数量关系______；
（2）【问题引申】
如图2，将图1中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，∠EPF=60°，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段DE、DF、AD之间的数量关系，并说明理由；
（3）【问题解决】
如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为16，点P运动至与A点距离恰好为14的位置，且∠EPF旋转至DF=2时，请直接写出DE的长度______.
26.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于平面内点P和y轴上点Q，给出如下定义：将点P绕着点Q旋转90°得到的对应点P′恰好在⊙O上，称点P为⊙O的“赋能点”.
（1）已知点Q的坐标为（0，1）.
①如图1，在点P1（2，1），P2（1，1），P3（-1，2）中，⊙O的“赋能点”是______；
②如图2，若直线y=-x+b上存在点P，使点P为⊙O的“赋能点”，求b的取值范围；
（2）如图3，点Q（0，t），M（-1，2），N（2，2）.若线段MN上存在点P，使点P为⊙O的“赋能点”，直接写出t的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】D
12.【答案】4（a+b）（a-b）
13.【答案】①②③
14.【答案】26.5°
15.【答案】
16.【答案】0．
17.【答案】2ab2-1，23．
18.【答案】解：方程变形得：2（x-1）2-（x-1）=0，
分解因式得：（x-1）（2x-2-1）=0，
（x-1）（2x-3）=0，
可得x-1=0或2x-3=0，
解得：x1=1，x2=．
19.【答案】 2
20.【答案】 不能，理由如下：
根据题意可知，水枪喷口位于点C处水流形成的抛物线形状与水枪喷口位于点D处水流形成的抛物线形状相同，位置不同，
∴可得水枪喷口位于点D处水流形成的抛物线的解析式为，即．
∴当x=0时，y=22.75，即水流正好到点（0，22.75）处．
∵16+7.5=23.5，22.75＜23.5．
∴水流不能到达点A正上方7.5米处的B着火点
21.【答案】内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米．
22.【答案】83 八 该学生的成绩大于八年级成绩的中位数，而小于七年级成绩的中位数
23.【答案】到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 如图，正方形EFGH即为所求，
如图，正方形EFGH即为所求．

24.【答案】如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠OAC=∠CAD，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴直线CD为⊙O的切线
25.【答案】DE+DF=AD （2）；理由如下：
如图2，四边形ABCD为∠ADC=120°的菱形，取AD的中点T，连接PT，
∴∠ADP=∠CDP=60°，BD=AD，∠DAP=30°，
∴△TDP是等边三角形，
∴∠PTE=∠PDF=60°，PT=PD，
∵∠PAT=30°，
∴∠TPD=60°，
∵∠MPN=60°，
∴∠EPT=∠FPD，
在△TPE和△DPF中，
，
∴△TPE≌△DPF（ASA），
∴TE=DF，
∴ 8或4
26.【答案】①P1，P3；②b的取值范围为； t的取值范围为．
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