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2025-2026学年广西南宁市良庆区银海三雅学校九年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的相反数是（　　）
A. -2024 B. C. D. 以上都不是
2.2021年5月15日距离地球320000000千米之外，天问一号探测器成功着陆在火星乌托邦平原南部预选着陆区，标志着中国成为继苏联和美国之后世界上第三个探测器成功在火星着陆的国家.将320000000用科学记数法表示为（　　）
A. 32×107 B. 3.2×107 C. 3.2×108 D. 0.32×109
3.城市书房有一群学生在看书，现统计他们的年龄如下表.他们年龄的中位数为（　　）
人数（人） 2 3 8 2
年龄（岁） 11 12 13 14
A. 11 B. 12 C. 12.5 D. 13
4.用一个平面截长方体，得到如图的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”，它的主视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
5.若a＜b＜0，则下列不等式正确的是（　　）
A. -a3＞-b3 B. ab＜b2 C. D. 3a+1＞3b+5
6.如图，直线c与直线a,b相交，若∠1=56°，则∠2等于（　　）
A. 24°
B. 34°
C. 56°
D. 无法确定
7.若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x≤3 B. x＜3 C. x＜3且x≠0 D. x≠3
8.数学源于生活，寓于生活，用于生活.下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　）
A. 测量跳远成绩
B. 木板上弹墨线
C. 弯曲河道改直
D. 两钉子固定木条
9.直线y=5x+3不经过的象限是（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10.如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧的中点，若∠EOD=32°，则∠CDA的度数是（　　）
A. 37°
B. 74°
C. 53°
D. 63°
11.如图，反比例函数和的部分图象与直线y=a（a＞0）分别交于A，B两点，如果△ABO的面积是9.5，则k的值为（　　）
A. 11
B. -11
C.
D.
12.如图，正方形ABCD的边长4cm,点P以2cm/s的速度从点A出发沿A-D-C运动，同时点Q以1cm/s的速度从点C出发沿CB运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t（s），连接PQ和PC，△PQC的面积为s（cm2）（s≠0），下列图象能正确反映出s与t的函数关系的是（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.分式时，x= .
14.分解因式：4+4m+m2= .
15.一个不透明的布袋里装有10个只有颜色不同的球，其中5个白球，3个红球，2个黄球，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是 .
16.如图，在正方形ABCD中，点E是AB的中点，连接DE，过点E作EF⊥DE，EF=DE，连接AC，BF，DF，AC和DE，DF分别交于点M，N.有如下结论：①AC∥BF；②DF=2BF；③MN=BF；④点G在射线BF上，连接CG，DG，若AB=4，则△CDG的周长的最小值为.上述结论中，所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共7小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
（1）；
（2）.
18.(本小题10分)
中国新能源产业异军突起.中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势.2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一.在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图.
类型 人数 百分比
纯电 m 54%
混动 n a%
氢燃料 3 b%
油车 5 c%
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动随机抽取了______人；表中a=______，b=______；
（2）请补全条形统计图；
（3）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？
19.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
（1）根据要求，完成下面的尺规作图，不写作法，保留作图痕迹：
①作∠BAC的平分线AD，交BC于点D；
②作线段AD的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F，垂足为点H.
（2）在（1）的基础上，求证：△AHE≌△AHF.
20.(本小题10分)
为推进数学校园建设工作，某区安排甲、乙两家公司合作完成1100台教学一体机的安装任务，乙公司安装的教学一体机数量比甲公司安装的教学一体机数量的两倍少100台.
（1）求甲、乙两家公司各安装了多少台教学一体机？
（2）若乙公司每天比甲公司每天少安装1台教学一体机，最终乙公司完成安装任务所用天数是甲公司完成安装任务所用天数的2倍，求乙公司每天安装多少台教学一体机？
21.(本小题10分)
如图是某隧道入口的示意图，从地面E点测得隧道入口正下方A点的俯角为30°，一辆小轿车沿斜坡AE向下行驶8米后到达点D，此时测得地面B点的仰角为53°（点B与点E在同一水平线上），隧道顶部C点与地面B点间的距离为1米（A、B、C在同一条直线上且与水平线垂直）.
（1）求地面B、E两点间的距离（精确到0.1米）；
（2）为保障安全，规定车辆顶部到隧道顶部间至少保留1米的安全距离，现有一辆大货车装满货物后高度为3.2米，通过计算说明这辆货车是否应该驶入该隧道，并请你为这个隧道设置一个限高标志（精确到0.1米）.（，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，cot53°≈0.75）
22.(本小题10分)
某广场计划修建一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上（水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足二次函数关系），以水管下端点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，某方向上抛物线路径的形状如图所示.
（1）经实验测量发现：当OA长为2米时，水流所形成的抛物线路径的最高点距地面3米，距OA所在直线1米，求抛物线的解析式；
（2）计划在小型喷泉周围建一个半径为米的圆形水池，在不改变抛物线路径形状的情况下，仅改变水管OA出水口点A的高度，以保证水流的落地点B不会超出水池边缘，则水管OA最多可以设计为几米？
23.(本小题12分)
如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD相交于点E，且.
（1）求证：△CDE∽△BDC；
（2）若DE=3，BE=5，求CD的长度；
（3）如图2，连结OD交AC与点F，AC=8，CD=5，求⊙O的半径长度；
（4）如图3，若AD=CE，延长AD至点F，若CD平分∠BDF，记△ACD的面积为S1，△BCD面积为S2，△BCE面积为S3，若5S1 S3=2，则是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】C
11.【答案】B
12.【答案】B
13.【答案】-1
14.【答案】（2+m）2
15.【答案】
16.【答案】①④
17.【答案】解：（1）原式=-4+1-9
=-4-9+1
=-13+1
=-12；
（2），
3（3x+4）-6=2（2x-2），
9x+12-6=4x-4，
9x-4x=6-12-4，
5x=-10，
x=-2
18.【答案】50;30;6 补全条形统计图如图所示：
3600人
19.【答案】（1）解：①如图所示，AD即为所求；
②如图所示，EF即为所求；
（2）证明：由作图可知：
∠EAH=∠FAH，∠AHE=∠AHF=90°，
又∵AH=AH，
∴△AHE≌△AHF（ASA）．
20.【答案】解：（1）设甲公司安装教学一体机x台，则乙公司安装教学一体机（2x-100）台，
根据题意得：x+2x-100=1100，
解得x=400，
∴2x-100=2×400-100=700，
∴甲公司安装教学一体机400台，乙公司安装教学一体机700台；
（2）设乙公司每天安装m台教学一体机，则甲公司每天安装（m+1）台，
根据题意得：=×2，
解得m=7，
经检验，m=7是原方程的解，
答：乙公司每天安装7台教学一体机．
21.【答案】9.9米 这辆货车可以驶入该隧道；这个隧道设置一个限高标志，如图即为所求．

22.【答案】解：（1）由题意，A为（0，2），顶点为（1，3），
则可设抛物线解析式为y=a（x-1）2+3．
又过A（0，2），
∴2=a（0-1）2+3．
∴a=-1．
∴抛物线的解析式为y=-（x-1）2+3．
（2）由题意，∵在不改变抛物线路径形状的情况下，
∴可设此时抛物线为y=-（x-1）2+k.
又保证水流的落地点B不会超出水池边缘，即B（2.5，0），
∴0=-（2.5-1）2+k.
∴k=2.25．
∴此时抛物线为y=-（x-1）2+2.25．
再令x=0，
∴y=1.25．
∴水管OA最多可以设计为1.25米．
23.【答案】（1）证明：∵，
∴∠CBD=∠ACD，
∵∠CDE=∠CDB，
∴△CDE∽△BDC．
（2）解：∽∵DE=3，BE=5，
∴BD=BE+DE=8，
∵△CDE∽△BDC，
∴，
即，
CD2=24，
解得，负值舍去．
答：CD的长为2．
（3）解：如图，连接OC，
∵，
∴，
∵CD=5，
∴，
设⊙O的半径为R，则OF=R-3，
在Rt△OCF中，OC2=OF2+CF2，
即R2=（R-3）2+42，
解得，
答：⊙O的半径为．
（4）解：∵，
∴AD=CD，
∵AD=CE，
∴CD=CE，
∴∠CED=∠CDE，
由（1）知△CDE∽△BDC，
∴∠CED=∠BCD，
∴∠BCD=∠CDE，
∴BC=BD，
∵CD平分∠BDF，
∴∠CDF=∠CDE，
∴∠BCD=∠CDF，
∴AD∥BC，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
∵，
∴∠CAD=∠CBD，
∴∠CBD=∠ACB，
∴CE=BE，
∵AD=CE，
∴AD=BE，
∵BD=BD，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：是定值，且=．
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