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2025-2026学年湖南省长沙实验中学高二（下）第一次段考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知数列{an}为正项等比数列，若a3=16，a5=1，则a4=（　　）
A. ±4 B. 4 C. -4 D. 2
2.已知函数f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A. f（x）在区间（x1，x3）上单调递减
B. f（x）在x=x5处取得极大值
C. f′（x）在区间（x3，x4）上单调递减
D. f′（x）在x=x6处取得极小值
3.若随机变量X服从两点分布，其中，E（X），D（X）分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是（　　）
A. P（X=1）=E（X） B. E（4X+1）=4
C. D. D（4X+1）=4
4.已知二项式（2x-1）n的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中x3项的系数为（　　）
A. -80 B. 80 C. -160 D. -120
5.从5人中选出4人分别到上海、香港、台北、澳门四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去上海游览，则不同的选择方案共有（　　）
A. 120种 B. 96种 C. 72种 D. 48种
6.已知圆C：（x-3）2+（y-4）2=9关于直线l：ax+by-2=0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值是（　　）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
7.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，经过F2的直线与C的右支交于A，B两点，且|AF1|=|AB|，，则C的离心率是（　　）
A. B. C. D.
8.已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设，则（　　）
A. a0+a1+ +a5=728
B. a3=160
C. （2+x）12的展开式中含x2项的系数为64a2
D. a0+a2+a4+a6=365
10.已知等差数列{an}的公差为d,其前n项和为Sn，若S7=S14，下列论断中正确的有（　　）
A. S21=0 B. 若d＞0，a6+a11＞0
C. 若d＜0，|a6|＞|a13| D. 当n=10或11时，Sn取得最大值
11.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（　　）
A. A，B是相互独立事件 B. 事件A，B互斥
C. P（A+）=P（B） D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 个.
13.平行于x轴的直线交抛物线C1：y2=2x于点P1，交抛物线C2：y2=8x于点P2，记抛物线C1和C2的焦点分别为F1和F2，若|P1F1|=|P2F2|，则四边形F1F2P1P2的面积为 .
14.已知函数f（x）=ax2-2lnx.若对 x∈[1，3]，都有恒成立，则a的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，满足，且a1=4.
（1）求{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn.
16.(本小题15分)
已知底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA∥DQ，PA=3DQ=3，AD=2AB=2，且∠ABC=60°.
（1）求证：平面PAC⊥平面CDQ；
（2）线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
17.(本小题15分)
某学校有A，B两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率为；前一天选择B餐厅的学生第二天选择A餐厅的概率为，选择B餐厅的概率也是，如此往复.记同学甲第n天选择B餐厅的概率为pn.
（1）求同学甲第二天选择B餐厅的概率；
（2）证明：数列为等比数列；
（3）已知餐厅连续运营一个月（30天）后，到两个餐厅用餐的人数趋于稳定.若该校共有约3000学生在餐厅用餐，为了节约粮食减少浪费，两个餐厅每天各自应该预备多少人的用餐量？
18.(本小题17分)
如图，设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1，0）且与x轴不重合，l与圆A交于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（1）求点E的轨迹方程；
（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点.
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）求四边形MPNQ面积的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=a（2-x）ex，g（x）=（x-1）2．
（1）若曲线y=g（x）的一条切线经过点M（0，-3），求这条切线的方程．
（2）若关于x的方程f（x）=g（x）有两个不相等的实数根x1，x2．
①求实数a的取值范围；
②证明：x1+x2＜2．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】AC
11.【答案】AC
12.【答案】240
13.【答案】3
14.【答案】
15.【答案】解：（1）由 可得，当n≥2时，an=2Sn-1+4，
以上两式相减可得an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an，
即an+1=3an，
当n=1时，a2=2S1+4=12，满足a2=3a1，
所以数列{an}是以4为首项，3为公比的等比数列，
故;
（2），
，
，
两式相减，得
=
=-2+（2-2n）×3n，所以．
16.【答案】（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD，
AD=2AB=2，可得AD=2，AB=1，∠ABC=60°，底面ABCD是平行四边形，
所以BC=AD=2，
由余弦定理可得AC===，
可得AB2+AC2=BC2，
所以∠BAC=，即AC⊥AB，
可得AC⊥CD，
而AC∩PA=A，
所以CD⊥平面PAC，
因为CD 平面QCD，
所以平面PAC⊥平面CDQ；
（2）由（1）可得，以A为坐标原点，以AB，AC，AP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，PA=3DQ=3，可得DQ=1，
则A（0，0，0），P（0，0，3），C（0，，0），D（-1，，0），Q（-1，，1），
设平面PCQ的法向量为=（x,y,z），
=（0，-，3），=（-1，0，1），
则，即，
令x=1，
可得=（1，，1），
设线段PC上存在点M，满足条件，
设=λ=λ（0，，-3）=（0，λ，-3λ），λ∈[0，1]，
所以M（0，λ，-3λ+3），则=（0，λ，-3λ+3），
所以 =0+3λ-3λ+3=3，||==，||==，
所以cos＜，＞==，
直线AM与平面PCQ所成的角为θ，θ∈[0，]，
则sinθ=|cos＜，＞|，
又因为直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是，即sinθ=，
所以=，
整理可得：2λ2-3λ+1=0，
解得λ=或λ=1．
所以=或1．
所以存在这样的M点满足条件．
17.【答案】解：（1）设Bi=“同学甲第i天选择B餐厅”，i=1，2，3，…，n，
根据题意可知：，
根据全概率公式可得P（B2）=P（B1）P（B2|B1）+P（）P（B2|）
==，
即同学甲第二天选择B餐厅的概率为；
（2）证明：设Bn=“甲第n天选择B餐厅”，
则Pn=，
当n≥2时，由全概率公式可得pn=P（Bn）=P（BnBn-1）+P（Bn）
=P（Bn-1）P（Bn|Bn-1）+P（）P（Bn|）
=，
所以Pn=-+，
所以，且，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（3）由（2）知：，
所以，
所以，即30天后一个学生选择B餐厅的概率约为，
设3000名学生选择B餐厅的人数为X，X～B（3000，），
3000名学生中选择B餐厅的平均人数约为（人），
选择A餐厅的人数为3000-1800=1200（人），
所以A、B餐厅应分别准备1200、1800人的用餐量．
18.【答案】） （i）证明见解析；（ii）
19.【答案】解：（1）由题意得y=g（x）的切线的斜率一定存在，
设所求的切线方程是：y=kx-3，
由，得x2-（2+k）x+4=0，
∵切线和抛物线相切，
∴△=（2+k）2-16=0，解得：k=2或k=-6，
故所求切线的方程是：2x-y-3=0或6x+y+3=0；
（2）①由f（x）=g（x），得g（x）-f（x）=0，
设h（x）=g（x）-f（x）=a（x-2）ex+（x-1）2，
则h′（x）=a（x-1）ex+2（x-1）=（x-1）（aex+2），
由题意得函数h（x）恰有2个零点；
（i）当a=0则h（x）=（x-1）2，h（x）只有1个零点1；
（ii）当a＞0时，由h′（x）＜0得x＜1，
由h′（x）＞0，解得：x＞1，
即h（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增，
而h（1）=-ae＜0，h（2）=1，
∴h（x）在（1，+∞）上有唯一零点，且该零点在（1，2）上，
取b＜0且b＜ln，
则h（b）＞（b-2）+（b-1）2=b（b-）＞0，
故h（x）在（-∞，1）上有唯一零点，且该零点在（b，1）上，
故a＞0，h（x）恰好有2个零点；
（iii）当a＜0时，由h∩′（x）=0，解得：x=1或x=ln（-），
若a=-，h′（x）=-（x-1）（ex-e）≤0，
故h（x）在（1，+∞）上至多有1个零点，
若a＜-，则ln（-）＜1，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，即h（x）在（1，+∞）递减，
又h（1）=-ae＞0，故h（x）在（1，+∞）上至多有1个零点，
当x∈（-∞，1）时，h（x）在（ln（-），1）上递增，在（-∞，ln（-））递减，
又h[ln（-）]=-2[ln（-）-2]+[ln（-）_1]2=[ln（-）-2]2+1＞0，
∴h（x）在（-∞，ln（-））上无零点，
若a＞-，则ln（-）＞1，
又当x≤1时，h（x）≥h（1）=-ae＞0，
故h（x）不存在零点，
h（x）在x∈（1，+∞）上无零点，
故当x∈（1，ln（-））时，h（x）＞0，
当x∈（ln（-），+∞）时，h′（x）＞0，
故f（x）在（1，ln（-））递增，在（ln（-），+∞）递减，
又h[ln（-）]=-2[ln（-）-2]+[ln（-）-1]2=[ln（--2]2+1＞0，
∴h（x）在（1，ln（-））无零点，在（ln（-），+∞）至多一个零点，
综上，a的范围是（0，+∞）；
②不妨设x1＜x2，
由①知x1∈（-∞，1），x2∈（1，+∞），2-x2∈（-∞，1），
且a＞0，h（x）在（-∞，1）递减，
故x1+x2＜2等价于h（x1）＞h（2-x2），即h（2-x2）＜0，
由于h（2-x2）=-ax2+，
且h（x2）=a（x2-2）+=0，
∴h（2-x2）=a[-x2-（x2-2）]
=-a[x2+（x2-2）]，
设φ（x）=xe2-x+（x-2）ex，其中x＞1，
则φ′（x）=（x-1）（ex-e2-x），
当x＞1时，ex＞e，e2-x＜e，故φ′（x）＞0，
而φ（1）=0，故x＞1时，φ（x）＞0，
从而f（2-x2）=-aφ（x2）＜0，
故x1+x2＜2．
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