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2025-2026学年上海市闵行区上宝中学九年级（下）摸底数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知-x＞2，则下列不等式正确的是（　　）
A. x＞-2 B. x＜-2 C. x＞2 D. x＜2
2.函数的自变量x的取值范围是（　　）
A. x＞2 B. x≠3 C. x≠2 D. x≤3
3.下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（　　）
A. x2+3=0 B. 2x2+3x+2=0 C. x2-2x+1=0 D. 3x2+5x-8=0
4.如表记录了甲、乙、丙、丁四个科技创新小组最近几次选拔赛成绩的平均数和方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的小组去参赛，那么应选的小组是（　　）
甲 乙 丙 丁
平均数 88 92 92 88
方差 0.9 1.5 1 1.8
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5.如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC、BD的平行线，分别相交于E、F、G、H四点，则四边形EFGH为（　　）
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
6.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A、D为圆心，半径分别为1和画圆，E、F分别是⊙A、⊙D上的一动点，P是BC上的一动点，则PE+PF的最小值是（　　）
A.
B. 3
C.
D. 4
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.计算：（3a3）2=______．
8.（-x-2y）（-x+2y）= ______．
9.已知，则x= .
10.你知道吗？我们赖以生存的美丽地球是一个近似于圆形的球体，它的半径长约1.496×108千米.如果让你做一次旅行，沿着轨道乘“天宫一号”20天走完等于地球半径长的路程，则“天宫一号”平均每天要飞行 千米.（结果用科学记数法表示）
11.已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象不经过第一象限，当-1≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为5，则k的值为 .
12.如图，菱形ABCD中，∠B=50°，点E在CD上，且AE=AC，则∠CAE的度数为 .
13.小文买了一支温度计，回家后发现里面有一个小气泡（即不准确了），先拿它在冰箱里试一下，在标准温度是零下7°C时，显示为-11°C；在36°C的温水中，显示为32°C，那么用这个温度计量得的室外气温是-2°C，则室外的实际气温应是 °C.
14.在一个不透明的袋子中装有若干支红色中性笔芯，为了估计袋中红色笔芯的数量，某同学又往袋子中放入了10支黑色中性笔芯（黑、红两种笔芯除颜色外其余都相同），然后将袋中笔芯搅拌均匀，再从袋子中任意摸出一支笔芯，记下颜色后又放回袋子中…如此重复操作后发现，摸到黑色笔芯的概率为，则袋子中红色笔芯有 支.
15.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结BE、DE，如果BD=2AD，DE∥BC，，用、表示= .
16.为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如下的频数分布直方图，图中的a,b满足关系式2a=3b.后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120.如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是 人.（：该年级共1000名学生）
17.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，D为AB的中点，E为BC边上的点，连接DE，将△BDE沿DE折叠得到△FDE，连接AF，若以点D，E，F，A为顶点的四边形为平行四边形，则CE的长为 .
18.如图，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以D为圆心，DA为半径作，与半圆O交于点P，我们称：点P为正方形ABCD的一个“奇妙点”，过奇妙点的多条线段与正方形ABCD无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优良的性质值得探究.连接PA、PB、PC、PD，并延长DP交AB于点F.下列结论中：①FD=FB+BC；②∠APC=135°；③；④；其中正确的结论的序号为 .
三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题11分)
计算：.
20.(本小题11分)
解方程组：.
21.(本小题11分)
在平面直角坐标系xOy中，双曲线（k为常数，且k≠0）与直线y=3x-1都经过点A（2，m）.
（1）求m与k的值；
（2）过点B（0，n）（n＞0）作平行于x轴的直线，与双曲线相交于点C，与直线y=3x-1相交于点D，在△ACD中，当AC=AD时，求边CD的长度.
22.(本小题11分)
【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为18m的正方形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适的安装方案.
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为r（m）的圆面.喷洒覆盖率，s为待喷洒区域面积，k为待喷洒区域中的实际喷洒面积.
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题.
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为9m的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率ρ= ______.
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半径均为3m的自动喷洒装置；…，以此类推，如图5，设计安装n2个喷洒半径均为的自动喷洒装置.与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并给出理由.
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率ρ=1.已知AE=BF=CG=DH，设AE=x（m），⊙O1的面积为y（m2），求y关于x的函数表达式，并求当y取得最小值时r的值.
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷洒覆盖率ρ=1？（直接写出结果即可）
23.(本小题11分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，联结AD，点E、F分别在AB、AC上，且ED⊥FD，点G是AB上与E点不重合的点，联结CG交FD于点H，AD DH=DE DB.
（1）求证：CG⊥AB；
（2）若四边形DEGH为平行四边形，求证：AD2=2AE AF.
24.(本小题11分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点C（0，-3），与抛物线的一个交点为A，点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点.
（1）求抛物线L1的表达式；
（2）当四边形ACPQ为平行四边形时，求点P的坐标；
（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，当CA平分∠PCR，且OQ∥PR时，求点Q的坐标.
25.(本小题12分)
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=16cm,AB=20cm,动点D由点C向点A以每秒1cm速度在边AC上运动，动点E由点C向点B以每秒cm速度在边BC上运动，若点D、点E从点C同时出发，运动t秒（t＞0），联结DE.
（1）求证：△DCE∽△BCA；
（2）如图2，设经过点D、C、E三点的圆为⊙P；
①当⊙P与边AB相切时，求t的值；
②在点D、点E运动过程中，若⊙P与边AB交于点F、G（点F在点G左侧，如图3），联结CP并延长交边AB于点M，连接PF，当△PFM与△CDE相似时，求CE的长.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】9a6
8.【答案】x2-4y2
9.【答案】10
10.【答案】7.48×106
11.【答案】-
12.【答案】50°
13.【答案】2
14.【答案】25
15.【答案】
16.【答案】200
17.【答案】1或
18.【答案】①②④
19.【答案】解：原式=1-3+（-1）2-4
=-2+3-2-4
=-3-2．
20.【答案】或或或．
21.【答案】m=5，k=10； ．
22.【答案】0.785
23.【答案】∵AB=AC，点D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴∠ADC=90°，
∵ED⊥FD，
∴∠EDF=90°，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDH=90°，
∴∠ADE=∠CDH，
∵AD DH=DE DB，
∴，
∴，
∴△ADE∽△CDH，
∴∠BAD=∠DCH，
∵∠BAD+∠AGC=∠DCH+∠ADC，
∴∠AGC=∠ADC=90°，
∴CG⊥AB ∵四边形DEGH为平行四边形，
∴EG∥DH，DE∥GH，
∴AB∥DF，
∴△ABC∽△FDC，
∴，
∵AB=AC，点D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，，
∴，
∴AC=2CF，
∴AB=AC=2AF=2CF，
又∵DE∥GH，CG⊥AB，
∴DE⊥AB，即∠AED=90°=∠ADB，
∴∠BAD+∠B=∠BAD+∠ADE=90°，
∴∠B=∠ADE，
∴△ADE∽△ABD，
∴．
∴AD2=AE AB．
∴AD2=2AE AF
24.【答案】y=x2-2x-3；
（3，0）或或（-7，60）；
或．
25.【答案】证明详见解答 ①；②CE=或
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