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2025-2026学年重庆市育才中学教共体九年级（下）第一次自主作业数学试卷（1）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是（　　）
A. -27 B. 27 C. D.
2.以下四种不同的传统纹样中是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
3.下列计算正确的是（　　）
A. （-x5）2=（-x2）5 B. x2+x3=x5
C. （x3）3=x6 D. 2x3 x2=2x5
4.下列命题正确的是（　　）
A. 相等的角是对顶角 B. 等腰三角形的高线、中线、角平线重合
C. 两直线平行，内错角相等 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ABC=25°，则∠BDC的度数是（　　）
A. 50°
B. 65°
C. 75°
D. 85°
6.如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（-6，2），（-2，8），以点O为位似中心，在原点的另一侧按2：1的相似比将△OAB缩小，则点B的对应点B′的坐标是（　　）
A. （1，-4） B. （-1，4） C. （2，-4） D. （-2，4）
7.如图，用黑白两种颜色的正五边形地砖按照一定规律拼成若干个蝴蝶图案，其中第①个图案有4块白色地砖，第②个图案有7块白色地砖，第③个图案有10块白色地砖，…，按此规律，第⑩个图案中的白色地砖的数量是（　　）.
A. 10 B. 28 C. 31 D. 34
8.为传承清明文化、缅怀先辈，某班以小组为单位，精心布置清明节主题黑板报.甲组单独布置需4小时，乙组单独布置需6小时，如果甲、乙两组合作了2小时后，因甲组另有任务，剩下的任务由乙组单独完成，若设乙单独完成剩下的任务还需要x小时，则可列方程为（　　）
A. B.
C. D.
9.如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边DC上，连接AE，AF，若∠EAF=45°，点G是AE的中点，连接DG，与AF交于点H，若，则的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
10.已知整式M：，其中n、an为正整数，an-1， ，a1，a0均为整数，若满足n+an+an-1+ +a1+a0=6，n+3＞an＞an-1＞ ＞a1＞a0＞-3，下列说法：
①当整式M是二次二项式时，关于x的方程M+k=0（k为常数）有两个不同的实数根，则k的取值范围为；
②当n=3时，满足条件的所有整式和为19x3+7x2-2x-9；
③当a0+an=2时，满足条件的整式M共有5个.
其中正确的个数是（　　）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.目前，我国森林总面积约为3614000000亩，其中数据3614000000用科学记数法表示为 .
12.若n为正整数，且满足，则n= .
13.重庆东站某时刻同时开设了三个检票口前往北京，小明和小红各随机选择一个检票口检票，则恰好选到同一检票口的概率为 .
14.若x-|y|=7，|x|-2y=4，则xy= .
15.如图，在平行四边形ABCD中，顶点A、B、D在⊙O上，CD与⊙O相切于点D，连接对角线BD，在对角线BD上取点E，满足BE=2ED，连接AE并延长交⊙O于点F，连接BF，其中⊙O的半径为，tan∠BCD=3，则线段AB的长度为 ，线段BF的长度为 .
16.一个四位自然数（其中a,b,c,d均为整数，且1≤a,b,c,d≤9），若满足a+d=b+c=13，则称M为“亲和数”，如：四位数4679，∵4+9=6+7=13，∴4679是“亲和数”.
（1）已知某个“亲和数”的个位数字等于十位数字的2倍，百位数字比千位数字大4，则这个“亲和数”为 ；
（2）一个“亲和数”，将其千位数字与个位数字调换位置，得到一个新数N，记，Q（M）+5a+b-4被11整除，被13除余2，则满足条件的M的值为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
求不等式组的所有整数解.
18.(本小题8分)
学习了等腰三角形和尺规作图后，小才进行了拓展性研究，他发现若一个三角形其中一个角的角平分线与这个角对边的中线重合，则这个三角形一定是等腰三角形，以下是他的探究过程，请完成其中的作图和推理填空：
如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，且AD是边BC的中线.
（1）尺规作图：过点B在BC下方作∠CBE=∠C交AD的延长线于点E（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：AB=AC.
证明：∵AD是边BC的中线
∴①______
在△ACD和△EBD中，
∴△ACD≌△EBD（ASA）
∴∠CAD=∠BED，AC=BE
∵AD是∠BAC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD
∴③______
∴AB=BE
∴AB=AC.
19.(本小题10分)
学校开展了“创造节”知识竞答活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞答成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A.90≤x≤100；B.80≤x＜90；C.70≤x＜80；D.60≤x＜70），下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞答成绩在B组中的数据是：83，83，83，83，85，86，87，88.
八年级20名学生竞答成绩是：65，70，75，78，81，84，84，84，84，84，86，86，87，88，89，90，93，95，97，100.
七、八年级所抽取学生竞答成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
七年级 85 a 83
八年级 85 85 b
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a=______，b=______；m=______；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生“创造节”知识竞答的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有学生720人，八年级有学生800人，请估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于90分的学生人数共是多少？
20.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中a=（π-2026）0+|-2|.
21.(本小题10分)
2026年春节，随着《飞驰人生3》电影爆火，某玩具公司生产了“拓升”与“咔搭”两款遥控玩具车，已知每个“拓升”遥控玩具车的售价比每个“咔搭”遥控玩具车的售价多40元.按售价购买3个“拓升”遥控车与4个“咔搭”遥控车共需要470元.
（1）每个“拓升”遥控车和“咔搭”遥控车的售价分别是多少元？
（2）由于这两款遥控玩具车深受大家喜爱，所以玩具公司决定对这两款遥控玩具车进行降价促销，若降价后，每个“拓升”遥控玩具车的售价是每个“咔搭”遥控玩具车售价的1.5倍，且用900元购买“拓升”遥控玩具车的数量比用800元购买“咔搭”遥控车的数量少5个，求降价后每个“拓升”遥控车的售价为多少元？
22.(本小题10分)
如图1，在，AB=3，BC=4，点O是对角线AC的中点，过点O作OE⊥AD交AD于点E，若点P以每秒个单位长度的速度沿折线A→O→E方向运动，运动时间为x（0＜x＜8）秒，点Q以每秒个单位长度的速度沿D→C方向运动，连接BP、OQ、OD，△PBC的面积为y1，△ODQ的面积为S1，△ODC的面积为S2，.
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出y1≥y2时x的取值范围.（保留一位小数，误差不超过0.2）
23.(本小题10分)
春风有信，花开有期，某公园设置了如图所示A、B、C、D四个观景点，这四个观景点在同一平面内，点D在点A的正东方向，点C在点D的南偏东45°方向，且在点A的南偏东60°方向，点B在点C的正西方向，且在点A的南偏西30°方向，千米.（参考数据：，，
（1）求AB的长度（结果保留根号）；
（2）若小张和小李分别从观景点A、B出发，小张以2千米/小时的速度从观景点A步行到观景点B，小李从观景点B以4千米/小时的速度从观景点B跑步到观景点C，在运动过程中，小张出发多少千米后恰好与小李相距千米？（结果保留一位小数）
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，连接AC、BC.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如图1，若点P为线段BC下方抛物线上一动点，过点P作PD∥y轴交BC于点D，过点P作PE⊥AC交直线AC于点E，M、N为y轴上的动点（点M在点N的下方）且MN=1，连接PM、BN.当最大时，此时点P的坐标及|PM-BN|的最大值；
（3）在（2）的条件下，将该抛物线沿射线AC方向平移个单位长度得到新抛物线y′，点F在新抛物线y′上，连接PF.若∠FPD+∠ABC=∠ACB，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出求解点F的坐标的其中一种情况的过程.
25.(本小题10分)
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是平面内一点，连接BD，点E为线段BD上一点.
（1）如图1，若点D在AC边上，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转90°至AF，连接BF，CE，若C、E、F三点共线，∠BCF=2∠ABF，求∠BAF；
（2）如图2，若点D在AC边上，连接AE、CE，点F为CE的中点，若∠BAE=∠CBE.证明：；
（3）如图3，点D在△ABC外部，连接AD，CD，将△ACD沿AD所在直线翻折到△ADH，且始终满足B、D、H三点共线，点M为直线AB上一动点，连接CM，将CM绕点M逆时针旋转30°至MN，连接DN，.当DN取最小值时，请直接写出△AND的面积.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】3.614×109
12.【答案】7
13.【答案】
14.【答案】1000
15.【答案】4

16.【答案】5948
4769

17.【答案】-3，-2，-1，0．
18.【答案】如图，
①BD=CD；②∠ADC=∠EDB；③∠BAD=∠BED
19.【答案】84;84;30 我认为八年级学生“创造节”知识竞答的成绩较好，理由如下：
因为该校七、八年级学生”创造节”知识竞答成绩的平均数相同，但八年级竞答成绩的中位数大于七年级竞答成绩的中位数，且八年级竞答成绩的众数大于七年级竞答成绩的众数，
所以该校八年级学生”创造节”知识竞答成绩较好 估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于90分的学生人数共416人
20.【答案】，1．
21.【答案】每个“拓升”遥控车的售价是90元，每个“咔搭”遥控车的售价是50元 降价后每个“拓升”遥控车售价为60元
22.【答案】， ；性质：当0＜x≤5时，y1随x的增大而减小；当5＜x＜8时，y1随x的增大而增大（答案不唯一） 1.6≤x＜8
23.【答案】AB的长度为千米 小张出发2.0千米后恰好与小李相距千米
24.【答案】y=x2-2x-3 P（1，-4）， F（-1，2）或
25.【答案】30° 如图，延长AF至点G，使得AF=FG，连接CG，过点A作AH⊥AE，交BD的延长线于点H，
由（1）可得△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=45°，
∵∠BAE=∠CBE，
∴∠BAE+∠ABE=45°，
∵∠AEH是△ABE的外角，
∴∠AEH=∠BAE+∠ABE=45°，
∵AH⊥AE，
∴△AEH是等腰直角三角形，
∴AE=AH，∠EAH=90°，
在直角△AEH中，，
∵点F为CE的中点，
∴EF=CF，
在△AEF和△GCF中，
，
∴△AEF≌△GCF（SAS），
∴AE=CG，∠EAF=∠CGF，
∴AE∥CG，
∴∠CAE+∠ACG=180°，
∵∠CAE+∠BAH=∠BAC+∠EAH=180°，
∴∠BAH=∠ACG，
∵AE=AH，
∴AH=CG，
在△ABH和△CAG中，
，
∴△ABH≌△CAG（SAS），
∴BH=AG，
∵AG=2AF，，
∴
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