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河南信阳市平桥区2025-2026学年下学期八年级数学第一次质量调研试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果a是任意实数, 下列各式中一定有意义的是( )
A. B. C. D.
2.下列根式中，是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
3.下列各式中计算正确的是（）
A. B. C. D.
4.学了“勾股定理”后, 甲、乙两位同学的观点如下:
甲:如果ABC是直角三角形,那么+=一定成立;
乙:在ABC中,如果+,那么ABC不是直角三角形.
对于两人的观点,下列说法正确的是( )
A. 甲对,乙错 B. 甲错,乙对 C. 两人都错 D. 两人都对
5.下列各式从左到右的变形正确的有（）①；②；③；④
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A. B. C. D. 0
7.若，则的值等于（ ）
A. B. 0 C. 2 D. 3
8.已知△ABC的三边长分别是a，b，c，满足下列条件的三角形，不是直角三角形的是（ ）
A. B. a:b:c＝3:4:5
C. ∠C＝∠A-∠B D. ∠A:∠B:∠C＝12:13:15
9.一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（）
A. 六边形 B. 八边形 C. 十边形 D. 十二边形
10.如图，在底面周长约为3米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约8米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（ ）
A. 6米 B. 8米 C. 9米 D. 10米
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.比较下列两个数的大小： .（用“＞”或“＜”号填空）
12.已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 .
13.如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是 ．
14.第14届数学教育大会（）会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，若，，则直角的面积为 ．
15.将矩形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，，折叠后，点C落在边上的处，并且点B落在边上的处，则的长为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共20分。
16.计算：
(1)
(2)
17.计算：
(1)
(2)
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题10分)
人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中就应用了黄金分割数．若设，，求下面的值：
(1) ， ；
(2) 求的值．
19.(本小题10分)
2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．为庆祝这一喜讯，郑州市新湖社区举办了名为“郑好遇见，大美非遗”的创意文化市集，诸多非遗有关文化项目集中亮相．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：
①测得水平距离的长为24米；
②根据图图手中剩余线的长度计算出牵引线的长为30米；
③图图牵线放风筝的手到地面的距离为1.7米．
请你帮助解决涵涵提出的问题．
(1) 放风筝小队在野外放风筝，为了安全，风筝高度不得高于20米，根据测量的数据判断此时风筝的高度是否安全？
(2) 为了让风筝表演更具趣味性，风筝高度需要再降低8米，且的长度不变，则图图应收回多少米的牵引线？
20.(本小题13分)
如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫作正多边形，如图，就是一组正边形，观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题．

(1) 将下面的表格补充完整：
正多边形的边数
的度数
(2) 根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由；
(3) 根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．
21.(本小题13分)
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
(1) 在图1中以格点为顶点画一个斜边为的直角三角形；
(2) 在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为，，；
(3) 判断（2）中所画三角形的形状，并说明理由．
22.(本小题14分)
阅读材料：
在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方的形式．如：
；
．
(1) 【类比归纳】
填空：
（ （ ；
（ ．
(2) 请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方的形式：
(3) 【拓展提升】
如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，剩余部分的面积为 ．
23.(本小题10分)
课本再现：在等腰中，．
(1) 如图1，若也是等腰直角三角形，且，的顶点A在的斜边上，连接．
①的度数为________；
②猜想线段之间的数量关系，并加以证明；
(2) 如图2，E为上一点，，，则的长为 ．
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】＜
12.【答案】7
13.【答案】6
14.【答案】9
15.【答案】3
16.【答案】【小题1】
解：原式
【小题2】
解：原式
．

17.【答案】【小题1】
解：
【小题2】
解：

18.【答案】【小题1】


【小题2】
解：由（1）可知：，
∴．

19.【答案】【小题1】
解：，，，
由勾股定理得：米，
所以，
所以此时风筝的高度是安全的；
【小题2】
解：风筝高度需要再降低8米，此时米，
根据勾股定理得，米，
所以此时风筝线的长为26米，
米．
答：图图应收回4米的牵引线．

20.【答案】【小题1】




【小题2】
存在正十二边形，使其中的．
理由是：由（1）得
∴，
解得，
即当多边形是正十二边形时，能使其中的；
【小题3】
不存在，理由如下：
假设存在正边形使得，
得，
解得，
又是正整数，
所以不存在正边形使得．

21.【答案】【小题1】
解：如图1，即为所求；
【小题2】
解：如图2，即为所求；
【小题3】
解：所画三角形为直角三角形．理由：
，，，
，
，
∴所画三角形为直角三角形．

22.【答案】【小题1】



【小题2】
解：
【小题3】


23.【答案】【小题1】
证明：①∵、是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；

②，证明如下：
∵、是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵在中，，
在中，，即，
∴；
【小题2】

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