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2024 级强基部高二下数学第一次月考试卷
一、单选题
1．已知随机变量 的分布列为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一个地区分为 5个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一
颜色，现有 4种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是（ ）
A．20 B．24 C．48
D．72
4．某地的中学生中有 的同学爱好滑冰， 的同学爱好滑雪， 的同学爱好滑冰或
爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰
的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
5．已知函数 在 处取得极大值，则 （ ）
A．3或 1 B．3 C．2 D．1
6．已知 6件产品中有 2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取 3件进行检测，记取到的
正品数为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
8．现随机安排甲、乙等 4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加
一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件 “甲参加跳高比赛”，事件 “乙参加跳高
比赛”，事件 “乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件 A与 B相互独立 B．事件 A与 C为互斥事件
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C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量 ，若 ， ，则
B． 的展开式中， 的系数为 20
C．已知 ，则
D．从一批含有 10件正品、4件次品的产品中任取 3件，则取得 1件次品的概率为
10．若 （ ≠0），则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知 （ 且 ），若 ，且 （e为自然对数的底数），则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．某实验中学第一党支部拟选 5名党员到 A、B、C三个社区做志愿服务，要求每个社区
至少有一名党员，则不同的安排方法共有______种.
13．已知对于 ，都有 ，则 的最大值为___________．
14．有 5个相同的球，分别标有数字 1，2，3，4，5，从中有放回地随机取 3次，每次取 1
个球.记 X为这 5个球中至少被取出 1次的球的个数，则 X的数学期望 _________.
四、解答题
15．如图是某市 2016年至 2022年农村居民人均可支配收入 （单位：万元）的折线图.
(1)根据图表的折线图数据，计算 与 的相关系数
，并判断 与 是否具有较高的线性相关程度（若
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，则线性相关程度一般，若 ，则线性相关程度较高， 精确到 0.01）；
(2)是否可以用线性回归模型拟合 与 的关系，若可以用线性回归模型拟合 与 的关系，
求出 关于 的回归方程（系数精确到 0.01），并预测到哪年该市农村居民人均可支配收入超
过 2万元，若不可以用线性回归模型拟合 与 的关系，请说明理由.
（参考数据： 参考公式：相关系数
在回归方程 中，斜率和截距最小
二乘估计公式分别为： ）
16．已知函数 ．
(1)若在 处取得极值，求 a的值；
(2)若 在区间 上单调递减，求 a的取值范围．
17．已知 的展开式中仅第 5项的二项式系数最大，且第 4项 第 5项 第 6项
的系数成等差数列.
(1)求 和 的值；
(2)若 ，求 的展开式中系数最大的项；
(3)若 ，且 ，求 被 5除的余数.
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18．近期，我国国产 AI大模型深度求索（DeepSeek）在人工智能领域取得了重大技术突破，
并且通过开源策略和高性价比的模式，为 AI行业的发展提供了新的可能性．为了评估
DeepSeek的使用频率与用户满意度之间是否存在关联，一研究团队在某大学随机抽取了 200
名用户进行调查，收集整理得到了如表的数据：
高满意度 低满意度
频繁使用 DeepSeek 70 30
不频繁使用 DeepSeek 50 50
(1)依据小概率值 的 独立性检验，能否认为 DeepSeek的使用频率与用户满意度
之间有关联；
(2)若已知样本中学生人数为 120人，其中高满意度用户数为 80人，教师人数为 80人，其
中高满意度用户数为 40人．以样本频率估计总体的概率．
①若从全校使用 DeepSeek的用户中每次抽取 1名用户，直到抽出 2名高满意度用户即停止
抽取．求恰好第 4次抽取后停止抽取的概率．
②若从全校使用 DeepSeek的学生用户和教师用户中各随机抽取 2名，设这 4人中学生和教
师的高满意度用户数分别为 和 ，令 ，求 的分布列．
参考公式： ，其中 ， ．
19．大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅.已知某大学有 ， ， 三
个餐厅，小丁同学每天都在学校餐厅就餐，已知小丁第 1天等可能性的随机在某个餐厅就餐，
若他在 餐厅就餐，则下一天在 ， ， 三个餐厅就餐的概率分别为 ， ， ；若他
在 餐厅就餐，则下一天在 ， ， 三个餐厅就餐的概率分别为 ， ， ；若他在 餐
厅就餐，则他下一天到 ， ， 三个餐厅就餐的概率分别为 ， ， .
(1)求小丁同学第 2天在 餐厅就餐的概率；
(2)求小丁同学第 天在 餐厅就餐的概率；
(3)若小丁同学前 天到 餐厅就餐的天数为 ，求数学期望 .
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（若小丁第 天到 餐厅就餐的天数为 ，则 ）
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《2024 级强基部高二下数学第一次月考试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C D A B D C C CD BC ACD
11．ACD【详解】由 ，可知 或 ，
又 ，因 同正，两边同除以 可得 ，令 ，则
，
所以当 时， ， 在 上单调递减，当 时， ，
在 上单调递增，当 且 ，此时 与题意不符合；当 且
时， ，故 ．令 ，则 ，当 时，
， 在 上单调递减，又 ，所以 ，所以 ，所
以 ，故 A正确；令 ，则 ，
所以当 时， ， 在 上单调递增，当 时， ，
在 上单调递减，因为 ，所以当 时，
，
即 ，即 ，故 B错误；令
，则 ，记 ，则 ，
所以 ，则 ，所以 在 上单调递增，所以 ，即
，即 ，所以 ，即 ，故 C正确；
令 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，即 在 上单调递增，
所以 ， ， 在 上单调递增，所以 ，
即 ，故 D正确．故选：ACD．
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12． 13． 14． /
15．(1) ， 与 的线性相关程度较高(2)可以用线性回归模型拟合 与 的关系，
，到 2026年该市农村居民人均可支配收入超过 2万元
（1）由折线图中的数据和附注中的参考数据，可得 ，
，
，所以 .
因为 近似为 0.96，所以 与 的线性相关程度较高.
（2）由（1）知， 与 的相关系数近似为 0.96，说明 与 的线性相关程度较高，
从而可以用线性回归模型拟合 与 的关系.由 及（1）得
， ，所以 关于 的回归方程
为 .因为 ，所以 所以到 2026年该市农村居民人均
可支配收入超过 2万元
16．(1) (2)
【详解】（1）解： 因为 在 处取得极值，所以 ，
解得 检验：将 代回 得 ，
令 得 或 ，所以， 在 和 单调递
增，在区间 单调递减所以 在 处取得极小值 ，满足题意.所以
（2）解： 在区间 上单调递减，故在 上 恒成立
即 在 上恒成立，令
故 ，解得 所以 a的取值范围为 .
17．(1) , 或 .(2) , .(3)1
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【详解】（1）由二项式系数性质,仅第 5项最大,则 为偶数且 ,解得 .
第 4、5、6项系数 、 、 ,成等差数列得 .代入 ,
, , 整理得 ,解得 或 .
故 , 或 ；
（2）由 (1) 知 , 或 .因为 ,所以 .展开式通项为
,系数为 , .设第 项系数最大,则满足
由 得 ,即 .由组合数计算公式得 .,
故 ,解得 .由 得 ,即 .故 ,解得
.综上 ,即 或 .故系数最大的项为第 3项和第 4项:
, ；
（3）由 (1) 知 , 或 .因为 ,所以 .又 ,则
故 被 5除余数为 .
18．(1)认为 DeepSeek的使用频率与用户满意度之间有关联(2)① ；②答案见解析
【详解】（1）零假设为 ：DeepSeek的使用频率与用户满意度之间无关联．
根据表中数据， ，
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，即认为 DeepSeek的使用频率与用
户满意度之间有关联．
（2）（1）由题知，样本中 DeepSeek高满意度用户的频率为 ，
设事件 “恰好第 4次抽取后停止抽取”，需在前 3次抽取中恰有 1次抽取的是高满意度用
户，第 4次恰好抽取的是高满意度用户，则 ．
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即恰好第 4次抽取后停止的概率为 ．
（2）由题知，样本中学生的高满意度用户频率为 ，教师的高满意度用户频率为 ．
又 ， ， ，
， ， ，
的所有可能取值为 0，1，2，则
，
0 1 2
．
P
所以随机变量 的分布列为：
19．(1) (2) ， ；(3) ， .
【详解】（1）（1）依题意，第一天在任意餐厅就餐的概率均为 ，设第二天在 B餐厅就餐的
概率为 于是： ；
（2）设小丁第 天在 餐厅就餐的概率为 , ，第 天在 餐厅就餐的概率为 则：
当 时 ，即
，即 ，所以 是以 为公比，
为首项的等比数列；所以 ，于是
， ；
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（3）依题意： ， .
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