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辽宁省实验中学 2025-2026 学年度下学期第一次月考
高一数学科目试卷
考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分
命题人：卫东 校对人：胡丽君
一、单选题：本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合
题目要求的.
1. 下列各角中与 20 角终边相同的角是（ ）
A． 200 B．340 C． 240 D．70
2. 已知点P( 2sin , 2cos )在角 的终边上，则角 （用 表示）的一个值为（ ）
3
A． B． 3 C． D．
2 2
3. 已知 A(m,3) ， B(2m,m 4)，C(m 1,4)， D(1,0)，且向量 AB 与向量CD垂直,则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-2
4. 已知函数 f (x) 8 x2 ln( 2 sin x 1) 的定义域是（ ）
3 3 2
A．[ , ) B． ( , ) C． ( 2 2,2 2) D．[ ，2 2）
4 4 4 4 2
5. 已知向量a (m,3) ，b (6,n)，c (3,1)，d (m,n) ，且a c ，b c，则向量d 在 c 上的投影向
量为（ ）
1 10 3 1 3 3 10
A． B． C． ( , ) D． ( , )
10 10 10 10 10 10
6.圆环被同心的扇形截得的一部分叫做扇环，如图所示，扇环 ABCD的内圆弧
5 2
AB 的长为 ，外圆弧CD的长为 ，圆心角 AOB ，则该扇环的面
3 3 3
积为（ ）
4 2
A．2 B． C． D．
3 3
2π 4π 6π 2kπ
7. 设集合 A x x sin sin sin sin ,k Z,k 0 ，则集合 A的元素个数为（ ）
2026 2026 2026 2026
A．1011 B．1012 C．1013 D．1014
8. 已知函数 f x sin x m的部分图像如图所示，满足
x1 x2 x3, x1 2x3 3x2，则m 的值为（ ）
1 2 1 3
（ ） A. B. C. D.
2 2 2 2
1
二、多选题：本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是（ ）
12 3 12
A.已知sin x , x , ，则 x arcsin
13 2 13
7 41
B.cos cos sin
12 4 6
21
C.函数 f x sin 2 x 3cos x 2的最大值为
4
6 2 3
D.若 0, ,sin cos ，则sin cos
3 3
10．已知平面向量a,b,c ，下列说法正确的有（ ）
A．若a ∥b ，b ∥ c，则a ∥ c； B. (a b) c a (b c)
赞
C． | a c | | a b | | b c | D. | a b | | a b | ,则 a b 0
π
11. 已知函数 f x Asin x A 0, 0, 的部分图象如图，则（ ）
2
π
A．函数 f x 为奇函数
12
3π 11π
B． f (x)在 , 上单调递增
4 12
2π
C．若 f x1 f x2 2，则 x1 x2 的最小值为
3
5π 3π
D．若 t 0，函数 f (tx)在 0,2 上有 2 个零点，则 t ,
24 8
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 已知向量a,b满足a b 0 ， (a b) (a b) 0，则向量b 与向量a b的夹角的余弦
是
1
13. 已知函数 f (x) sin(2x )，若方程 f (x) 在 (0, ) 的解为 x1, x2 ，则sin(x x ) ____ ____. 1 2
3 3

14. 已知函数 f x cos x , 0, ，过点 ,0 2 ，直线
x
4 4
为其中一条对称轴，且在

,
12 4 上单调，则 的最大值为________
2
四、解答题：本题共 5 个小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
π 4π 1
15.（13 分）已知函数 f x sin x 0, 的最小正周期为 ，且过点 0, ．
2 3 2
(1)求 , 的值；
5π 3π
(2)求函数 f x 在 ,9 2
上的值域．

sin( )cos( ) tan( )
16. （15 分）（1）求值：已知 2，求2sin2 sin cos 3cos2 值；

sin( 2 )sin( )
2
cos4 sin4 cos4 sin4
（2）已知 , R，若 1，求证： 1
cos2
。
sin2 cos2 sin2

17. （15 分）已知函数 f (x) 2sin(2x ) ．
6
(1)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递增区间；

(2)将函数 f (x) 的图象上各点的纵坐标保持不变，向右平移 个单位长度，再把图象上所有点的横坐标
6
1
缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数 g(x) ．求方程 g(x) 1在[0, ]上的所有根之和．
2 2
3
18. （17 分）如图，在 OAB 中，点 P 为线段 AB 上的一个动点(不包含端点)，且满足 AP PB ．
1
(1)若 ，用向量OA,OB表示OP ；
3
(2)若 | OA | 2,| OB | 3，且 AOB 60 ，求OP AB 的取值范围．

19. （17 分） 已知函数 f (x) 2sin(2 x ) 1．
6

(1)若对于任意 x R都有 f (x ) f (x) f (x )，且 | x x | ，求 f (x) 的对称中心； 1 2 1 2 min
2

(2)已知0 5，函数 f (x) 图象向右平移 个单位，得到函数 g(x) 的图象，x 是 g(x) 的一个零点，
6 3
若函数 g(x) 在[m,n] (m,n R 且m n）上恰好有 10 个零点，求n m的最小值；

(3)已知函数h(x) a cos(2x ) 2a 3 (a 0)，在第（2）问条件下，若对任意 x1 [0, ]，存在
6 4

x2 [0, ]，使得h(x1) g(x )成立，求实数 a 的取值范围． 2
4
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B D D B C A C A ABD CD ABD
2 2 2
12. 13. 14. 5
2 3
2 4 3
15．（1）由题意得 f (x) 的最小正周期T ，解得 ，---------3 分
3 2
1
根据 f (0) sin ，可得 2k (k Z )，结合 | | ，求得 ；---------6 分
2 6 2 6
3 3 5 3 2 25
（2）由(1)得 f (x) sin( x ) ，所以令 t x ，结合 x [ , ]，可得 t [ , ]，--9 分
2 6 2 6 9 2 3 12
2 3 3 25 2 3 3
因为 f (x) 在[ , ]上单调递增，在[ , ]上单调递增，且sin ， sin 1 ,---11 分
3 2 2 12 3 2 2
5 3 3
所以 f (x) 在[ , ]上的值域为[ 1, ] .-----13 分
9 2 2
16．（1）7 分；（2）（略）8 分

17．（1）(1) f (x) 2sin(2x ) ，所以最小正周期T π，
6

令 2k 2x 2k ,k Z ，解得 k x k ,k Z
2 6 2 3 6
π π
故 f (x)单调递增区间为 kπ, kπ ,k Z ----------6 分
3 6

(2)将函数 f (x) 的图象上各点的纵坐标保持不变，向右平移 个单位，可得函数
6

y 2sin[2(x ) ] 2sin(2x ) 的图象；
6 6 6
1
再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数
2
1
g(x) 2sin(2 2x ) 2sin(4x ) 。方程 g(x) 1，即sin(4x ) ，在区间[0, ]上，
6 6 6 2 2
11 5
4x [ , ]，故由方程可得4x 或4x ，求得 x 或 x ，故方程在区间
6 6 6 6 6 6 6 12 4
π
[0, ]上的所有根之和为 。-----------15 分
2 3
1 1
18．（1）若 ，则 AP PB，
3 3
1
OP OA (OB OP)，
3
4 1
OP OA OB，
3 3
3 1
则OP OA OB．----------6 分
4 4
（2） AP PB，
OP OA (OB OP)，
(1 )OP OA OB，
1
OP OA OB，
1 1
| OA | 2,| OB | 3，且 AOB 60
OA OB | OA | | OB | cos60 3，
1
OP AB OA OB (OB OA)
1 1
1 2 2 1
OA OB OA OB
1 1 1 1
4 9 3 3 6 1 7
6 ．
1 1 1
7
0， 6 ( 1,6)，
1
OP AB的取值范围为 ( 1,6)．-------------15 分
π kπ π kπ 13π 8
19．(1) ,1 k Z 或 ,1 k Z ;(2) ;(3) 0,
12 2 12 2 9 3
2π
（1）∵ f (x) 2sin(2 x ) 1的最小正周期为T ，
6 2
π
又∵ f x1 f x f x2 ， x x f x π1 2 ，∴ 的最小正周期是 ， min 2
2π
故T π，解得 1，----------2 分
2
π
当 1时， f x 2sin 2x 1，
6
π π kπ π kπ
由 2x kπ k Z x k Z ， f x 的对称中心为 ,1 k Z ；
6 12 2 12 2
π
当 1时， f x 2sin 2x 1，-----------3 分
6
π π kπ π kπ
由 2x kπ k Z x k Z ， f x 的对称中心为 ,1 k Z ；
6 12 2 12 2
π kπ π kπ
综上所述， f x 的对称中心为 ,1 k Z 或 ,1 k Z .---------5 分
12 2 12 2

（2）∵函数 f x 图象向右平移 个单位，得到函数 g x 的图象，
6
π π π
∴ g(x) 2sin 2 x 1，又 x 是 g x 的一个零点，
6 3 3
π 2π π π π π 1
g( ) 2sin 1=0，即sin = ，
3 3 6 3 3 6 2
π π 7π π π 11π
∴ 2kπ或 2kπ，k Z，
3 6 6 3 6 6
解得 3 6k k Z 或 5 6k k Z ，
由0 5可得 3，---------------8 分
5π π
∴ g(x) 2sin 6x 1，最小正周期T .
6 3
5π 1
令 g x 0，则sin 6x
6 2
5π π 5π 5π k π π k π
即6x 2k π或6x 2k π，k Z，解得 x 1 或 x 2 ， k1,k2 Z1 2 ；
6 6 6 6 3 9 3
若函数 g x 在[m,n]（m,n R且m n）上恰好有 10 个零点，必有4T n m 6T ，
π π 13π
要使n m最小，须m、n恰好为 g x 的零点，故 n m 4 + = .---------10 分
min 3 9 9
5π π π
（3）由（2）知 g(x) 2sin 6x 1，对任意 x1 [0, ]，存在 x2 [0, ]，使得 h(x1) g(x2 )成立，则
6 4 4
{y | y h(x)} {y | y g(x)}，
π 5π 5π 2π 5π
当 x [0, ]时，6x , ,sin 6x 1,1 , g x2 2 1,3 ， 4 6 6 3 6
π π π π π 1 3
当 x [0, ]时，2x , ,cos 2x ,1 ,h x1 a 3, a 31 ， 4 6 6 3 6 2 2
a 0

3 8
由{y | y h(x)} {y | y g(x)}可得 a 3 1，解得a 0, ，
2 3
a 3 3
8
故实数a的取值范围为 0, .-----------17 分
3

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