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东北育才高中 2025—2026 学年度下学期 高一年级数学科第一次月考试卷
答题时间:120 分钟 满分:150 分
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题5 分, 共 40 分.在每个小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 下列说法正确的是( )
A. 第一象限角一定是锐角 B. 若 是钝角，则 是第一象限角
C. 大于 的角一定是钝角 D. 若 是锐角,则 是第二象限角
2. 已知向量 与 的夹角为 ,则 ( )
A. B. C. D.
3. 函数 的部分图象如图所示,则 的单调递减区间为( )
A. B.
C. D.
4. 已知直线 是函数 的图象的一条对称轴,为了得到函数 的图象，可把函数 的图象( )
A. 向右平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度
5. 若 ,则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知 ,点 为 所在平面内的点,且 , ，则点 为 的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
7. 已知平面向量 ,满足 ,且 ,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 当 时,曲线 与 有 3 个交点,则正实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分
9. 已知 ， ，则下列至式出确的是
A. B.
C. D.
10. 已知向量 ,其中 ,则下列命题正确的是( )
A. 在 上的投影向量为 B. 的最小值是
C. 若 ,则 D. 若 ,则
11. 设函数 的定义域为 为偶函数， 为奇函数，当 时， ，则下列结论正确的是( )
A. B. 在 上单调递增
C. 关于直线 对称 D. 方程 有 5 个实数解
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 如图所示，已知扇形 的圆心角 为 ，半径长为6， 则阴影部分的面积是_____.
13. 已知 ,若存在 ,使得 , 若 的最大值为 ，最小 ，则 _____.
14. 如图，在 中， 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点, ,则 的值是_____.
四、解答题:本题共 5 大题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(13分)在平面直角坐标系 中，角 的始边为 轴的正半轴，终边在第二象限与单位圆交于点 ,点 的横坐标为 .
(1)求 的值；
(2)若将射线 绕点 逆时针旋转 ，得到角 ，求 的值.
16. (15分)
函数 的部分图象如图所示.
(1)求 的解析式；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 恒成立, 求 的取值范围.
17. (15 分) 在平面直角坐标系中,已知 , .
(1)若 为 轴上的一动点，点 .
(i)当 三点共线时,求点 的坐标;
(ii)求 的最小值;
(2)若 ， ，且 与 的夹角 ，求 的取值范围.
18. (17 分)
“算两次”原理(又称富比尼原理)是一种重要的数学思想, 其核心是通过对同一量采用两种不同的计算方式,利用结果的等价性构建等式来解决问题. 例如: 如图甲,在 中, 为 的中点,则 ,两式相加得
,因为 为 的中点,所以 ,
于是 . 请用 “算两次” 的方法解决下列问题.
图甲
图乙
图丙
(1)如图乙，在四边形 中， ， 分别为 ， 的中点，
证明: .
(2)如图丙，在四边形 中， ， 分别在边 ， 上，且 ，
与 的夹角为 ,求 .
(3)若在四边形 中， ， 分别在边 ， 上，且 ， ， 与 的夹角为 ,求 .
19.(17分)
已知函数
(1)若 ，求 的值域；
(2)若 ,都有 恒成立,求 的取值范围.
东北育才高中 2025—2026 学年度下学期 高一年级数学科第一次月考试卷 解析版
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题5 分, 共 40 分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 下列说法正确的是( )
A. 第一象限角一定是锐角 B. 若 是钝角，则 是第一象限角
C. 大于 的角一定是钝角 D. 若 是锐角,则 是第二象限角
【答案】B
对于选项 A: 例如 为第一象限角,但不是锐角,故 A 错误;
对于选项 B: 若 是钝角,则 ,可得 ,所以 是第一象限角,故 B 正确; 对于选项 C:例如 ，但 不是钝角，故 C 错误；
对于选项 D: 例如 为锐角,则 不是第二象限角,故 D 错误;
故选: B.
2. 已知向量 与 的夹角为 ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
由题 ,
,
,所以 .
故选: C.
3. 函数 的部分图象如图所示,则 的单调递减区间为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
由图可知 的周期 ;
故 图象的最高点和最低点的横坐标分别为 ,
故 的单调递减区间为 .
故选: D
4. 已知直线 是函数 的图象的一条对称轴,为了得到函数 的图象,可把函数 的图象 ( )
A. 向右平移 个单位长度 B. 向左平移 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度 D. 向左平移 个单位长度
【答案】A
依题意,直线 是函数 的图象的一条对称轴,
则 ,即 ,
解得 ,因为 ,所以 ,所以函数 .
将 的图象,
向右平移 个单位长度得 .
故选: A.
5. 若 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
因为 所以 ,
因为 ,所以 ,
则 .
故选: C
6. 已知 ,点 为 所在平面内的点,且 , ，则点 为 的( )
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
【答案】A
因为 ,所以 ,即
又因为 ,
所以 ,即
所以 即
所以 ,
所以 ,同理 ,所以 为 的外心. 故选 .
7. 已知平面向量 ,满足 ,且 ,则 的最小值为 ( )
A. B. c. D.
【答案】B
因为 ,所以 ,
因为 ,所以
不妨设 ,
则 ,
因为 ,所以 ,化简为: ,
所以 对应的点 是以 为圆心,半径为 的圆,
所以 的最小值为 ,
故选: B.
8. 当 时,曲线 与 有 3 个交点,则正实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
令 ,则 或 ,
所以 或 ,
即 或 ,
即 或 ,
又 ,对于 ,令 ,可得: ,
对于 ,分别令 ,可得: ,
从小到大排序前 4 个数为 ,
由于两曲线有 3 个交点,所以 ,解得 .
故选: B
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分
9. 已知 ，则下列等式正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】ABD
对于 ,由 ,则 ,化简得 ,故 正确; 对于 ,由 ,则 ,即 , ,故 B 正确;
对于 ,由 ,解得 ,所以 ,故 错误;
对于 ,故 正确.
故选: ABD.
10. 已知向量 ，其中 ，则下列命题正确的是( )
A. 在 上的投影向量为 B. 的最小值是
C. 若 ,则 D. 若 ,则
【答案】
【解答】解: 在 上投影向量为 ,
又 ，
所以 对;
,
当 时 取最小值 对;
，则 ，无法判断 符号， 错；
,则 ,则 对.
故选 .
11. 设函数 的定义域为 为偶函数, 为奇函数,当 时, , 则下列结论正确的是( )
A. B. 在 上单调递增
C. 关于直线 对称 D. 方程 有 5 个实数解
【答案】AC
由 为偶函数,可得 ,即 关于 成直线对称,
令 ,可得 ,故 A 正确;
又由 为奇函数,可得 ,即 关于点 成中心对称, ,
由于 与 关于点 成中心对称,
因为 在 上单调递减,所以 在 上单调递减,故 B 错误;
又由 ,代入上式可得 ,
再可得 ,所以有 ,故 的周期为 ,
因为 关于 成直线对称,根据周期性可知: 关于直线 对称,故 正确; 作出函数 的图象;
由于 ,则 ,所以函数 与 的交点个数如图可得有 6 个, 即方程 有 6 个实数解,故 D 错误;
故选: AC
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 如图所示，已知扇形 的圆心角 为 ，半径长为6，则阴影部分的面积是_____.
【答案】
【解答】解: 由图象知,记阴影部分面积为 ,扇形面积为 ,则 ,
由题意得 ，
所以 ，所以阴影部分的面积为 .
故答案为: .
13. 已知 ,若存在 ,使得 ,若 的最大值为 ,最小值为 ,则 _____.
【答案】
解: 作出 图象:
当 图象与 图象相交时,前三个交点横坐标依次为 ,此时 有最小值 ;
当 图象与 图象相交时,交点横坐标依次为 , 此时 有最大值 ,
.
故答案为: .
14. 如图，在 中， 是 的中点， ， 是 上的两个三等分点， ， ，则 的值是_____.
【答案】
【解答】解: 是 的中点, 是 上的两个三等分点,
,
,
,又 ,
,从齐秦乃
四、解答题:本题共 5 大题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (13 分) 在平面直角坐标系 中,角 的始边为 轴的正半轴,终边在第二象限与单位圆交于点 , 点 的横坐标为 .
(1)求 的值；
(2)若将射线 绕点 逆时针旋转 ，得到角 ，求 的值.
【答案】解: (1) 在单位圆上,且点 在第二象限, 的横坐标为 ,可求得纵坐标为 ,
所以 , 3 分
，则 ； 6 分
(2)由题知 ，则 ， 8 分
10 分
则 ,
故 . 13 分
16. (15 分)
函数 的部分图象如图所示.
(1)求 的解析式；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】解: (1) 由图可得 , 2 分
因为函数 过点 ,所以 ,则 , 解得 ,又 ,则 ,
所以 ; 4 分
(2)若 ，即 ，
而 ； .8 分
(3)因为 ,所以 ,则 ,
令 , 10 分
设 ,则 恒成立,
由二次函数的图象性质可知,只需 , 13 分
解得 ，故 的取值范围为 . 15 分
17. (15 分) 在平面直角坐标系中,已知 .
(1)若 ， 为 轴上的一动点，点 .
(i)当 三点共线时,求点 的坐标;
(ii) 求 的最小值;
(2)若 ,且 与 的夹角 ,求 的取值范围.
【答案】解: (1)(i) 设 ,所以 ,
因为 与 共线,所以 ,解得 ,
所以 三点共线时,点 的坐标为 ; 4 分
(ii)因为 关于 轴的对称点为 ,所以 ,
所以当 三点共线时, 取得最小值,
最小值即 ，所以 取得最小值5； 9 分
(2) ,所以 ,
因为 与 的夹角 ，所以 恒成立，
所以 ,
又因为 ,
可得 11 分
即 恒成立,又因为 ,
可得 恒成立,
令 ,
所以 ,因为 ,当且仅当 取等号, 所以 时, 有最小值 5, 14 分
所以 的取值范围是: . 15 分
18.(17分)
“算两次” 原理(又称富比尼原理)是一种重要的数学思想, 其核心是通过对同一量采用两种不同的计算方式,利用结果的等价性构建等式来解决问题. 例如: 如图甲,在 中, 为 的中点,则 , ,两式相加得 ,因为 为 的中点,所以 ,于是 . 请用 “算两次” 的方法解决下列问题.
图甲
图乙
图丙
(1)如图乙，在四边形 中， ， 分别为 ， 的中点，证明: .
(2)如图丙，在四边形 中， ， 分别在边 ， 上，且 ， ， ， 3, 与 的夹角为 ,求 .
(3)若在四边形 中， ， 分别在边 ， 上，且 ， ， ， ， 与 的夹角为 ，求 .
【答案】解: (1)证明: 在四边形 中, ,①
在四边形CDEF中, ,②
由 ①+②,得 ,
因为 分别为 的中点,所以 ,
于是 ; 4 分
(2)在四边形 中， ，③
在四边形 中, ,
由 ,得 ,
由 ，得 ， 7 分
所以
10 分
(3)在四边形 中， ，(
在四边形CDEF中， ，⑥
由 ,得 ,
由 ，得 ， 14 分
故
17 分
19.(17分)
已知函数
(1)若 ，求 的值域；
(2)若 ,都有 恒成立,求 的取值范围.
(1)当 时, ,
令 ,
则 4 分由 ,则 ,故 ,又 ,故 ,
即 的值域为 ; 6 分
(2) ，则 ，
当 时, ,
则 ,
由 ，即 ，化简得
令 ,
由a ,故 ,故g(t)在 上单调递增,
故 ,解得 ; 11 分
当 时, ,
故 ,
则有 ，即 ，
由 ，故有 ，
解得 , 16 分
综上所述， . 17 分

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