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山东省实验中学 2025~2026 学年第二学期 高一第一次阶段性学情检测数学试题 2026.04
说明:本试卷满分 150 分，分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分， 第 1 卷为第 1 页至第 2 页，第 II 卷为第 3 页至第 4 页。试题答案请用 2B 铅笔或 0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。考试时间 120 分钟。
第 1 卷(共 58 分)
一、选择题(本题包括 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题意) 1. 若复数 ，则复数 的虚部为( )
A. -2i B. 2i C. -2 D. 2
2. 在平行四边形 中, 是对角线 的中点,则
A. B.
C. D.
3. 若 ，角 的对边分别为 . 若 ，则 ()
A. B. C. D.
4. 已知向量 ，若 ，则 ( )
A. 2 B. C. 3 D.
5. 圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度, 在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物 ，高为 ,在它们之间的地面上的点 三点共线) 处测得楼顶 ,教堂顶 的仰角分别是 和 ，在楼顶 处测得塔顶 的仰角为 ，则小明估算索菲亚教堂的高度为( )
A. B. 20m C. D.
6. 在 中, 为边 上一点,且 平分 , 则 ( )
A. B. C. D.
7. 在梯形 中， ， ， ，点 是线段 (含端点)上的动点，设 ，若 ，则 ()
A. 0 B. C. D. 1
8. 在 中， 分别为角 所对的边，已知 ， ，则 的取值范围是( )
A. (2.4] B. C. D.
二、多选题(本题包括 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。)
9. 已知复数 ，则()
A. B.
C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限
10. 已知 的内角 所对的边分别为 ，则下列说法正确的是( )
A. 若 ，则
B. 若 ,则三角形有两解
C. 若 面积为 ， ，则 .
D. 若 ，则 一定为等腰直角三角形
11. 重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜籼女，深受各阶层人民喜爱、折扇平面图为下图的扇形 COD，其中 ,动点 在 上(含端点),连接 交扇形 的弧 于点 ，且 ，则下列说法正确的( )。
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C.
D.
第 II 卷 (非选择题, 共 92 分)
三、填空题(本题包括 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 若复数 满足 ，则 的最大值为_____.
13. 如图，在平面四边形 中， ， ，则 的面积是_____.
14. 在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则该三角形内切圆面积的最大值为_____.
四、解答题(本题包括 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
15. 已知 是虚数单位，复数 .
(1)若复数 满足 ，求 ；
(2)若关于 的实系数一元二次方程 有一个根是 ，求 的值.
16. 在 中, .
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长.
17. 在 中, 为直角, 与 相交于点 ,连接 ,记 .
(1)试用 ， 表示向量 ；
(2)在线段 上取一点 ，在线段 上取一点 ，使得直线 过 ，设 ， ( 均为非零实数)，求 的值.
18. 某市公园绿道专为骑行而建, 以绿道为线, 串联上百个生态公园, 一路上树木成荫、 鸟语花香.因为在 处有一古塔,其高度为 ,市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长 200 米的直线绿道 一侧规划一个三角形区域(古塔的底座忽略不计) 做绿化，如图， 已知 ，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形.
(1)若在 、 处分别测得塔顶 的仰角为 、 ，求塔高 ；
(2)求绿化区域 面积的取值范围；
(3)绿化完成后，某游客在绿道 的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从 到 ， 再从 到 . 已知 ，求游客所走路程的最大值.
19. 布洛卡点是三角形内部的特殊点, 由法国数学家亨利·布洛卡于 19 世纪提出, 其定义如下: 设 是 内一点,若 ,则称点 为 的布洛
卡点,角 为 的布洛卡角. 如图,在 中,记它的三个内角分别为 ,其对边分别为 的面积为 ，点 为 的布洛卡点，其布洛卡角为 ，请完成以下问题:
(1)若 ，求 的大小及 的值； (2)已知 的条件下，解下列两个问题:
① 若 ，求 的值；
② 若 ，求 .
山东省实验中学 2025 ~2026 学年第二学期高一 第一次阶段性学情检测数学试题答案 2026.04
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B D C A B A AC AC
题号 11
答案 BD
12. 13. 15 14.
15.
(1)解:由复数 ，可得 ，因为 ，可得 ， 所以 .
(2)解:因为 为实系数方程 的一根，
所以 ,整理得 ,
所以 且 ,解得 .
所以 .
16.
( 1 )解:因为 ，则 ，由已知可得 ， 可得 ，因此， .
(2)解:由三角形的面积公式可得 ，解得 .
由余弦定理可得 ,
所以， 的周长为 .
17. 2. (1) (2) 7
(1)设 三点共线,
存在非零实数 使得 ,
, ,解得 ①,
又 三点共线, 存在非零实数 使得 .
.
又 ,解得 ②.
由①②解得 ，
;
(2)由(1)知 ，
三点共线,
存在非零实数 使得 ,
,所以
消去 得 .
18. (1) 100米. (2) (3) 400 米
(1)设 米,
依题意可知 ， ，
又在 、 处分别测得塔顶 的仰角为 、 即 ， ，
可知 在 中， ,
据余弦定理得 ，
即 ,解得: 或 (舍去)
塔高CE 为 100米. 经检验发现三角形 为直角三角形,不符合条件舍去
(2)设 ，则 ，
则在 中,据正弦定理得 ,故 ,
又依题可知, 为锐角三角形,则 即 ,
故 ,则 ,
又 ，则 .
(3)在 中，据余弦定理得 ，
,
当且仅当 时取等号，故所走路程 的最大值为 400 米.
19.(1) (2)①12；②
(1) 在 中, ,
所以 ，而 为锐角，故 ，所以 ，
所以 ，而 ，故 .
又 ,故 ,
在 中,由正弦定理有 ,所以 ,
在 中,由正弦定理有 ,所以 ,
所以 ,故 .
(2)
因为 ,所以 ,即 ,
① ，所以
在 中, ,
在 中, ,
在 中, ,
三式相加得
,
整理得: .
② 又
又由①知 ,
所以 ,
故 ,
整理得: ,
即 ,
所以 ,即 ,
所以 .

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