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湛江市 2026 年普通高考测试(二) 数 学 试 卷
满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目 要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
2. 已知复数 满足 ,则 在复平面内对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知 ,则
A. B. C. D.
4. 已知等比数列 的各项均为正数,且 ,则
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
5. 在数学兴趣小组的活动中，甲、乙、丙三位同学计划从三个专题中各自随机选择一个专题进行深入研究. 事件 : 甲、乙选择的专题不同; 事件 : 乙、丙选择的专题相同,则
A. B. C. D.
6. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,点 在 上满足 ,且 ,则 的离心率为
A. B. C. D.
7. 已知长方体 中, 是 的中点,点 在线段 上运动 (含端点),则点 到平面 的距离的最大值为
A. B. C. D.
8. 已知定义在 上的可导函数 满足: 是偶函数; , 则
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 2026 年是“十四五”环境治理规划的关键验收年. 某市生态环境局为评估 AI 辅助预测模型的准确性，记录了某月连续 7 天的PM2.5预测误差(预测误差=实际浓度-预测浓度,单位: ). 如下表:
日期 1 2 3 4 5 6 7
预测误差 -4 -2 1 0 -1 3 3
下列关于这 7 天预测误差 的描述中,正确的有
A. 这组数据的众数是 3
B. 这组数据的 60% 分位数是 0.5
C. 这组数据的方差大于 5
D. 若第 8 天该模型预测误差为 -2 , 则加入第 8 天数据后,新数据组的平均数将变小
10. 已知函数 的部分图象如图所示,则
A.
B. 函数 的最大值为
C. 函数 的图象关于点 对称
D. 方程 在区间 上恰有 4 个实数根
11. 若函数 图象上存在不同的两点 和 ,使得 的图象在点 处的切线交于直线 ( 为常数) 上同一点,则称 为函数 的一对“关于直线 的共轴切点”. 已知函数 ,则下列说法正确的是
A. 存在实数 ，使得 不存在关于 轴的共轴切点
B. 若 存在关于直线 的共轴切点,则两切点的横坐标之积为定值
C. 若 ,则存在实数 ,使得 存在关于直线 的共轴切点,且对应的两切线斜率之和大于 0
D. 若 ,则对于任意 都存在关于直线 的共轴切点
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知正数 满足 ,则 的最大值为_____.
13. 已知抛物线 ,点 ,点 在 上运动,则 面积的最小值为_____.
14. 若数列 满足 ,则称数列 为 “ 和谐数列”. 已知数列 是 “ 6-0 和谐数列”,且 ,则满足条件的数列 的个数为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 在 中,内角 所对的边分别为 ,且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 的周长.
16. (15分)如图，在几何体 中，四边形 是菱形， ，且 ，三角形 是正三角形,平面 平面 . 点 在平面 上的投影为 与 的交点 ,且 .
(1)证明: 平面 ;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离.
17. (15 分) 已知双曲线 的离心率为 ，且经过点 .
(1)求 的标准方程；
(2)若过点 的直线 与 交于 两点,求线段 的中点 的轨迹方程.
18. (17分)已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)证明:当 时，对任意 ，都有 ；
(3)若方程 没有实根，求整数 的最小值.
19. (17分)某校举办“数学文化节”，设有 个不同主题的展区(n≥2)，每个展区有唯一的主题编号,分别为 . 游客从任一展区开始参观打卡，打卡机每次会从尚未参观过的展区中，等可能地随机选择一个作为下一个参观的展区. 规定:若连续参观的两个展区主题编号之和为奇数，则参观者获得一枚纪念章，否则不获得纪念章，记参观者参观完所有展区获得的纪念章枚数为 .
(1)当 时,求参观者仅获得 1 枚纪念章的概率;
(2)当 时,求参观者获得纪念章枚数 的分布列和数学期望；
(3)设 为 个展区时参观者获得纪念章枚数 的期望值，求 关于 的表达式，并证明 是递增数列.
湛江市 2026 年普通高考测试(二) 数学参考答案
1.【答案】A
由题得 ,或 ,所以 . 故选 A.
2.【答案】D
,所以 ,则 ,所以 ,对应点为 ,在第四象限. 故选 D.
3.【答案】C
由 ,得 ,则 . 故选 C.
4.【答案】A
由等比数列的性质,得 . 由于各项均为正数,所以 . 故选 A.
5.【答案】A
事件 : 甲、乙选择的专题不同,甲有 3 种选法,乙有 2 种选法,丙方 3 种选法,所以 . 事件 :甲、乙不同且乙、丙相同. 先选乙的专题，有 3 种，则丙有 1 种选法，甲有 2 种选法，所以 ， 因此 . 故选 A.
6.【答案】B
设 ,则 . 由椭圆定义得 ,解得 . 在 中,由余弦定理得 ,即 ,整理得 ,离心率 . 故选 B.
7.【答案】A
取 的中点 (图略),过点 作 的垂线,垂足为 ,则 ,又 平面 , 平面 ,故 ,又 ,故 平面 ,所以点 到平面 的距离即为点 到直线 的距离，故当点 与 重合时，所求距离有最大值，此时距离为 . 故选 A.
8.【答案】B
由 ,令 ,得 ,所以 的图象关于直线 对称,所以 . 将 换为 代入得 . 又 ,因此 ,即 ,则 ①,所以 ,对①两边求导得 ,故 ,故 和 的周期均为 4 . 于是 . 在 中,取 得 . 在 中取 得 ,所以 . 故选 B.
9.【答案】 (每选对 1 个得 2 分)
将数据从小到大排序得:-4,-2,-1,0,1,3,3. 对于 A，3 出现两次，其余一次，众数为3，故 A 正确；对于 B，7×60%=4.2，不是整数，故取第5个数，第5个数为1，故60%分位数为1，故B错误；对于C，平均数 ，方差 ，故 C 正确；对于 ，原平均数为 0，新数据 -2 小于 0，加入后平均数变为 ,确实变小,故 D 正确. 故选 ACD.
10.【答案】 (每选对 1 个得 2 分)
由图象可知 ,故 ,所以 . 代入点 得 ,即 ,则 ,得 ,因为 , 所以 ,因此 ,故 A 正确; ,最大值即为 ,故 B 正确; ,若 的图象关于点 对称,则必有 ,而 得 ,则总 不在图象上,不可能为对称中心,故 错误; 由方程 , 得 ,则 或 ,解得 或 . 在区间 内,取 得四个根分别为 ,故 D 正确. 故选 ABD.
11.【答案】 (每选对 1 个得 2 分)
由题意可知 ,设 处的切线交于直线 上同一点,则在 处的切线方程分别为 和 . 令 ,得 . 当 时,* 式可化为 . 令 , 则 . 当 时, ,故 在 上单调递减,故不存在不同的 使得 ,因此当 时, 不存在关于 轴的共轴切点,故 正确; 当 时,令 ,则 * 式可化为 . 取 得 ,此时存在多对 满足,但 不为定值，故横坐标之积不是定值，故 错误；当 时，取 ，则 ，代入 (*) 解得 ，此 使 成为 关于直线 的共轴切点,此时斜率之和 ,故 正确；当 时 ,记 ,则 ,故 在 处取最大值 , 故存在 ,使得方程 存在两个不同的解,即 存在关于直线 的共轴切点,故 D 正确. 故选 ACD.
12.【答案】 12
由 ,得 ,所以 ,当且仅当 时等号成立.
13.【答案】 1
由题意直线 的方程为 . 设 点坐标为 ,则 到直线 的距离为 ,当且仅当 时取等号,此时 . 于是 面积的最小值为 .
14.【答案】 19
因为数列 是 “ 和谐数列”,且 ,所以 共有 6 项,且 . 若 各项全为 0,则满足条件的数列 只有 1 个; 若 有 2 项为 0,1 项为 1,1 项为 -1,则满足条件的数列 的个数为 ; 若 有 2 项为 1,2 项为-1,则满足条件的数列 的个数为 ,所以 的个数为 .
15. 解: (1) 由 及正弦定理,得 . (1 分)
因为 ,
所以 ,(3 分)
整理得 . (4 分)
因为 ,所以 ,即 . (5 分)
又 ,所以 . (6 分)
(2)由 ，且 ，得 .(8 分)
由余弦定理 ,及 ,
得 . (10 分)
所以 (负值舍去). (11 分)
故 的周长为 . (13 分)
16. ( 1 )证明:在菱形 中， ，( 1 分)
因为 在底面 上的投影为 ，所以 平面 ， (2 分)
又 平面 ,故 . (3 分)
又 平面 平面 ,
所以 平面 . (4 分)
解法一:
(2)解:由 ，得 ，
如图 1,作 于点 ,则 .
因为平面 平面 ,交线为 ,所以 平面 . (5 分)
以 为原点, 所在的直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
图 1
则 . (6 分)
所以 . (7 分)
设平面 的法向量为 ,
则 即
令 ,得 ,故 . (9 分)
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . (11 分)
(3) 解: 设平面 的法向量为 ,
则 即 (12分)
令 ,得 ,故
又 ,
所以点 到平面 的距离 . (15 分)
解法二:
(2)解:如图2，过点 作 于点 ，连接 ，则 . (5 分)
因为 ,所以 与平面 所成角的正弦值即为 与平面 所成角的正弦值. (6 分)
图 2
在 中, ,由 ,可得 . (7 分)
所以 . (8 分)
设点 到平面 的距离为 ,则 ,
即
所以 . (10分)
故所求正弦值为 . (11 分)
(3) 解: 因为 ,所以 四点共面,
所以点 到平面 的距离即为点 到平面 的距离.
如图 2,取 的中点 ,连接 ,因为 ,所以 ,同理 ,
又 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以平面 平面
作 于 ,平面 平面 平面 ,
所以 平面 ,所以 即为所求距离. (13 分)
在 中， ，
设 边上的高为 ，则 ，(14 分)
解得 . (15 分)
17. 解: (1) 设 的焦距为 ,
由离心率 ,得
又 ,所以 ,即 . (2 分)
将点 代入方程,得 ,即 ,所以 . (4 分)
故 的标准方程为 . (5 分)
(2)解法一: 设点 ，
由直线 与 交于 两点得直线 的斜率存在,
设直线 的方程为 ,即 .
联立方程 (6 分)
代入消去 ,整理得 . (7 分)
则 即 ,且
. (10 分)
于是,中点 的横坐标 ,则 . (12 分)
又点 在直线 上,
所以 .
即 . (14 分)
由 ,且 得, 或 ,
故线段 的中点 的轨迹方程为 或
解法二: 设点 ,
由直线 与 交于 两点得直线 的斜率存在,
设直线 的方程为 ,即 .
联立方程 (6分)
代入消去 ，整理得 . (7 分)
则 即 ,且 ,(9 分)
由 两点在双曲线上得 作差得 ,①
当 时,易知 ;
当 时,①式可化为 ,即 .
故 (由题意可得 且 ),(12 分)
可得 ,
因为 ,所以
当 时， 也在直线 上. (14 分)
又 ,解得 或 .
综上,线段 的中点 的轨迹方程为 或 . (15 分)
18.(1)解: 的定义域为 ， ，(1 分)
当 时， 恒成立， 在区间 上单调递增；(2 分)
当 时,令 ,得 ,
在区间 上单调递增,在区间 上单调递减。(3 分)
综上,当 时, 在区间 上单调递增; 当 时, 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减. (4 分)
(2)证明: 当 时， ,要证 ,
即证 ,即 . (5 分)
设 ,则 (6 分)
令 ,则 ,
故当 时, 在区间 上单调递增,
当 时, 在区间 上单调递减.
故 (8 分)
所以当 时, ,当 时, ,
所以 在 处取最小值 ,
故 恒成立,原不等式得证. (10 分)
(3)解:方程 可化为 ，所以 (11 分)
记 ,则 .
记 ,则 . (12 分)
记 ,
则 ,
故函数 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减,
又 ,当 时,
故当 时, ,即 在区间 上单调递减,
由 ,
根据零点存在性定理可知存在 ,使得 ,即 . (14 分)
且当 时, 单调递增,当 时, 单调递减,
故 ,
且 ,当 时, (15 分)
设 ,则 ,
设 ,则 ,
所以 ,
所以 在区间 上单调递减,(16 分)
且 ,所以 ,
所以若 没有实数根,则整数 的最小值为 1 . (17 分)
19. 解:(1)记事件 为“参观者仅获得 1 枚纪念章”，
当 时，展区编号为 1,2,3，奇数有 1,3；偶数有 2,全排列共 种，(1 分)
两个数之和为奇数当且仅当两个数奇偶性不同,
枚举所有排列:
其中满足连续两个数之和为奇数的次数是 1 的有
所以 . (4 分)
(2)当 时，编号1,2,3,4，奇数有1,3；偶数有2,4，全排列共 种，
由题意知 的可能取值为
当获得 1 枚纪念章时,奇偶序列为奇奇偶偶,偶偶奇奇,
概率为 ,(6 分)
当获得 2 枚纪念章时, 奇偶序列为偶奇奇偶, 奇偶偶奇,
概率为 ,(7 分)
当获得 3 枚纪念章时, 奇偶序列为奇偶奇偶, 偶奇偶奇,
概率为
所以 的分布列为
数学期望 . (10 分)
(3) 个展区中有 个奇数编号， 个偶数编号，相邻的两个位置看作 1 对，则共有 对，定义变量 如下: 当第 对中的两个数字之和为奇数时 ,为偶数时 ,
则 ,所以 ,(11 分)
因为 的取值只有 0 与 1 两个,
所以 即第 组的两个数一个为偶数、一个为奇数的概率,
从 个数据中任选 2 个数据排列,共有 种可能,(12 分)
当 为偶数时,则偶数与奇数各有 个,
所以 ,(13 分)
当 为奇数时,偶数有 个,奇数有 个,
所以 . (14 分)
所以 (15 分)
证明递增:
当 为偶数时, ,
,所以 . (16 分)
当 为奇数时, ,
,所以 .
因此 是递增数列. (17 分)

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