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高三 4 月数学学科阶段训练
注意事项:
1. 答题的、考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位导填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动、用橡皮擦干净后、再进涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
4. 本试卷主要考试内容:高考全部内容.
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
1. 数据 3.7.9,10.16.18 的上四分位数为
A. 5 B. 7 C. 13 D. 16
2. 若复数 满足 ,则 在复平面内对应的点的坐标不可能为
A. B. C. D.
3. 已知集合 ,若 ,则
A. 10 或 18 B. -10 或 -18 C. 18 D. -18
4. 若双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则
A. B.
C. D.
5. 已知 ,则
A. B. C. D.
6. 如图，在 中， ，D 是 BC 边上靠近点 B 的三等分点，则
A. -4
B.
C.
D.
7. 对于给定的正整数 ,若数列 满足 ,则称 为 “ 螺旋数列”. 已知 “ 螺旋数列” 的前 项和 ,则 的最大值为
A. 111 B. 110 C. 109 D. 108
8. 已知函数 若 ,则 的取值范围为
A.
B.
C.
D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若 是空间中互不重合的三条直线, 是两个不重合的平面,则下列结论正确的是
A. 若 ,则
B. 若 ,则
C. 若 ,则
D. 若 ， ， ， ， ，则
10. 已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，左、右焦点分别为 是 上异于 的动点,则下列结论正确的是
A. 直线 和 的斜率之积为定值
B. 的最小值为 -1
C. 若 的面积为 5,则
D. 若 的角平分线与 轴交于点 ,则 内切圆的半径为
11. 已知 是函数 的导函数， ， 的图象在 上均是一条连续不断的曲线， 且当 时, ,当 时, . 若 为定值， 且 ,则
A. 在 上单调递减
B. 在 上单调递增
C. 9 是 的一个极小值点
D. 是 的一个零点
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 的展开式中 的系数为_____▲_____.
13. 奇函数 满足当 时, ,则曲线 在点 处的切线方程为_____▲_____.
14. 设正数 满足 ,若关于 的方程 的所有正实数解从小到大依次为 ,则 的取值范围为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知 的内角 的对边分别为 ，且 .
(1)求
(2)若 ,求 的面积.
16. (15分)
如图，在四棱锥 中， ， ， .
(1)证明: 平面 .
(2)已知 ，平面 平面 .
(I)求三棱锥 外接球的表面积；
(II)求平面 与平面 夹角的余弦值.
17.(15 分)
已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 存在最小值,且最小值小于 2,求 的取值范围.
18.(17分)
已知 是抛物线 的焦点，过 的直线，过 的直线 与 交于 ， 两点( 在 轴的上方).
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的方程；
(3)记 为坐标原点, 为 轴上异于 的点,且 ，延长 交 于点 ，设直线 , 的斜率分别为 ,求 的最小值.
19. (17分)
某工业系统内初始装有 2 个 类部件和 1 个 类部件. 工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下:每次从系统中随机抽调 1 个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补 1 个与所抽调部件类别不同的部件. 记第 次操作抽调到 类部件的概率为 ,第 次操作后系统内 类部件的数量为 .
(1)求 与 的值.
(2)证明: .
(3)求数列 的通项公式.
附:若随机变量 服从两点分布,且 ; 则
高三 4 月数学学科阶段训练 参考答案
1.D 因为 ,所以这组数据的上四分位数为 16 .
2. C 设 ,则 ,当 时,不满足题意,其余均满足题意,故 在复平面内对应的点的坐标不可能为 .
3. 若 ,则 ,得 ,则 或 . 若 , 则 ,得 ,则 . 综上, 或-10.
4. 的渐近线方程为 ,直线 的斜率为 ,则 ,解得 .
5. A 因为 ,所以 .
6. 因为 是 边上靠近点 的三等分点,所以 ,
7. C 当 时, ,当 时, . 当 时,由 ,得 ,当 时,由 ,得 . 因为 ,所以 .
8. A 作出 的图象 (图略). 由 ,可得 或 . 由 ,可得 ; 由 ,可得 或 或 . 综上, 的取值范围为 U(4,10).
9. 若一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，则这两个平面互相垂直， 正确. 若 ， ，则 与 的位置关系不确定， 不正确. 若 ， ，则 与 的位置关系不确定， 不正确. 若 ,则 , 正确.
10. ACD 由题可得 . 设 ,则 , , A 正确. 不正确. 若 的面积为 5,则 ,根据对称性,不妨令 位于第一象限,可得 ,则 ,由 ,得 正确. , ,因为 平分 ,所以 . 又 ,所以 的面积为 . 设 内切圆的半径为 ,则 ,解得 , D 正确.
11. 设 ,令 ,得 ,则 ,两边求导得 . 因为 ,所以 与 同号. 当 时, ,令 ,得 ,则当 时, ,此时 ,则 ,当 时, ,此时 ,则 ,从而 在 , 上单调递减,在 上单调递增, 不正确. 当 时, ,且 ,则 ,则 在 上恒成立,故 在 上单调递增, B 正确. 由题易得 ,则 ,当 时, ,且 ,则 0,则 在 上恒成立,故 9 是 的一个极小值点, 正确. 令 ,得 ,故 是 的一个零点, D 正确.
12. -720 含 的项为 ,系数为 -720 .
13. 因为 是奇函数，所以 ，则 . 当 时， ,则 ,则 . 又 -e,所以曲线 在点 处的切线方程为 .
14. ,则 ,则 . 当 时,由 (其中 的终边经过点 , ,得 ,得 . 取 为最小正角,则 , 则 . 同理,当 时,可得 , ,则 . 由 ,得
15. 解: (1) 因为 ,所以 . 2 分
又 ,所以 ,即 . 4 分
由 ,得 . 6 分
(2)由 ，得 ， 7 分
则 . 9 分
因为 ,所以由 ,得 , 11 分
则 的面积 . 13 分
16.(1)证明:过点 作 ，交 于点 ，连接 . 1 分
因为 ,所以 . 2 分
又 ,所以 , 3 分
则四边形 为平行四边形,从而 . 4 分
因为 平面 平面 ,所以 平面 . 5 分
(2)解:(i)由 ，可得 . 6 分
因为平面 平面 ,平面 平面 , 7 分
且 平面 ,所以 平面 , 8 分
是三棱锥 外接球的直径,且 , 9 分则三棱锥 外接球的表面积 分 (ii) (方法一) 取 的中点 的中点 ,连接 ,易得 两两垂直,以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 , ,
所以 . 11 分
设平面 的法向量为 ,则由 得 12 分
令 ,得 . 13 分
由图可知,平面 的一个法向量为 , 14 分
则平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
(方法二) 因为 ,所以 .
又平面 平面 ,平面 平面 ,所以 平面 , 11 分
则 ,故 即平面 与平面 的夹角. 12 分
由 ,可得 , 13 分则 ，即平面 与平面 夹角的余弦值为 . 15 分
17. 解: (1) 由 ,可得 . 1 分
若 ,则 在 上恒成立,则 的单调递增区间为 ,无单调递减区间. 3 分
若 ,则当 时, ,当 时, ,则 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . 5 分
(2)由(1)可知,若 存在最小值,则 , 6 分
且 的最小值为 , 7 分
则 , 8 分
则 ,即 . 9 分
令 ,则 . 10 分
因为 恒成立,所以 恒成立,则 在 上单调递增. 12 分
又 ,所以当 时, ,当 时, . 14 分
故 的取值范围为 . 15 分
18. 解: (1) 因为 是 的焦点,所以 , 1 分
得 . 2 分
(2)由(1)知 的方程为 . 由题意可设 的方程为 ， ， . 由 得 , 3 分
则 . 4 分
因为 ,所以 . 6 分
由 ,解得 , 7 分
则 的方程为 . 8 分
(3)由 为 轴上异于 的点,且 ,得 , 9 分则直线 的方程为 ,即 . 设 . 10 分由 得 , 11 分
则 , 12 分
则 . 13 分
由 ,得 . 14 分
又 , 15 分
所以 , 16 分
当且仅当 时,等号成立,故 的最小值为 . 17 分
19.(1)解:由题可知 ， 1 分
3 分
(2)证明:设 的所有可能取值为 ，则 .
记事件 为第 次操作抽调到 类部件,则 .
根据全概率公式可得 . 4 分
在 的条件下,系统内共有 个部件,其中有 个 类部件,则事件 发生的概率 5 分
则 . 7 分
因为 ,所以 , 8 分
则 . 9 分
(3)解:设随机变量 满足若第 次操作抽调到 类部件，则 ，若第 次操作抽调到 类部件,则 ,所以 服从两点分布,且 .
10 分
由题可知,第 次操作后系统内 类部件比上一次的增量为 ,则 . 因为 ,所以 11 分
由 (2) 可知, ,则 ,
则当 时,有 ,
则 ,即 , 12 分
当 时, ,满足上式,故 13 分
则 . 14 分
令 ,则 , 15 分
则 ,
则 , 16 分
则 . 17 分

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