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2025-2026 学年度第二学期高二年级数学学科阶段练习 1
2026.04
一、单选题(共 8 题，每题 5 分，共 40 分)
1. 有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
A. 7 B. 64
C. 12 D. 81
2. 如图，三棱锥 中，点 ， 分别是 ， 的中点，点 为线段 上一点，且 ，若记 ， ， ，则 等于( )
A.
B.
C.
D.
3. 若圆 ，圆 ，则它们的公切线的条数是( )
A. 1 B.2
C. 3 D. 4
4. 用 0~9 这 10 个数字，组成没有重复数字的三位数，共有( )个
A. 504 B. 648
C. 720 D. 1000
5. 如图，三棱锥 A-BCD 中， ， 则 等于( )
A. -2
B. 2
C.
D.
6. 如图，在正方体 中，点 为 的中点，则平面 与平面 所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
7. 记 为等差数列 的前 项和. 若 ,设 ，关于 的值，下列说法正确的是( )
A. 一定不大于 1 B. 可能大于 1,但一定不大于 2
C. 可能大于 2 D. 当 时, ,
8. 已知双曲线 为其右焦点,点 在右支上,且 , 直线 与双曲线左支的一个交点是 ，若 ，则双曲线的离心率是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题(共 3 题，每题 6 分，共 18 分)
9. 如图为定义在 上的函数 的图象. 则关于它的导函数 的说法正确的是( )
A. 存在对称轴
B. 存在极大值
C. 在 上单调递增
D. 的单调递减区间为
10. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目, 下列说法错误的是( )
A. 若任意选择三门课程，选法总数为
B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为
C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为
D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为
11. 如图，已知矩形 ， ， ，将 沿矩形的对角线 所在的直线进行翻折，翻折过程中( )
A. 存在某个位置,使得
B. 存在某个位置,使得
C. 当平面 平面 时,
D. 当平面 平面 时,
三、填空题(共 3 题，每题 5 分，共 15 分)
12. 若函数 在区间 上的平均变化率为 -1，则 等于_____.
13. 如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 则 到平面 的距离是_____.
14. 若数列 所有项都不为零,且 ,则 _____.
四、解答题(共 5 题，共 77 分)
15. (本小题满分 13 分)
如图，在平行六面体 中，点 ， 分别在棱 ， 上，且 ， .
(1)若 ，求 的值.
(2)若 ，且 ， ，求 的长；
16. (本小题满分 15 分)
. 已知等差数列 的前 项和为 ，正项数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 的和.
17: (本小题满分 15 分)
已知椭圆 的两个顶点在直线 上，直线 经过椭圆的右焦点 ,与椭圆交于 两点,点 ( 不在直线 上)
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线 的斜率为 ，求 的面积；
(3)直线 与 交于点 ，设 的斜率分别为 . 若 ， 求直线 的方程.
18. (本小题满分 17 分)
如图，长方体 中， ， 在 上， 在 上.
(1)求异面线 与 所成角的余弦；
(2)若平面 平面 ,求 的值；
(3)求 的最小值.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 ,其中 .
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)若函数 在定义域上单调递增，求实数 的取值范围；
(3)若 在 上存在两个极值点 ，求 的取值范围.
2025~2026 学年度第二学期高二年级数学阶段测试参考答案
一、单选题(共 8 题，每题 5 分，共 40 分)
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
第一步,百位数字共有 9 种可能,个位和十位,共有 种,故所有情形是
5.【答案】A
6.【答案】
以 为原点, 所在直线分别为 轴, 轴, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为 1,则 ,
.
设平面 的法向量为 ,
则有 即
.
平面 的法向量为 ,
,
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
7.【答案】
设等差数列 的公差为 ,首项为 ,依题意可得,
,即 ,又 ,解得: ,
所以
且当 时,
故选
8.【答案】A
如下图所示: 设左焦点为 ,连 ,由 知, , 设 ,则 ,从而 ,
在直角 中,由 得: ,
解得 ,从而 ,
又 ,即 ,
所以
二、多选题(共 3 题，每题 6 分，共 18 分)
9.【答案】ACD
由题可知, 为二次函数,可知函数 的极大值点为 -2,极小值点为 1,可得 ,且两根分别是 -2 和 1 . 所以 存在极小值,对称轴 , 单调递减区间为 ,单调递增区间为 .
10.【答案】ABD
对于 ,若任意选择三门课程，选法总数为 9,错误;
对于 ,若物理和化学选一门,有 2种方法,其余两门从剩余的 5 门中选,有 3种选法; 若物理和化学选两门，有 3种选法，剩下一门从剩余的 5 门中选，有 3种选法，所以总数为 ，错误；
对于 ,若物理和历史不能同时选，选法总数为 的 (种)，正确；
对于 ，有 3 种情况:①只选物理且物理和历史不同时选，有 ；种选法:②选化学，不选物理，有 种选法；③物理与化学都选，有 种选法，故总数为 (种),错误.
11.【答案】BCD
在矩形 中，分别过点 、 作 、 ,垂足分别为点 、 . 由已知条件, . 得 ,
对于 A 选项， ，A 错误； 对于 B 选项， , ,
其中 是向量 与 所成的角,也即是二面角 的平面角,
当 时, , B 正确;
当平面 平面 时,如图以点 为坐标原点, 所在直线分别为 轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
则 , ，所以 ； 又 ,则 , 故 CD 都正确。
三、填空题(共 3 题，每题 5 分，共 15 分)
12.【答案】 5
在区间 上的平均变化率为 ,故 .
13.【答案】
以 为坐标原点, 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ,则
则平面 一个法向量为
14.【答案】
设 ,则 ,
从而数列 是周期为 3 的数列,且
又 ,
则 ,即 ,
所以
四、解答题(共 5 题，共 77 分)
15.(本小题满分 13 分)
如图，在平行六面体 中，点 ， 分别在棱 ， 上，且 ， .
(1)若 ，求 的值.
(2)若 ，且 ， ，求 的长；
【答案】(1) ；(2)
(1)
，又 ，
.
,
所以，
16.(本小题满分 15 分)
已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，正项数列 满足 .
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 的和.
【答案】( 1 ) ；( 2 )
(1) ,
数列 的公差 .
由题知, ②
①:②得 ，
又 ，满足上式，故 .
(2) 设 ,
则 ,两式相减得:
17. (本小题满分 15 分)
已知椭圆 的两个顶点在直线 上，直线 经过椭圆的右焦点 ,与椭圆交于 两点,点 ( 不在直线 上)
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线 的斜率为 ，求 的面积；
(3)直线 与 交于点 ，设 的斜率分别为 ， ， . 若 ，求直线 的方程.
【答案】(1) ; (2)
(1) 直线 与坐标轴的交点为 ,
,故椭圆的标准方程为 ;
(2)设 ，直线 .
由 ,即 ,
点 到直线 的距离是
故 的面积是
(3)设 ，直线 ，则 .
由 ,即 ,
,
,又
由 得, ,
故直线 。
18. (本小题满分 17 分)
如图，长方体 中， ， 在 上， 在 上.
(1)求异面线 与 所成角的余弦；
(2)若平面 平面 ，求 的值；
(3)求 的最小值.
【答案】(1) ；(2)4；(3)
(1)以 为 轴建立直角坐标系，
则 ，
又异面直线所成角的范围是 ,
所以异面线 与 所成角的余弦是
(2)设 ，则
又 ,所以平面 的一个法向量是 ,
又 ，故平面 的一个法向量是 ，
即平面 的一个法向量是 ，
又平面 平面 ,所以 ,即
解得 ，此时 ；
(3)方法一:设 ，由(2)知 ，
所以
所以，当且仅当 时， 有最小值 .
方法二: 问题等价于求点 到直线 距离的最小值,
由 的方向向量是 可得,
当且仅当 时, 有最小值 .
方法三: 问题等价于求点 到直线 的距离的最小值,略。
19.(本小题满分 17 分)
已知函数 ,其中 .
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)若函数 在定义域上单调递增，求实数 的取值范围；
(3)若 在 上存在两个极值点 ,求 的取值范围.
【答案】
(1) 当 时, ,定义域为 ,
所以 ,
所以 ,又 ,
所以函数 在 处的切线方程为 ,即 .
(2) 的定义域是 ，
函数 在定义域上单调递增,则 对 恒成立,
即 ,
所以 时, 恒成立,所以 在 上单调递增.
(3) 在 上有两个极值点 ，
则 ,即 在 上有两个不等实数根 ,
,所以 ,且 ,
此时
令 ,则 ,
所以 在 上单调递减，
又由 ,可得
又 ，所以 ，
且
所以 的取值范围是 。

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