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赣州中学高三第 3 周限时训练数学作业
学校:_____ 姓名:_____ 班级:_____ 考号:_____
一、单选题
1. 已知集合 ，集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知 为虚数单位,则 ( )
A. 10i B. 11+10i C. 11i D.
3. 已知 为正项等比数列 的前 项和,若 ,则 的公比 ( )
A. 3 B. 2 C. D.
4. 设平面向量 满足 ，则 ( )
A. 3 B. 2 C. D. 1
5. 在平面直角坐标系 中,第一象限内的动点 ,若点 在直线 上,则 的最小值为( )
A. B. C. 1 D.
6. 若 为奇函数,则 的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
7. 过点 作曲线 的切线 ,则 的斜率为 ( )
A. 1 B. C. D.
8. 在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为整膈,在整膈 中, 平面 , ,且 为 的中点,则异面直线 与 所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 如图是一个古典概型的样本空间 和事件 和 ,其中 , 下列结论正确的有( )
A.
B. 事件 与 互斥
C.
D. 事件 与 相互独立
10. 已知函数 是函数 的一个极值点,则下列说法正确的是 ( )
A. B. 函数 在区间 上单调递减
C. 过点 能作两条不同直线与 相切 D. 函数 有 5 个零点
11. 已知函数 ,下列结论正确的有( ).
A. 是奇函数
B. 在 上单调递增
C. 无极大值
D. 的最小值为
三、填空题
12. 已知直线 和圆 ，点 是直线 上的一动点，过点 作圆 的切线，切点为 ，则线段 长度的最小值为_____.
13. 有 1000 张从 1 开始依次编号的多米诺骨牌, 从小到大排成一行, 每次从中去掉处在奇数位置的牌, 则最后剩下的一张牌是_____号.
14. 已知函数 ,若 ，则函数 的最小值为_____；若 ，都有 ，则实数 的取值范围为_____.
四、解答题
15. 某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性, 现有 A 合金部件样本 900 件, B 合金部件样本 500 件, 采用分层抽样抽取 140 件做耐热疲劳测试, 以部件能承受 1000 次热循环不失效为合格标准, 得到以下部分列联表:
材料配方类型 耐热疲劳性能 合计
测试合格 测试不合格
A 配方材料试样 75
B 配方材料试样 20
合计 140
(1)请完成上述列联表;
(2)依据 的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？
附: ，其中 ，
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
16. 已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)证明:对 .
17. 如图，在梯形 中， ，过点 作 于点 . 将 沿 翻折到 的位置，使得平面 平面 . 已知四棱锥 的体积为 8.
(1)证明: .
(2)若 在同一个球面上，设该球面的球心为 ，证明: 在平面 上.
(3)求平面 与平面 的夹角的余弦值.
18. 已知 为抛物线 上一点.
(1)求 的准线方程；
(2)若点 与 关于 轴对称，过点 且斜率为 2 的直线交 于另一点 ，设 .
(i) 求数列 的前 项和 ;
(ii) 求 的面积.
19. 已知一副不含大小王的 52 张扑克牌, 共包含 4 种花色 (黑桃、红桃、方片、梅花), 每种花色各有 13 张牌,牌点大小排序从大到小依次为 ,其中 可参与组成顺子或金花 ,且满足 . 现从该副扑克牌中随机抽取 3 张,定义如下牌型:
豹子:三张牌的牌点完全相同，例如:AAA、KKK、222；
顾金:花色相同且牌点构成顾子，例如:黑桃 、红桃 、方片 ；
金花: 花色相同但牌点不构成顺子,例如: 黑桃 、红桃 、方片 ;
顺子: 牌点构成顺子但花色不全相同，例如:黑桃 5 红桃 6 方片 7；
对子: 恰好有两张牌的牌点相同, 第三张牌的牌点与前两张不同, 例如: 223、334;
散牌: 不构成上述任何一种牌型的 3 张牌组合.
请回答下列问题:
(1)在一次游戏中，记事件 为“抽到的三张牌牌点构成顺子”,事件 为“抽到的牌型为顺金”,求 ；
(2)已知该游戏各牌型的大小规则为:豹子>顺金>金花>顺子>对子>散牌，且不按照花色区分大小，请从概率的角度, 分析该游戏的规则是否合理、公平 (结果精确到小数点后四位);
(3)玩家初始持有 次抽牌机会( )，每消耗 1 次抽牌机会，就从 52 张扑克牌中随机抽取 3 张，观察牌型:若抽到顺金，则游戏获胜，立即终止；若抽到顺子但非顺金，则将当前剩余的抽牌机会数翻倍；若抽到非连续的牌型，则剩余抽牌机会数保持为消耗 1 次后的数量；若剩余抽牌机会数为 0， 则游戏失败，立即终止. 设单次抽牌抽到顺子的概率为 ，初始持有 次抽牌机会时，玩家最终获胜的概率为 . 试证明:
(i) 证明: 数列 是严格递增数列;
(ii) 证明: 对任意 ,都有 .
赣州中学高三第 3 周限时训练数学作业参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B B C B D C C ACD AD BC
5. B
如图,过点 作点 关于线段 的对称点 ,则 .
设 ,则有 ,解得 ,所以 .
设第一象限内的点 ,则 ,所以 ,
而 ,所以点 到 轴的距离为 ,
所以 可视为线段 上的点 到 轴的距离和到 的距离之和.
过 作 轴,显然有 ,
当且仅当 三点共线时,和有最小值.
过点 作 轴,则 即为最小值, 与线段 的交点 ,
即为最小值时 的位置.
因为 ，所以 的最小值为 .
故选: B.
6. D
函数 为奇函数, 的定义域为 ,
由 ,
函数 的定义域为 ,
函数 在定义域内单调递增,
当 时, 的单调递增区间为 ,
所以 的单调递增区间为 .
故选: D.
7. C
设切点为 ,切线斜率为 ,曲线为 ,
由导数的几何意义得 ,
故切线方程为 ,将 代入方程,
得到 ,解得 ,则 ,故 正确.
答 第
故选: C.
8. C
取 的中点 ,连接 ,如右图所示:
分别为 的中点,则 且 ,
异面直线 与 所成的角为 或其补角.
平面 平面 ，
,同理可得 ,
，则 ，
故选:C.
9. ACD
，A 对:
与 不互斥, 错;
对:
又 ,
事件 与 相互独立 对.
故选: ACD
10. AD
对于 中,由函数 ,可得 ,
因为 是函数 的一个极值点,可得 ,
解得 ,经检验适合题意,所以 正确;
对于 中,由 ,令 ,解得 或 ,
当 时, ; 当 时, ; 当 时, ,
故 在区间 上递增，在区间 上递减，在区间 上递增，所以 错误:
对于 中,设过点 且与函数 相切的切点为 ,
则该切线方程为 ,
由于切点 满足直线方程,则 整理得 ,解得 ,所以只能作一条切线,所以 C 错误;
对于 中,令 ,则 的根有三个,如图所示,
所以方程 有 3 个不同根,方程 和 均有 1 个根, 故 有 5 个零点,所以 正确.
故选: AD.
11. BC
对于
,
A 错误:
对于 ,
当 时, ,
且 为增函数,所以在 上, 单调递减;
在 上, 单调递增;
且 ，故 B 正确:
对于 ,由 单调区间可知, 无极大值, 正确:
对于 ,由单调区间可知, ,故 错误; 故选: BC.
12. 2
根据圆的切线性质可知, ,在 Rt 中,由勾股定理可得 , 已知圆 的方程为 ，则半径 ，所以 ，
要使 最小,则需 最小,所以 的最小值为圆心 到直线 的距离 ,
根据点到直线的距离公式可得: ，
将 代入 ，可得 ，
因此，线段 长度的最小值为 2 .
故答案为:2.
13. 512
第一次: 余下编号2,4,6,8,10,...,998,1000,编号为 ,共 500 项:
第二次: 余下编号 ,编号为 ,共 125 项:
第三次: 余下编号 ,编号为 ,共 125 项;
第四次: 余下编号 ,编号为 ,共 62 项;
第五次: 余下编号32,64,96,128,...,960,992,编号为 ,共 31 项:
第六次: 余下编号64,128,192,256,...,896,960 . 编号为 ,共 15 项;
第七次: 余下编号128,256,384,512,640,768,896,编号为 ,共 7 项;
第八次: 余下编号256,512,768,编号为 ,共 3 项;
第九次: 余下编号512,编号为 ,共 1 项;
综上, 最后剩下 512.
故答案为: 512
14.
若 ,则 ,
,
当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增.
.
若 ,都有 ,
则 ,
在 单调递增,
在 恒成立,
即 ,
又 ,
当且仅当 时,等号成立;
.
故答案为: .
15.
(1)由已知 合金部件应抽取 件, 合金部件应抽取 件, 由此可得列联表如下
材料配方类型 耐热疲劳性能 合计
测试合格 测试不合格
A 配方材料试样 75 15 90
B 配方材料试样 30 20 50
合计 105 35 140
(2)零假设为 :材料配方与耐热疲劳性能无关联，
由表知, ,
代入公式得 ,
根据小概率值 的独立性检验,我们推断 不成立, 即认为材料配方与耐热疲劳性能有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.05 . 16.
(1) 由 可得 ,
,依此类推,
,
数列 是首项为 3,公差为 1 的等差数列,
,即 ,
(2) ，故 对
,
因为 ,
所以
即
17.
(1) 设 ，因为 ，所以 .
因为平面 平面 ,平面 平面 平面 平面 , 所以 平面 ,
由四棱锥 的体积为 ,
得 ,解得 ,即 ,
连接 ,在 Rt 中, .
在 Rt 中, ,所以 .
因为 ,所以 ,即 ,
因为 平面 平面 ,所以 ,
因为 平面 ,所以 平面 ,
又 平面 ,所以 :
(2)在平面 内作 的垂直平分线，交 于 ，连接 ， .
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 在以 为球心,3 为半径的球面上,
即 与 重合,故 在平面 上.
(3)以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ,
所以 .
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,则 .
设平面 的法向量为 ,
则 ,令 ,则 .
因为 ,
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
18
(1) 由题意知 ,则 ,
所以 的准线方程为 .
(2)由(1)知 的方程为 ，
(i) ,
所以 ,
所以 ,
所以数列 是以 为首项,以 4 为公差的等差数列,
所以 ,所以 .
(ii) 将 代入 得 ,
则 ,
法一:
直线 的方程为 ,
点 到直线 的距离 ,
的面积 .
法二:
19.
(1)顺子的牌点组合共 12 种(A23、234、...、JQK、QKA)，每种牌点组合对应 种花色组合,故 .
顺金要求花色相同且牌点为顺子,共 种,故 .
由条件概率公式, .
(2)分别计算各牌型的概率:
,
.
概率从小到大排序: ，与规则的牌型大小顺序不一致:
顺金比豹子更稀有，却被规定为更小的牌型；
顺子比金花更稀有, 却被规定为更小的牌型.
因此，该游戏规则不符合“稀有度与牌型大小正相关”的公平性原则，规则不合理、不公平.
(3)首先明确核心概率:抽到顺金的概率: ,
抽到顺子但非顺金的概率: ,抽到非顺子的概率: ,
初始 1 次机会, 抽 1 次后剩余机会为 0 , 仅抽到顺金可获胜,
故 . 初始 2 次机会,抽 1 次后剩余 1 次机会,递推得: 代入 ，整理得: ，即 .
(i) 用数学归纳法证明:
(一) 归纳莫基: 时, ,
因 ,故 .
(二) 归纳推理: 假设对任意 ,都有 ,即数列前 项严格递增.
对任意 ,递推公式为: ,
因此 ,
由归纳假设, ,且系数均为正,故 .
由数学归纳法,对任意 ,即数列 严格递增.
(ii) 令 ,不等式转化为证明 .
将 代入原递推公式,化简得: ,边界条件 .
令 ,求导得: ,故 在 上严格递减,
因此对任意 .
下面用数学归纳法证明 :
(一) 归纳莫基: 当 时, ,成立:
(二) 归纳推理: 假设对任意 .
对 ,由递推公式和归纳假设: ,
只需证明 ,两边除以 得: ,
代入 ，右边化简为 ，
左边减右边得: (因 ),
故不等式成立,即 .
由数学归纳法,对任意 ,即 ,移项得: ,得证.

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