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宜春市 2026 年高三模拟考试数学试卷
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1. 设 是 10 的正约数 ,则
A. B. C. D.
2. 已知直线 的斜率为 直线 在两坐标轴上的截距相等,则 是 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 为测试某 AI 图像识别系统的准确率, 工程师准备了四张不同的图片, 其中两张是 “龙”, 另外两张是 “蛇”.系统从这四张图片中随机抽取两张进行识别，则选出的两张图片中，恰好一张是“龙”，另一张是 “蛇” 的概率为
A. B. C. D.
4. 在平面直角坐标系中,角 的顶点与原点重合,始边与 轴的非负半轴重合,终边经过点 ,则
A. 4 B. 2
C. D.
5. 一个长,宽,高分别为 的水槽中装有 的水,现放入一个半径为 的木球,若木球的三分之二在水中，三分之一在水面上时，水恰好不会从水槽中溢出(忽略木球吸水的影响)，则木球的半径 等于
A. B. C. D.
6. 设函数 满足对任意的 ,都有 ,且 ,则
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 在 上单调递增 D. 在 上单调递减
7. 将 5 个互不相等的实数按从小到大的顺序排列,依次为: ,若它们的 80% 分位数是 2,则 的取值范围是
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中,有一系列点 ,且所有的点均在函数 的图象上,已知以点 为圆心的 均与 轴相切,且 与 外切, ,若 ,且对 ,不等式 恒成立,则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知复数 ，其中 ， 是虚数单位，则
A. 当 时， 为纯虚数 B. 当 时，
C. 当 时， D. 当 时，
10. 已知函数 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,则
A. 当 时,
B. 曲线 在 处的切线斜率为
C. 方程 在区间 内恰有两个实根
D. 当 时,
11. 定义曲线 为椭圆 的 “倒椭圆”. 已知椭圆 的方程为 ，其倒椭圆 的方程为 ， 为坐标原点， 为曲线 上任意一点，则
A. 椭圆 的离心率 B. 的最小值为 4
C. 过点 作 轴与 轴的垂线,垂足分别为 ,则直线 一定与椭圆 相切
D. 椭圆 上至少存在四条切线与曲线 没有公共点
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知等比数列 是正项数列,前 项和为 ,若 ,则公比 _____.
13. 已知向量 满足 ，则 的取值范围是_____.
14. 已知关于 的方程 有两个不相等的实数解,则正实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
在 中,角 所对的边分别为 .
(1)求角 ；
(2) 为 外一点，且与点 位于直线 的同侧， ，若 ， ,求 的面积.
16.(15分)
已知函数 .
(1)讨论函数 的极值;
(2) ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
17. (15 分)
如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， .
(1)求证:平面 平面 ；
(2)若 为线段 上一点(异于点 )，平面 与平面 所成角的余弦值为 ， 求直线 与平面 所成角的正弦值.
18. (17 分)
在平面直角坐标系 中,已知点 ,点 ,点 满足 . 记点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)曲线 的左、右顶点分别为 、 ，设点 是曲线 上一动点，且点 不在 轴上，直线 交曲线 于点 (异于点 ),直线 交曲线 于点 (异于点 ).
(i) 若 的角平分线交 轴于点 ，求 的取值范围；
(ii) 若点 不在 轴上，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ， 判断 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19.(17分)
在平面直角坐标系中，动点 从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向四个方向移动的概率均为 . 例如在 1 秒末，点 会等可能的出现在 ， ， ， 四点处.
(1)已知点 在第 2 秒末没有回到原点，求此时点 位于坐标轴上的概率；
(2)记第 秒末点 回到原点的概率为 .
(i) 求 ,并利用公式 求 ;
(ii) 令 ,记 为数列 的前 项和,若对任意实数 ,存在 ,使得 , 则称点 是常返的. 利用公式: ,证明: 点 是常返的.
宜春市 2026 届高三年级模拟考试数学答案
一、选择题。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D A A B C B
二、选择题。
题号 9 10 11
答案 BCD BD ACD
二、填空题。
12. 13. 14.
三、解答题。
15. 解: (1) 因为
所以
因为 ,所以
所以 ,即
又 ,则有
所以 . 5 分
(2)因为
所以在 中,
所以
所以
所以
所以
因为 ，所以 9 分
所以
所以 . 13 分
16. (1)函数 的定义域为 ，
当 时， 恒成立，
即函数 在 上单调递增，所以函数 无极值；
当 时,由 得 ; 由 得
即函数 在 上单调递增,在 上单调递减
所以函数 的极大值为 ,无极小值
综上: 当 时,函数 无极值;
当 时,函数 的极大值为 ,无极小值. 7 分
(2)依题可知:不等式 在 上恒成立
即 在 上恒成立
令 ,则
令 ,则 ,
所以函数 在 上单调递减,则 ,
即函数 在 上单调递减,所以 ,
所以, . 15 分
17.(1)证明:连接
因为 ,
所以
而
所以
则
所以
在 中,
所以
又
所以 平面
又 平面
所以平面 平面 . 6 分
(2)过点 作 于点 ，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由
则
所以
设 ,
则
所以
所以
设平面 的法向量为 ,平面 的法向量为
所以
令 ,则
所以 10 分
令 ,则
所以 12 分
所以
所以
所以
所以
由( 1 )知，平面 的法向量为
设直线 与平面 所成角为
所以
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
18.(1)因为
所以点 的轨迹曲线 是以 为焦点的椭圆,
设曲线 的方程为
所以
所以
所以曲线 的方程为 . 3 分
(2)(i) 设 ，则
则 ;
所以在 中,由角平分线定理得
5 分
由 ,所以
所以 的取值范围为 . 7 分
(ii) ,由 ,得 ,其中 则
① 当 时，
直线的 方程为 ,求得点 坐标为
则 ，所以 8 分
② 当 时，同理可得: 9 分
③ 当 时，设 ，
直线 的方程为 ,直线 的方程为 ,
联立 ,得
所以
所以
则 ;
所以,点 的坐标为 12 分
联立 ,得
所以
所以
则 ;
所以,点 的坐标为 14 分
所以
综上所述， . 17 分
19.(1)记事件 :点 在第 2 秒末没有回到原点，事件 :点 位于坐标轴上由于在第 2 秒末点 回到原点的情况有 4 种,则事件 包含的情况共有 12 种,其中点 没有回到原点且在坐标轴上的情况有 4 种.
则 3 分
(2)(i)点 在第 4 秒末回到原点，有以下三种情况:四个方向各移动一次的情况有 种， 左右方向各移动两次的情况有 种,上下方向各移动两次的情况有 种,
所以 ; 5 分
若点 在第 秒末回到原点,则需左右移动次数相等,且上下移动次数也相等,
设左右各移动 次,则上下各移动 次,
所以
8 分
(ii) 由 可知:
则
所以 12 分
令 ,则
即函数 在 上单调递减,
所以 ,即 ,则
所以, 15 分
记 为不超过 的最大整数,
则对任意的实数 ,当 时, ,即
综上,当 时, 成立,所以点 是常返的. 17 分

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