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2026 届高三第二次质量检测 数 学
(满分: 150 分 用时: 120 分钟)
注意事项:
1. 答题前、请将自己的学校、姓名等填写在答题卡上。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。
3. 回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ,则
A. B. C. D.
3. 已知条件 的解集为 ,条件 是减函数,则 是 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 在 Rt 中,已知 ,则
A. B. C. 1 D.
5. 已知 ,则
A. B, 0
C. D. 1
6. 男生1，2，3 号和女生1，2，3 号排成一列，男生从前往后号数变小、女生互不相邻的排法种数为
A. 4 B. 16 C. 24 D. 36
7. 若 ,则
A. B. 2026 C. 4050 D. 4 051
8. 已知椭圆 内有点 ,过点 的直线交椭圆 于点 , 若 为 的中点. 则 的最大值为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 若离散型随机变量 的分布列如下表所示,则
1 3 5 7
0.4 0.3 0.2
A. B. C. D.
10. 在 Rt 中,已知 分别为 的中点,沿 将 折起,使点 到点 处,若平面 平面 ,则
A. 平面 平面
B. 线段 上存在点 ,使得 平面
C. 四棱锥 的体积为
D. 与 所成角的余弦值为
1. 已知 则
A. 当 时， 为增函数
B. 当 时， 的值域为
C. 当 时，图象上存在关于原点对称的两点
D. 若 ,使得 恒为常数
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 在区间 上的值域为_____.
13. 已知等差数列 的前 项和为 ,若 , ,且 ,则 的最小值为_____,(参考公式:
14. 已知抛物线 上有 三点,且 轴,若 内切圆的半径为 ，则点 的坐标为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 为 的中点， ，垂足为 .
(1)若 ,求 ;
(2)若 ， ，求 面积.
16.(本小题满分 15 分)
如图，在三棱台 中，平面 平面 .
(1)求证: 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值.
17. (本小题满分 15 分)
双曲线 的一个焦点坐标为 ，上、下顶点分别为 ， . 已知 是双曲线 上的动点,满足两直线 的斜率之积为定值 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若 是双曲线 上与点 的距离最小的点,求 的取值范围.
18. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)当 时，求 的单调递减区间；
(2)若在区间 上， 为增函数，求 的取值范围；
(3)若 时， 的最小值为 0，求 .
19. (本小题满分 17 分)
甲、乙、丙三人进行远程射击，命中目标的概率分别为 . 现按甲、乙、丙的顺序循环，由甲先射击，规则如下:若当次射击命中，则下一次由接下来的第 1 个人进行射击； 若当次射击未命中，则跳过 1 个人，下一次由接下来的第 2 个人进行射击.
(1)前 3 次射击结束，求丙未进行射击的概率；
(2)若第 次由甲、乙、丙射击的概率分别为 ， ， .
① 求 ;
② 若前 次射击中，丙射击的次数记为 ，求 .
2026 届高三第二次质量检测 数学参考答案及多维细目表
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D A B C D C
题号 7 8 9 10 11
答案 A B ABD AC ABD
1.【答案】D
.
2.【答案】A
.
3.【答案】B
由题意得 ,故 是 的必要不充分条件.
4.【答案】C
5.【答案】D
由题意得 ,两式平方相加得 ,整理得 .
6.【答案】C
先排男生, 号数从大到小排法唯一, 然后让女生插空, 共有 种排法.
7.【答案】A
, 对 且 ,令 ,则 ,两式相加得 ,故 .
8.【答案】B
设直线 的斜率为 , ,将 1 两式相减并整理得 .
又 ,把 代入并整理得 ,由 ,得 .
时, 取最大值为 ,即 的最大值为 .
9.【答案】
选项 正确;
选项 B 正确；
选项 C 错误;
选项 D 正确.
10.【答案】
平面 平面 ,平面 平面 , 平面 .
又 平面 . 又 平面 .
平面 平面 平面 选项 正确;
如图 1,假设 平面 ,设平面 交直线 于点 ,连接 .
图 1
平面 .
由 易知 平面 ,可得 四边形 为平行四边形, . 由 可知 与 不可能相等, 选项 B 错误;
易知 平面 . 选项 C 正确;
如图 2,连 交于点 ,则 .
图 2
在 上取点 ,使得 ,连接 , 即为 与 所成的角.
由 平面 可得 ,易知 .
在 中,易知 选项 D 错误.
11.【答案】
时, ,且 与 分别在各自定义域内为增函数, 选项 正确；
在区间 上, 的值域为 ; 在区间 上, 的值域为 选项 B 正确;
当 时, 关于原点对称的图象的解析式为 ,令 ,则 在区间 上单调递增,且 在区间 , 上无零点,故 与 无公共点, 选项 C 错误;
时, 与 有公共点,
设为 ,则 ,
,
选项 D 正确.
12.【答案】
, 令 ,则 ,故 在区间 上的值域为 ,即 .
13.【答案】 24
由题意得 解得
.
数对 的取值共有 3 个: , 55), 的最小值为 .
14.【答案】 或 (写 也给分)
设 , ,由题可知 -1,即 ,即 斜边上的高为 .
又 4) ,整理得 与 ,
,
点 坐标为 或 .
15. 解: (1) 依题意,设 ,由余弦定理得 , 1 分 . 2 分 . , . 5 分 (2)如图，延长 至点 ，使 ，则 . 7 分
又 ，而 . (此处直接运用中线定理也给分) 9 分 11 分又 . . 13 分
16.(1)证明: ， , 即 .
同理,可得 .
,平面 平面 , 平面 ,平面 平面 平面 . 又 C平面 . 3 分又 平面 .
平面 .
.
又 平面 分 (2)解:如图，以 为原点， ， 所在直线分别为 轴、 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
, , . 8 分设平面 的法向量为 ,则 即 取 , 得 . 10 分设平面 的法向量为 ,则 即 取 , 得 . 12 分
二面角 的正弦值为 . 15 分
17. 解: (1) 由题意得 ,设 ,则 ,即 . 1 分由 ,得 . …… 3 分
与 联立,解得 双曲线 的标准方程为 . 6 分
(2)设 为双曲线上的动点，则
. 10 分
关于 的二次函数
的对称轴为 ,由题
意,当 时取最小值, 需满足
4，即 . 15 分
18. 解: (1) 当 时, , 的单调递减区间为 . (答 也给分) 4 分 (2)依题意得 时， . 6 分令 ,则 为减函数.
分 (3)当 时， 10 分 ,故在区间 上, 为减函数; 在区间 上, 为增函数.
又 . 11 分又 ,当 时, ,此时 单调递增, ; 当 时, ,此时 单调递减, ; 当 时, 单调递增, 13 分 当 时, 在区间 上取最小值为 . 14 分当 时, ,不合题意; 当 时, ,不合题意. 16 分综上所述， . 17 分
19. 解:(1)依题意得前两次射击情形为甲命中，乙未命中， 其概率为 . 4 分 (2)①依题意得 ， 5 分且 . 8 分故 , ,且 , . 9 分综上所述， . 10 分 ② 设第 次射击时，丙射击的次数为 ，则 的可能取值为 0,1 .
, 14 分 . 17 分

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