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高三内部练 数 学
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 复数 的实部为
A. -4 B. -3 C. 3 D. 4
3. 函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象,则
A. -5 B. C. D. 5
4. 已知单位向量 满足 ,则 与 的夹角为
A. B. C. D.
5. 已知 是函数 图象的一条对称轴,且 的周期为 4,当 时, ,则
A. 1 B. 0 C. -1 D.
6. 记 为等差数列 的前 项和,已知 ,则
A. B. C. D.
7. 已知点 ,点 是圆: ( 为实数) 上一动点,其中点 为此圆的圆心，则 的最大值为
A. B. C. D.
8. 已知函数 ,则不等式 的解集为
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知函数 ,则
A. 曲线 在点 处的切线方程为
B. 在 上单调递增
C. 在 上有极大值 -11
D. ,使得
10. 在平面直角坐标系 中,已知 ,点 在 轴上运动,点 在 轴上运动,且 ,动点 满足 ,记动点 的轨迹为 ,则 A. 的方程为
B.
C. 的最大值为 9
D. 曲线 上有且仅有两点到直线 的距离为 1
11. 记 为数列 的前 项和,已知 为实数,则
A. 当 是等比数列时,则 ,且
B. 当 时,则
C. 当 时,数列 的前 项和为
D. 当 时,数列 第 7 项的值最大
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知一组样本数据7,9,10,5,6,11,8,12,4,10,则该组数据的下四分位数为_____.
13. 已知圆台的体积为 ，上底面半径为 1，母线与下底面所成角的余弦值为 ，则该圆台的下底面半径为_____.
14. 已知抛物线 的焦点为 ,过点 且斜率不为零的直线与 交于 两点,线段 的垂直平分线与 轴交于点 ,若 ,则
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
设 的内角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的值.
16.(15 分)
甲、乙两人进行比赛, 采用三局两胜制, 即先胜两局者获胜, 比赛结束. 已知甲第一局获胜的概率为 ,从第二局开始,若甲上一局获胜,则该局甲获胜的概率为 ,若甲上一局失败，则该局甲获胜的概率为 ，且每局比赛没有平局.
(1)求第二局比赛甲获胜的概率；
(2)设比赛结束甲获胜的局数为 ，求 的分布列和数学期望.
17.(15 分)
如图，在 中， 为 的中点，过 作 ， 交 于 ,将四边形 沿 翻折至四边形 ,使得平面 平面 .
(1)证明: 是直角三角形.
(2)若 五点均在球 的球面上.
(1)求球 的表面积；
(i)求平面 与平面 夹角的余弦值.
18.(17分)
已知 分别是双曲线 的左、右顶点,且 ,动点 在 上,当 时, .
(1)求 的标准方程.
(2)已知 是 的右支上不同于 的两点.
(1)若线段 的中点为 ，证明:直线 的斜率为定值；
(ii) 若点 ,直线 的斜率互为相反数,且 ,求 的面积.
19.(17分)
已知函数 .
(1)当 时，求 的极值;
(2)当 时,证明: ;
(3)已知 ，证明: .
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数学 参考答案
1. C 因为 ,所以 .
故选 C.
2. A ,则 的实部为 -4 .
故选 A.
3. D 由题意可知,函数 的图象向左平移 个单位长度得到 的图象,则
故选 D.
4. B 由 两边平方得, ,所以 ,所以 ,则 ,故 与 的夹角为 .
故选 B.
5. C 因为 的周期为 4,所以
又 是函数 图象的一条对称轴,所以 ,则 . 故选 C.
6. A 设等差数列 的公差为 ,则 解得 ,
所以 ,则 .
故选 A.
7. B 圆: 的圆心为 ,半径为 ,
当直线 与圆相切时, 取得最大值,在
Rt 中, ,
要使 最大,则 取得最小值,所以 的最大值为 .
故选 B.
8. D 令 ,因为 ,所以 为奇函数,
设 ,则 为偶函数,当 时, 单调递增,且 为增函数,且 ,所以 在 上单调递增,故 在 上单调递减.
不等式 化为 2) ,即 ,
又 ,所以 ,即 ,所以 ,则 或 ,解得 或 .
故选 D.
9. AC 的定义域为 ,则 ,
则 ,又 ,所以曲线 在 处的切线方程为 , 即 正确;
令 ,即 ,解得 或 , 所以 在 和 上单调递增, 令 ,即 ,解得 或 ,所以 在 和 上单调递减, B 错误; 由上可知, 在 上有极大值,且 , C 正确;
由上知, 在 上有最小值,且 ,所以不存在 ,使得 , D 错误.
故选 AC.
10. BCD 设 , 由 ,得 ,
,因为 ,所以 ,
则 解得 代入 ,得 ,所以 的方程为 , A 错误;
,又 ,所以当 时, 取最小值 1,当 时, 取最大值 3,所以 正确;
易知 是椭圆 的两焦点,所以 ,
则 ,当且仅当 时取得等号, 正确;
整理得 ,因为 ,所以直线 与椭圆 没有交点,
设直线 与椭圆 相切,将 代入 得 , 则 ,解得 , 当 时,平行直线 与 之间距离为 ,
即曲线 上点到 的最大距离为 当 时，平行直线 与 之间距离为 ,
即曲线 上点到 的最小距离为
所以曲线 上只有两点到直线 的距离为 1, D 正确.
故选 BCD.
11. ACD 由 ,得当 时, ,所以 ,
则 ,整理得 , 当 是等比数列时,则 为非零常数,
所以 解得 ,且 正确;
当 时,由上可知, ,当 时, ,所以 ,此时 是公比为 的等比数列,
所以 ,
因为 ,所以 , B 错误;
当 时, ,当 时, ,所以 ,此时 是公比为 2 的等比数列,
则 ,设数列 的前 项和为 ,
所以 ,
所以 ,则 1) , 正确;
当 时, ,当 时, ,
所以 ,此时 是公比为 的等比数列, 所以 ,
设 ,则
令 ,即 ,
当 时,易知函数 单调递减,当 时, , 而 ,所以 .
当 时, ,而 ,所以 ,
综上知,当 时, ,当 , 时, ,
即 ,
所以数列 第 7 项的值最大, D 正确.
故选 ACD.
12.6 将该组数据从小到大排列为:4,5,6,7, 8,9,10,10,11,12,因为 ,所以该组数据的下四分位数为 6 .
13.2 如图所示,梯形 为圆台的轴截面,过点 作 ,垂足为 ,
由题意可知 为母线与下底面所成的角,则 ,
设下底面半径为 ,则 ,
所以 ,
所以 ,所以 ,则 ,解得 .
14.6 设直线 的方程为 ，
由 整理得 ,
则 ,
所以 ,则
设线段 的中点为 ,则 ,
所以线段 的垂直平分线的方程为
令 ,解得 ,即 , 所以 ,
又 ,所以 ,解得 ,
所以 ,故 .
15. 解: (1) 由 ,得 ,即 (2 分)
由余弦定理得 , (4 分)
因为 ,所以 . (6 分)
(2)由 的面积为 ，得
则 ,又 ,所以 , (8 分)
代入 ，得 ，解得 . (10 分)
由正弦定理,得 ,所以 , (12 分)
故 . (13 分)
16. 解:(1)记第 1 局甲获胜为事件 ，则 (3 分)
第二局比赛甲获胜的概率为 (6 分)
(2) 的可能取值为 0,1,2, (7 分)
(8 分)
(10 分)
(12 分)
所以 的分布列为
0 1 2
11
(13 分)
(15 分)
17. 解: (1) 证明: 因为 ,所以 , , (1 分)
因为平面 平面 ,且平面
平面 ,
所以 平面 . (2 分)
因为 平面 ,所以 . (3 分)
故 是直角三角形. (4 分)
(2)(i)由(1)知， 两两互相垂直，以 为原点,以 所在直线分别为 , 轴建立如图所示空间直角坐标系,则 ,
因为 ,所以四边形 的外接圆的圆心 为 的中点,则 ,
因为 平面 ,设 , (7 分)
设半径为 ,
由 ,得
解得 , (8 分)
所以 (9 分)
故球 的表面积为 . (10 分)
(ii) 易知平面 的一个法向量为 , 0); (11 分)
设平面 的法向量为 ,
由
得 取 ,则 , (13 分)
设平面 与平面 的夹角为 ,
于是 ,(14 分) 故平面 与平面 夹角的余弦值为 .
(15 分)
18. 解: (1) 根据题意可知,
即 (2 分)
解得 , (3 分)
故 的标准方程为 . (4 分)
(2)(i)证明:设 ，则 (5 分)
两式相减,并整理得, , (6 分)
因为线段 的中点为 ,所以 (7 分)
所以 , (8 分)
整理得 , (9 分)
故直线 的斜率为定值 . (10 分)
(ii) 设直线 的方程为 ,
因为直线 的斜率互为相反数,则直线 的方程为 ，(11 分)
联立 整理得 ,由 ,得
则 ,所以 (12 分)
同理 ,(13 分) 所以 的面积为
. (14 分)
设 的倾斜角为 ,则 的倾斜角为 , 当 时, ,解得 ,
当 时, 解得 ,
所以 , (16 分)
故 . (17 分)
19. 解: (1) 当 时, 的定义域为 , (1 分)
(2 分)
当 时, ; 当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减, (3 分)
故 的极大值为 ，无极小值. (4 分)
(2)证明:当 时，设
则 , (5 分)
设 ,则
因为 在 上均单调递减,所以 在 上单调递减,
又 ,所以存在 ,使得 . (6 分)
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减, (7 分)
因为 ,
所以存在 ,使得 ,(8 分) 当 时, ,当 时,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减, (9 分)
又 ,
所以 在 上恒成立, 故 . (10 分)
(3)证明:由(1)可知， 0,即 ,当 时取得等号.
(11 分)
设 ,则 ,所以 在 上单调递增,
(12 分)
因此 ,所以 ,则 ,
故 .
取 ,则 ,所以 因此 ,
所以 1), (15 分)
由 (2) 得 ,
取 同理得 , (16 分)
综上可知, (17 分)

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