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湖北襄阳市第五中学 2025 - 2026 学年高一下学期 4 月月考测试 数学试题
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分, 每小题只有一个选项符合要求
1. 化简 得
A. B. C. D.
2. 已知 的内角 所对的边分别为 ,且 ,则 外接圆的半径为
A. 5 B. 10 C. D.
3. 已知 为平面内一组基底, ,若 三点共线,则 的值为
A. -2 B. -5 C. 2 D. 5
4. 若平面上的三个力 作用于一点,且处于平衡状态. 已知 与 的夹角为 120°，则 的大小为
A. B. C. D.
5. 已知 ,则
A. B. C. D.
6. 在 中,角 的对边分别为 ,已知 ,则
A. B. C. D.
7. 已知扇形 的半径为5,以 为原点建立如图所示的平面直角坐标系, ,弧 的中点为 ,则
A. B.
C. D.
8. 已知 中, ,且 的最小值为 ,则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求。全 部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 在 中,已知 . 则
A. 为锐角三角形 B. 的面积为
C. D.
10. 已知非零向量 满足 ,则
A. 的夹角为
B.
C. 若 ,则 的外接圆半径长为
D. 若 ，向量 满足 ，则 的最大值是
11. 如图，在 中， ， 为 边上的中点， ， ，且 ，则
A. 外接圆的半径为 B.
C. 的最大值为 3 D. 的最大值为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分
12. 海军某登陆舰队在一次海上训练中,雷达兵在 处发现在北偏东 方向,相距 30 公里的水面 处,有一艘 舰艇发出液货补给需求，它正以每小时 50 公里的速度沿南偏东 方向前进，这个雷达兵立马协调在 处的 舰艇以每小时 70 公里的速度，沿北偏东 方向与 舰艇对接并进行横向液货补给。 若 舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则 _____.
13. 在平行四边形 中, ,则 _____.
14. 在 中， ， ， 为 三边，若 ，则 面积的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 已知平面向量 ,且 .
(1)若 ，且 ，求 的坐标；
(2)若向量 与 的夹角是锐角,求实数 的取值范围.
16. 已知 ,且 .
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3) 求角 的大小.
17. 在 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，向量 ， ，且 .
(1)求角 ；
(2)若角 的平分线交 于点 ，求 的周长.
18. 如图,已知 的内角 所对的边分别为 ,面积记为 ,且 是 的中点,点 在线段 上且 ,线段 与线段 交于点 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ,求 的值；
(3)若 ，且点 是 的重心，求线段 的最小值.
19. 如图,设 是平面内相交成 的两条对线, 分别为 同向的单位向量,定义平面坐标系 为 仿射坐标系，在 _____，仿射坐标系中，若 ，则记 .
(1)在 仿射坐标系中，若 ，求 ；
(2)在 仿射坐标系中，若 ， ，且 与 的夹角为 ，求 ；
(3)如图所示，在 仿射坐标系中， 、 分别在 轴、 轴正半轴上， ， ， 、 分别为 、 中点,求 的最大值.
参考答案
1. A
.
2.
因为 ,所以 . 所以 ,故 外接圆的半径为 5 .
3.
由 ,又 ,且 三点共线,
所以 ,则 .
4.
因为 与 的夹角为 ,
根据余弦定理,可得 与 的合力为 ,
因为三个力处于平衡状态,合力为 0 ,
所以 的大小为 .
5. A
由题意,因为 ,所以
所以 .
6.
因为 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,或 舍去,可得 ,
因为 ,由正弦定理得 ,所以 ,
因为 ,所以 ,可得 ,所以 .
7.
令 ，则 ，解得 ，
即 ,又 ,又 ,解得 ,
即 ,所以 .
8.
设 ,
则 ,
从而 三点共线.
当 时， 最小，
则 时, ,又 ,从而
又 三点共线，则 ,故 ,
所以 .
9.
对于 ,因为 ,则角 最大,
由余弦定理可得 ,
即角 为锐角，所以 为锐角三角形，故 正确；
对于 ，由 可得 ，则 ，
则 ,故 正确；
对于 ,由余弦定理可得 ,故 错误;
对于 ，由正弦定理可得 ，即 ，故 错误.
10. BCD
非零向量 满足 ,设 ,则 ,
对于 ,由 ,得 ,解得 ,
,而 ,则 错误;
对于 正确;
对于 ,由选项 知, ,则 的外接圆半径 正确;
对于 ,显然 ,由 ,
得 ,则 ,当且仅当 时取等号,
于是 ,解得 ,因此 的最大值是 正确.
11.
对于选项 : 根据正弦定理可得 ,解得 ,
所以 外接圆的半径为 错误；
对于选项 在 中, ,所以 .
在 中, ,所以 .
因为 ,
所以 正确；
对于选项 根据余弦定理得 ,
可得 ,
所以 ,当且仅当 时等号成立,此时 的最大值为 正确;
对于选项 因为 ,
所以 .
因为 ,所以 ,
所以 ,
当 时, ,所以 ,此时 取最小值.
所以 的最小值为 错误.
12.
如图,设 舰艇经过 小时后在 处与 舰艇汇合,则 .
根据余弦定理得 ,解得 或 (舍去),
故 . 由正弦定理得 ,解得 .
13.
依题意 ,所以 ,
所以 .
14.
由三角形面积公式可得 ,
可得 ,
,
,
当且仅当 时等号成立,当 时, 取得最大值 ,
所以 的最大值为 .
15. (1) 设 ,即 ;
又 ,解得 或 ,
或 .
(2) 由题可知, ,
与 的夹角是锐角, ,解得 ,
又 与 不共线， ，即 ，
实数 的取值范围是 .
16. (1) 因为 ,所以 . 又 ，所以 ，
所以 .
而 ,所以 ,
所以 .
(2) 由 且 ,得 ,
所以
.
又 ,所以 .
(3) 由 (2) 知 ,所以 ,
所以
.
又 ,所以 .
所以 .
17. (1) 因为 ,所以 .
因为 ,所以 ,
整理可得 .
因为 ,所以 ,从而 ,即有 .
又 ,所以 .
(2)在 ，角 的平分线交 于点 ， ，
由三角形内角平分线定理可知: .
设 ,则 .
由 (1) 知, ,
由余弦定理可得: ,
整理可得 .
又 ,
即 ,
解得 ,
所以 周长为 .
18. (1) 因为 ,则 ,
可得 ，
则 ,可得 ,
又因为 ,则 ,
则 ，所以 .
(2) 由题意可得: ，
由 三点共线得 ,
由 三点共线可得 ,
则 ,解得 ,
可得 ,可得 ,
所以 .
(3)由重心定义得 ，则 ，
又因为 ,可得 ,
可得
,
当且仅当 时，等号成立，
即 ,所以线段 的最小值为 .
19. (1) 由题意可知, 的夹角为 ,
由平面向量数量积的定义可得 ,
因为 ,则 ,
则 ,
所以 .
(2) 由 ,得 ,
且 ,
所以 ,
则 ,
因为 与 的夹角为 ,所以 ,解得 .
又 ,所以 .
(3)依题意，设 、 ，且 ，
因为 为 的中点，则
因为 为 中点，同理可得 ，
所以 ,
由题意知 ,
则 ,
在 中,依据余弦定理得 ,所以 ,
代入上式得, .
在 中,由正弦定理得 ,
设 ,则 ,且 ,
所以 ,
为锐角,且 ,
因为 ,则 ,
故当 时, 取最大值 ,
则 .

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