资源简介

2026 年 4 月高三年级适应性考试 数 学
2026.4
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，满分 150 分. 考试时间为 120 分钟.
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将姓名、准考证号用钢笔填写在答题卡相应位置上.
2. 回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.
3. 回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
4. 请保持答题卡平整，不能折叠，若试结束后，监考老师将试题卷、答题卡一并收回。
第 I 卷 (选择题 共 58 分)
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
1. 设复数 ，则
A. 0 B. 1
C. D. 3
2. 已知命题 ; 命题 . 则
A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题
C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题
3. 已知样本数据 的平均数为 2,方差为 3,设 的平均数为 ,方差为 ,则
A. B.
C. D.
4. 已知 是定义在 上的奇函数,当 时, ,则
A. -2 B. 1
C. -1 D. 2
5. 如图，已知两个正方形 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直. 点 分别在正方形对角线 和 上移动，且 . 当 的长最小时,直线 和 夹角的余弦值是
A. B. 0
C. D.
6. 已知函数 ,则
A. 函数 有 3 个零点 B. 曲线 存在一条对称轴
C. 函数 有 3 个极值点 D. 曲线 的对称中心在 轴上
7. 已知 ,且 ,则 的最小值是
A. 2 B. 4
C. D.
8. 设 是椭圆 的左、右焦点， 是 上一点，记 . 若 ，则 的离心率为
A. B.
C. D.
二、多项选择题: 本题共 3 个小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多 项符合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知函数 ,则
A. 的最小正周期为
B. 图象的一条对称轴是
C. 在区间 上有 6 个零点
D. 图象的一个对称中心是
10. 已知抛物线 的焦点为 ，过 的一条直线交 于 ， 两点，过 ， 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ， ，设 为线段 的中点，则
A. B.
C. D.
11. 已知数列 满足 ,若存在正整数 , 使得等式 成立，则下列结论正确的有
A. B.
C. D.
第II卷(非选择题 共 92 分)
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量 ， . 若 ，则 _____.
13. 已知 内接于单位圆，且 ，则 面积的最大值是_____.
14. 一个圆锥的底面半径为 ,高为 ,且圆锥表面积为 ,体积为 . 设 ,则当 _____时， 取得最小值，最小值为_____.
四、解答题:共5个小题，满分77分。解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本题满分 13 分)
设等比数列 的前 项和为 ,首项为 ,公比为 .
(1)请推导前 项和公式 ；
(2)是否存在常数 ，使得 是等比数列 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
16.(本题满分 15 分)
如图所示， 是半圆 的直径， 是半圆 上除 、 外的一个动点， 垂直于半圆 所在的平面， .
(1)证明:平面 平面 :
(2)当 点为半圆的中点时，求面 与面 所成的二面角的正弦值.
17.(本题满分 15 分)
已知椭圆 的左、右顶点分别为 ,右焦点为 ,已知 .
(1)求椭圆 的方程和离心率；
(2)点 在椭圆 上(异于椭圆 的顶点)，直线 交 轴于点 ，若 的面积是 面积的二倍.
(i) 求直线 的方程.
(ii) 若直线 与抛物线 交于 两点,求证: 以 为直径的圆与抛物线 的准线相切.
18.(本题满分17分)
甲、乙两选手进行象棋比赛,设每局比赛甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 .
(1)若采用 3 局 2 胜制，设 ，求甲最终获胜的概率；
(2)设 ，那么采用 3 局 2 胜制还是采用 5 局 3 胜制对甲更有利？
(3)设在 局 胜制中，甲最终获胜的概率为 . 试求出函数 图象的对称中心，并推导 的解析式.
19. (本题满分 17 分)
已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)设 为两个不相等的正数，且 ，
证明: .
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B D A B A D C BC BCD ACD
12. -2
13.
14.
15. 解 (1) 证明: 显然 . 当 时, ,此时 .
当 时， ，即
①
用公比 乘①的两边，得
②
①-②，得
所以 .
综上,
6 分
(2)当 时， . 显然不存在常数 ，使得 是等比数列.
当 时, .
令 ,则 ,所以 .
因为 ,所以 是等比数列.
因此,当 时,存在常数 ,使得 是等比数列.
13 分
16. 解: (1) 证明: 是直径, ,
平面
平面
四边形 是平行四边形,
则 平面
平面 平面 平面
7 分
(II) 解: 依题意,以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 ,
,
设平面 的一个法向量为 ,
令 ,得
设平面 的一个法向量为 ,
,即
令 ,得
面 与面 所成的二面角的正弦值
15 分
17. 解: (1) 由题意得 ,解的 ,所以
所以椭圆方程为 ,离心率为
.5 分
(2)(i)由题意得，直线 斜率存在。有椭圆方程为 可得 设直线 方程为
联立方程组 消去 整理得:
有韦达定理得 ,所以 ,
所以
所以 ,
,即 ,
,所以直线 方程为 .
10 分
(ii) 由题意知抛物线 的焦点坐标为 ,
因为 方程为 ,则 过焦点 ,
设直线 与抛物线交于 两点,
分别过 两点和 的中点 作抛物线 的准线 的垂线,垂足分别为 , 由抛物线定义知: ,且 为梯形 的中位线,
三点共圆,且 ,
以 长为直径的圆与抛物线的准线相切.
( 方程为 同理可得)
15 分
18. 解:(1)采用 3 局 2 胜制，甲最终获胜有两种可能的比分 2:0 或 2:1 , 前者是前两局甲连胜, 后者是前两局甲、乙各胜一局且第 3 局甲胜. 因为每局比赛的结果是独立的, 甲最终获胜的概率为
5 分
(2)若采用 3 局 2 胜制，甲最终获胜，其胜局的情况是:“甲甲” 或 “乙甲甲” 或 “甲乙甲”. 因为每局比赛的结果是独立的, 甲最终获胜的概率为
若采用 5 局 3 胜制，甲最终获胜，至少需要比赛 3 局:
若是 3 局, 则其胜局的情况是: “甲甲甲”.
若是 4 局,则第 4 局甲胜,前 3 局甲胜 2 局,有 种胜局情况,即是: “甲乙甲甲” 或 “乙甲甲甲” 或 “甲甲乙甲”.
若是 5 局,则第 5 局胜,前 4 局胜 2 局,有 种胜局情况.
因为每局比赛的结果是独立的, 甲最终获胜的概率为
作差+因式分解
当 时, ; 当 时, .
故当 时,对甲来说采用 5 局 3 胜制为有利. 当 时两种赛制甲、乙最终获胜的概率相同,都是 .
11 分
(3)甲最终获胜的概率为 . 考虑选手乙，其每局获胜概率为 . 在相同赛制下，乙最终获胜的概率为 . 由于比赛必有唯一获胜者,故
特别地,取 ,得 ,即 .
因此,点 是函数 图像的对称中心.
在 胜制中,甲需先赢得 局. 比赛最多进行 局. 甲在第 局 获胜的条件是: 前 局中甲恰好赢了 局,且第 局甲赢. 因此,
易知 是 的多项式.
进一步,将 写成多项式形式: ,
其中 为系数. 由于 时甲必胜,即 ,代入得 .
注意到幂次从 到 共有 项. 令 ,则
综上, 的解析式写成以下三种形式:
或 ,且 .
或 ,且 .
17 分
19. 解: 1) 因为 ,且 时 ,当 时 ,所以 的单调递减区间是 ,单调递增区间是 .
5 分
(2) .
令 ,设 ,则 .
故问题等价于证明: .
不妨设 ,则 .
先证明左边: .
证明: 设 .
则 ,
因为 ,于是
所以 在 上单调递增,故 ,从而 在 上单调递减,所以 ,即 .
又 ,且 ,所以 .
又因为 ,且 在 上单调递增,
所以 ,故 .
11 分
再证明右边不等式: .
证明: 有 ,可得 ,所以 .
令 ,其中 .
当 时,显然有 .
下面讨论 的情形.
因为 ,易知当 时, ; 当 时, .
所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
所以
.
记 ,则 .
记 ,则
记 ,则
所以 在 上单调递增,得 ,所以 ,故 在 上单
调递减,所以 ,即 ,所以 在 上单调递减,故 ,得证.
.17 分

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