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(在此卷上答题无效) 福州市 2026 届高中毕业班 4 月适应性练习 数 学
(完卷时间专 120 分钟; 满分: 150 分)
友情提示:请将所有答案填写到答题卡上! 请不要错位、越界答题!
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集 ,集合 ,则
A. B. C. D.
2. 已知复数 在复平面内对应的点位于第二象限,则下列结论一定成立的是
A. B. C. D.
3. 某次测试中, 某 10 人的成绩 (单位: 分) 分别为: 48, 75, 58, 66, 78, 82, 84, 78, 86, 91, 则这组数据的第 80 百分位数是
A. 78 B. 82 C. 84 D. 85
4. 设 是两个不重合的平面,则 的充要条件是
A. 存在无数条直线与 都平行
B. 存在无数个平面与 都垂直
C. 对任意的直线 ,都存在直线 ,使得
D. 对任意的直线 ,都存在直线 ,使得
5. 已知函数 为增函数,则 的最小值是
A. B. 2 C. 4 D. 5
6. 已知三棱锥 的体积为 . 若该三棱锥的四个顶点都在球 的球面上,则球 的表面积为
A. B. C. D.
7. 已知数列 的前 项和为 ,若 ,则
A. 16 B. 18 C. 20 D. 22
8. 已知函数 有且仅有 3 个极值点 , 且 ,则
A. 为奇数 B. 为奇数
C. 若 ,则 D. 若 ,则
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，圆 过点 . 下列说法正确的是
A.
B. 的方程为
C. 若圆心 在 上，则圆 与 相切
D. 若圆 与 相切,则圆心 在 上
10. 已知函数 ) 的部分图象如图所示,点 在 的图象上. 下列说法正确的是
A. 的最小正周期是
B. 在区间 单调递增
C. 的一个对称中心是
D. 的图象可以由 的图象向左平移 个单位长度得到
11. 已知公差为 的等差数列 的前 项和为 ,公比为 的等比数列 的前 项和为 ,且 . 下列命题正确的是
A. 当 时,
B. 当 时,
C. 当 时,
D. 当 时,集合 可能有三个元素
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知单位向量 满足 ，则 _____.
13. 为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战, 某研究所设立了资源组、电芯组、 基建组三个攻关小组. 现安排甲、乙等 5 名工作人员到这三个小组协助工作， 且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是_____. (用数字作答)
14. 在平面凸四边形 中, 的面积为 . 当 最大时,四边形 的面积为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
已知函数 .
(1)若 是奇函数，求 ；
(2)当 时， 的所有正零点从小到大排列构成数列 ，求 的前 20 项和 .
16.(15分)
已知函数 .
(1)当 时,求曲线 在点 处的切线方程;
(2)若 ，求 的取值范围.
17.(15分)
已知椭圆 的左、右焦点分别为 是 上的动点,且 不在 轴上. 当 轴时, .
(1)求 的方程；
(2)点 分别在直线 与 上，且 . 证明: 三点共线.
18.(17分)
某盲盒商店调查数据显示,顾客一次性购买某种文创盲盒数量 的分布列为
0 1 2 3
其中 .
(1)当 时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值；
(2)已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为 ，每个盲盒是否为封面款相互独立. 若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量, 则称此顾客为幸运客户. 现从顾客中随机选取一人.
(i) 求该顾客为幸运客户的概率 ;
(ii) 若该顾客是幸运客户,他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过 , 求 的取值范围.
19.(17分)
已知 平面 ，垂足为 ，直线 ， 是 内的动点，且 始终在 的两侧.
(1)若 ，证明: 是锐角三角形；
(2)若 是线段 上靠近 的三等分点， .
(i)证明:二面角 为锐角；
(ii) 直线 与 所成的角分别为 ,记 . 若平面 , 且 不是任何一个长方体的截面,求 的最小值.
2026 届高中毕业班适应性练习(四月) 数学参考答案及评分细则
评分说明:
1. 本解答给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4. 只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
一、单项选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D C C B C D
二、多项选择题
题号 9 10 11
答案 BCD AD ACD
三、填空题
12. 60° 13. 30 14.
四、解答题
15.解法一:(1)因为 为奇函数，所以 ， I分
即 恒成立.
得 恒成立, 2分
所以 恒成立, 3分
所以 恒成立, 4分
所以 , 5分
解得 . 6分
(2) 因为 ,所以 ,
令 ,则 , 8分
所以 或 , 10分
解得 或 , 11分
令 ,则 ,
所以 , 12分
所以 . 13分
解法二: (1) 因为 为 上的奇函数,所以 , 2分
所以 , 3分
解得 , 4分
经检验, 是奇函数,
所以 . 6分
(2)因为 ,所以 , 7分
令 ,则 , 9分
所以 , 10分
所以 或 ,
解得 或 或 , 11分
令 ,
则 ,
所以 ,
所以 . 13分
解法三: (1) 同解法一. 6分
(2)因为 ，所以 ，因为 ，
所以 是 的一个周期, 7分
当 在 时,令 ,则 , 9分
解得 , 10分
所以 在区间 的零点之和为 . 11分
令 ,
则 是以 为首项， 为公差的等差数列， 12分
所以 13分
16.本小题主要考查导数的几何意义、导数的应用等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性. 满分 15 分.
解法一:(1)函数 的定义域为 ， . 2 分
当 时，因为 ，所以 ， 3 分
又 , 4 分
所以曲线 在点 处的切线方程为 ,
即 . 7 分
(2) (i) 当 时， 不符合题意，舍去； 9 分
(ii) 当 时, 显然成立; 11 分 (iii)当 时,令 ,得 ,令 ,得 ;
所以 在 单调递减，在 单调递增. 13 分
所以 ,解得 . 14 分
综上所述， 的取值范围为 . 15 分
解法二: (1) 同解法一. 7 分
(2) 由已知，得 .
(i)当 时，可得 . 8 分
因为 ,所以 , 9 分
又因为 时, ,
所以 ; 10 分
(ii)当 时, 恒成立,所以 ; 11 分
(iii) 当 时,可得 .
令 , 12 分
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增； 13 分
所以 ,所以 . 14 分
综上所述， 的取值范围为 . 15 分
17.本小题主要考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系、三点共线等基础知识，考查逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力等，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想等，考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性与综合性. 满分 15 分.
解法一:(1)当 轴时， ，
所以 , 1 分
所以 , 3 分
从而 , 5 分
故 的方程为 . 6 分
(2) 设 , 7 分
则 ,即 . 8 分
又 ,
所以 . 10 分
因为 ,
所以 , 12 分
两式相加、减,得 , 13 分
又因为 ,
14 分
所以 和 ，故 三点共线. 15 分
解法二: (I) 当 轴时, ,
所以 或 , 1 分
所以 ①, 2 分
又 ②, 4 分
由①②，解得 ， 5 分
故 的方程为 . 6 分
(2)设 ，则 ，即 . 7 分 (i)当直线 斜率均存在时, ,
所以直线 , 9 分
由 得 , 10 分
由 得 , 11 分
所以 ,
因为 ,
所以 和 ，故 三点共线. 12 分
(ii)当直线 或 斜率不存在时，根据对称性，不妨设 斜率不存在，且 ，
此时点 ,故直线 ,从而 ,则 ,
所以 三点共线. 14 分
综上， 三点共线. 15 分
18.本小题主要考查随机变量的分布列、数学期望、条件概率与全概率公式等基础知识，考查数学建模能力、运算求解能力等，考查分类与整合思想、概率与统计思想等，考查数学运算、逻辑推理、数据分析、数学建模等核心索养等.体现基础性，应用性.满分 17 分.
解: (1) 由题可知, , 1 分
化简可得 , 2 分
当 时， ，
则 ,
即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为 . 4 分
(2)(i)设事件 “一次性购买 个文创盲盒”( )，事件 “顾客为幸运客户”，
5 分则 .
依题意,得 , 6 分
因为每个盲盒是否为封面款相互独立,
所以 , 8 分
又由题意知, ,且 两两互斥, 9 分
所以 , 11 分
由 (1) 得, ,代入化简可得 ,
所以 . 12 分
(ii) 设事件 “一次性购买的文创盲盒全部是封面款”,
依题意,得 , 13 分
且 两两互斥,
所以 , 14 分
由 (i) 得, ,
所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为
16 分
由题意 ，可得 ，解得 ，
又因为 ，所以 . 17 分
19.本小题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成角，二面角，平面轨迹方程等基础知识；考查运算求解法一:(1)因为 平面 ，所以 . 1 分
不妨设 ,且 ,
因为 ,所以 ,
所以 ，所以 为 的最大内角. 2 分
由余弦定理,得 , 3 分
所以 ，所以 是锐角三角形. 4 分
(2)(i)因为 ， 在 上，且 ，
由对称性知 在同一个轨迹上，且轨迹关于 对称，
故以 为原点， 分别为 轴和 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 .
设 ,因为 ,所以 .
因为 是线段 上靠近 的三等分点,
故 ,即 , 5 分
故 ,
,
依题意得 ,化简得 , 6 分
且 ,即 ,故 ,又点 不在直线 上,故 ,
同理, ,且 , 7 分
故在坐标平面 中， 是双曲线 右支上的动点，且 在 轴的两侧，如图.
因为 的两条渐近线分别为 和 ,它们的夹角为 ,
所以 . 8 分
因为平面 平面 ,
所以 是二面角 的平面角，所以二面角 为锐角. 9 分
(ii) 因为 不是任何一个长方体的截面，所以 是直角三角形或钝角三角形. 10 分证明如下:
若 为锐角三角形,有 ,
可令 ,
则存在以 为共点棱的长方体, 为该长方体的截面.
由(1)知，若 是长方体的截面，则 是锐角三角形，
所以 不是任何一个长方体的截面等价于 是直角三角形或钝角三角形. 11 分
由 (i) 知, ,所以 ,又因为 ,
所以 ,故 . 12 分
因为 ,所以 分别是直线 与 所成的角,即 ,
不妨设 ,则 ,且 ,所以 , 13 分且 .
作 于 ，因为平面 ，平面 ， 平面 ，
所以 ,又 ,所以 .
因为 是线段 上靠近 的三等分点，所以 是线段 上靠近 的三等分点，
所以 ,即直线 过 , 14 分
所以 ,所以 , 15 分这样,问题等价于在平面直角坐标系 中, 在双曲线 的右支上,直线 过点 ,求 的最小值.
如图，不妨设点 在第四象限，则 ， . 因为 ， 都在双曲线的右支，故 ， 即 ,所以 ,又 ,
故 解得 即 , 16 分
所以 ,
当 ,即 时,等号成立.
故 的最小值为 . 17 分
解法二: (1) 因为 平面 ,所以 . 1 分
又因为 ,故可以 为原点, 分别为 轴, 轴和 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 . 2 分
设 ,所以 ,在 中,
,所以 为锐角,
,所以 为锐角,
,所以 为锐角,
所以 是锐角三角形. 4 分
(2)(i)同解法一. 9 分
(ii) 因为 不是任何一个长方体的截面，所以 是直角三角形或钝角三角形. 10 分证明如下:
若 为锐角三角形,有 ,
可令 ,
则存在以 为共点棱的长方体, 为该长方体的截面.
由( 1 )知，若 是长方体的截面，则 是锐角三角形，
所以 不是任何一个长方体的截面等价于 是直角三角形或钝角三角形. 11 分
作 于 ，因为平面 ，平面 ， 平面 ，
所以 ,又 ,所以 .
因为 是线段 上靠近 的三等分点，所以 是线段 上靠近 的三等分点，
所以 ,即直线 过 . 12 分
在平面直角坐标系 中,设直线 的方程为 ,
联立 得 ,
依题意,有 且
因为 ,所以 .
因为 ,
所以
, 13 分
,
同理 ,
不妨设 ,则必有 .
因为 ,
因为 且 ，所以 ，代入上式得到
14 分
所以 ,
又因为 ,所以 . 15 分
因为 ,所以 分别是直线 与 所成的角,即 ,
因为 ,所以 ,所以 ,所以 , 16 分 ,
当 ,即 时,等号成立.
故 的最小值为 . 17 分
解法三: (1) 因为 平面 ,所以 . 1 分
又因为 ,所以在 中,
,所以 为锐角, 2 分
,所以 为锐角, 3 分
,所以 为锐角,
所以 是锐角三角形. 4 分
(2)(i)同解法一. 9 分
(ii) 因为 不是任何一个长方体的截面，所以 是直角三角形或钝角三角形. 10 分证明如下:
若 为锐角三角形，有 ， ， ，
可令 ,
则存在以 为共点棱的长方体, 为该长方体的截面.
由(I)知，若 是长方体的截面，则 是锐角三角形，
所以 不是任何一个长方体的截面等价于 是直角三角形或钝角三角形. 11 分
由 (i) 知, ,所以 ,又因为 ,
所以 ,故 . 12 分
因为 ，所以 分别是直线 与 所成的角，即 ，
不妨设 ,则 ,且 ,所以 , 13 分且 .
作 于 ，因为平面 ，平面 ， 平面 ，
所以 ,又 ,所以 且 .
因为 是线段 上靠近 的三等分点，所以 是线段 上靠近 的三等分点，
所以 ,即直线 过 , 14 分
所以 ,所以 . 15 分
这样,问题等价于在平面直角坐标系 中, 在双曲线 的右支上,直线 过点 ,求 的最小值.
如图，不妨设点 在第四象限，因为 ，所以点 在以 为直径的圆 内(含边界)，记圆 与双曲线在第四象限的交点为 ，则 .
因为 在渐近线 的上方,故 ,而 ,故 ,即直线 与双曲线右支有两个交点 ,符合条件. 所以当点 位于点 时, 最大,则 最小. 联立 ，得 ，解得 或 (舍去)，
故当 ,即 时， 的最小值为 .
故 的最小值为 . 17 分

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