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丹东市 2026 届高三教学质量监测 数 学
考试结束后, 将本试题和答题卡一并交回。
注意事项:1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，并将条形码准确粘贴在指定区域内。
2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。
3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠、弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的。
1. 已知全集 ，集合 ，则
A. B. C. D.
2. 双曲线 的离心率为
A. 2 B. C. D.
3. 复数 满足 ,则
A. 1 B. C. D. 2
4. 已知等比数列 的公比为 ,命题 是递增数列,命题 ,则 是 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 一个口袋里装有大小、形状完全相同的 8 个红球和 2 个白球, 从中不放回地任取两个球. 已知取到了一个红球, 则取到的另一个是白球的概率为
A. B. C. D.
6. 已知函数 的定义域为 ,若 与 都是奇函数,则一定有
A. B. C. D.
7. 在直角梯形 中， ，且 ，对角线 与 交于点 ,点 满足 ,则 的取值范围是
A. B. C. D.
8. 已知 ,且 ,则 的最小值为
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 记 是等差数列 的前 项和, 的公差为 ,已知 ,且 与 的等差中项为 -2 , 则
A. B. C. 最小 D.
10. 已知函数 满足 ,且 在 内恰有两个极值点, 则
A.
B.
C.
D. 在 单调递增
11. 抛物线 的焦点为 . 过点 作 的切线 与 轴、 轴分别交于点 ; 过坐标原点 作 的垂线 与直线 交于点 ,则
A. 的斜率为 B.
C. OM I/OF D. 是等腰三角形
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 已知 与 的成对数据如下表:
1 2 3 4 5
2 3 4 5 7
若 关于 的回归直线方程为 ,则 _____.
13. 已知半径为 的球内切于圆台,若圆台的上、下底面半径之比为 ,则圆台的母线长为_____.
14. 当 时， ，则实数 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
记 的内角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求 ；
(2)若 是 的中点，且 ，求 的长.
16. (15分)
已知函数 .
(1)讨论 的单调性;
(2)若 存在极值点 ，且 ， ，证明: 为定值.
17. (15分)
已知椭圆 的右顶点为 ，圆 的半径等于椭圆的长半轴长，圆 : ,直线 与圆 和圆 都相切.
(1)求圆 的方程，并判断圆 与圆 的位置关系；
(2)求直线 的方程；
(3)若斜率存在的直线 与 交于 两点，求 的面积.
18. (17 分)
在四棱锥 中,底面 为矩形, 是边长为 2 的等边三角形. 点 分别为 的中点.
(1)求证:平面 平面 ；
(2)设直线 与平面 所成角的正弦值为 ，且四棱锥 的各个顶点都在球 的球面上.
(i) 求二面角 的余弦值;
(ii) 求球 的表面积.
19. (17 分)
Base16 Encoding 是网络数据传输中常用的编码技术，它将二进制数转换为十六进制数, 从而将冗长的二进制序列转换为更短、更规整的十六进制字符串, 便于传输与解码.
(1)写出二进制数 111001011101 转换后的十六进制字符串(参考附 2)；
(2)十六进制字符串由数字与字母组成，传输时，数字保持不变，字母替换为两个连续的 “*”, 得到加密字符串 (如 5A6F3 加密为 5**6**3). 设 位十六进制字符串加密后,其加密字符串的第 位为 “ ” 的概率为 .
(i) 求 ,并证明数列 为常数列;
(ii) 若 ,求数列 的通项公式.
附 1:十进制与十六进制的对应关系
十进制 0 1 2 ... 9 10 11 12 13 14 15
十六进制 0 1 2 ... 9 A B C D E F
附 2:二进制数转换为十六进制数规则
将二进制数按 4 位一组映射为 1 位十六进制字符: 从二进制数的最右侧开始, 向左每 4 位分为一组; 若最左侧一组不足 4 位,则在其左侧补 0 凑齐 4 位.
例如:二进制数 11010 ，先补 0 分组为 00011010 . 由 ，得 ,映射为十六进制数字 1 ; 由 ,得 ,映射为十六进制字母 A. 因此二进制数 11010 映射为十六进制字符串 1A.
丹东市 2026 届高三教学质量监测 数学试题评分参考
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。
1. A 2. D 3. B 4. A
5. B 6. D 7. C 8. C
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求。全部选对的给 6 分，有选错的给 0 分。有两个正确选项的仅选其中一个给 3 分; 有三个正确选项的仅选其中一个给 2 分, 仅选其中两个给 4 分。
9. BC 10. AC 11. BCD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 1.2 13. 8 4.
四、解答题:共 77 分。
15. 解:
( 1 )因为 ，所以 ，而 ，故 . 两边平方得 ,进而 ,因为 ,所以 ,因此 . 5 分
(2)由余弦定理 ，得 ，因为 ， ，所以 ，从而 . 8 分
在 和 中,分别应用余弦定理得
.
因为 ,将两式相加得 , 因此 . 13 分
16. 解:
(1) 定义域为 ， .
当 时, ,且仅当 且 时 ,所以 在 上单调递增.
当 时,由 解得 或 ; 由 解得
在 和 上单调递增,在 上单调递减. 7 分
(2)由 ，得 . 由 ，整理可得
因为 是 极值点,所以由 (1) 知 ,且 ,即 . 于是 ,进而 ,即 ,因为 ,所以 . 15 分 17. 解:
(1)由题意可得 ，椭圆的长半轴长为 2，故圆 的方程为 .
由 ,得 ,故圆 与圆 外切. 5 分
(2)由(1)可知，圆 与圆 外切于原点 ,因此两圆共有 3 条公切线. 因为直线 到两圆心的距离分别等于各自半径,故 是两圆的一条内公切线.
8 分
因为 ,两圆半径为2,1,由相似比及对称性可知,外公切线必过定点 ,设两圆的外公切线方程为 .
由直线 与圆 相切,得 ,解得 ,因此两条外公切线方程为 .
综上直线 的方程为 . 10 分
(3)由(2)可知，斜率存在的两条直线 关于 轴对称，而椭圆 也关于 轴对称， 因此它们与椭圆相交所得的 的面积相等.
将 代入 ,整理得 ,判别式 ,设 ,则 .
由 过定点 ,得 的面积 .
15 分
【18 题】不画图扣 2 分；画图须规范(实线、虚线区分清晰，符合斜二测画法要求等), 不规范的酌情扣 1~2 分。
18. 解:
(1)由题意 ， . 因为 ， 所以 平面 . 由 平面 ，得平面 平面 . 4 分
(2)思路 1 以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 . 则 , ,平面 的法向量 .
由( 1 )知 是二面角 的平面角，设 ,由 ,得 . 所以
由 与平面 所成角的正弦值为 ，得 ，解得 ， 因此二面角 的余弦值为 . 11 分
(ii) 由 (i) 知 . 设 ,由 ,因为 , ,所以
解得
17 分
思路 2 (i) 取 的中点分别为 ,连结 . 因为 且 且 ,所以 且
,所以四边形 是平行四边形,进而 . 故 与平面 所成的角等于 与平面 所成的角.
8 分
由( 1 )知 是 与平面 所成的角,由题意 ，因为 ，所以 ，从而 . 因为 ,所以 为正三角形.
由( 1 )知 是二面角 的平面角,所以二面角 的余弦值 . 11 分
(ii) 记矩形 外接圆的圆心为 外接圆的圆心为 ,由球的截面性质 平面 平面 ,则 ,所以 平面 . 由 (1)知 共面，从而 共圆，直径为 .
由 (i) 知在四边形 中, ,因为 ,所在 中,由余弦定理 .
在 中,由正弦定理 ,所以球 的半径为 ,故球 的表面积 . 17 分 19. 解:
(1) ,映射为十六进制字符为 .
,映射为十六进制字符为 5 .
,映射为十六进制字符为 D.
因此二进制数 111001011101 , 转换后的十六进制串为 E5D. 4 分
(2)(i)由题意，十六进制单个字符为数字的概率为 ，为字母的概率为 . 当 时， .
当 时:
若首字符为数字,第 2 位为 的概率为 ;
若首字符为字母,第 2 位必为 ,概率为 .
故 . 8 分
记事件 “原始字符串的第 1 个字符为数字”,则 .
记事件 : “原始字符串的第 1 个字符为字母”,则 .
记事件 : “长度为 的原始字符串,加密后所得加密字符串的第 位为 ”,则 .
当 时:
若 发生,首字符占 1 位,剩余 个字符的加密结果是从加密字符串第 2 位开始, 故 .
若 发生,首字符占 2 位,剩余 个字符的加密结果是从加密字符串第 3 位开始, 故 .
由全概率公式 ,得 从而
又 ，故对任意 ，有 ，即数列 为常数列.
12 分
(ii) 由 (i) 得 .
因为 ,所以数列 是首项为 ,公比为 的等比数列. 从而 .
由二项式定理得 .
因此 . 17 分

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