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2026 年锦州市普通高中高三质量检测(一) 数学
注意事项:
1．本试卷考试时间为 120 分钟，满分 150 分。
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3. 答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号；谷非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效。
第 I 卷(选择题，共 58 分)
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.)
1. 已知集合 ，则 ()
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足 ，则 ()
A. B. C. D.
3. 已知 是空间中不重合的三条直线，则下列命题为真命题的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 与 异面， 与 异面，则 与 异面
4. 已知等差数列 的公差 不为 0, ，且 成等比数列，则 ( )
A. -4 B. -3 C. 0 D. 3
5. 某学校组织同学们参加校运动会的场地服务活动, 4 名同学被分配到跳高、跳远两个场地, 每个场地至少一名同学，不同的分配方案有( )
A. 6 种 B. 12 种 C. 14 种 D. 28 种
6. 已知 ，且 ，则 的值为( )
A. -7 B. 7 C. 1 D. -1
7. 已知非零向量 ，若 ， ，则 可能为( )
A. B. C. D.
8. 设函数 ,其中 ,若存在常数 使对任意的实数 都有 ,则 可取到的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. )
9. 魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图 1 给出了勾股定理的证明.设每个直角三角形的两条直角边长分别为 和 如图 2. 由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论, 则下列推理正确的是( )
A. 由正方形 面积大于 8 个朱色图形面积得
B. 由正方形 面积大于 4 个朱色图形面积得
C. 由三角形 面积大于黄色图形面积得
D. 由正方形 面积的 2 倍大于正方形 面积得
第 9 题图 1
第 9 题图 2
10. 分别为椭圆 和双曲线 上的点， , 则( )
A. B.
C. D.
11. 曲线 与 ,则下列关于这两条曲线的结论中正确的是 ( )
A. 在点 处相交 B. 在点 处相切
C. 存在相互平行的切线 D. 有两个交点
第II卷(非选择题，共92分)
三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.)
12. 已知某市 10000 名高一学生的某次数学测试得分 (单位:分) 服从正态分布 , 若 ，则得分高于 50 分的人数约为_____.
13. 已知直线 与圆 相交于 两点，则 的最大值为_____.
14. 若方程 有唯一解,则
四、解答题(本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
15.(本题满分 13 分)
在 中,已知 ,三角形外接圆半径为 2 .
(1)求 的大小；
(2)求 面积的最大值.
16. (本题满分 15 分)
如图,将一副三角板拼成平面四边形,将等腰直角 沿 向上翻折,得三棱锥 一 ,设 ,点 分别为棱 的中点.
(1)当平面 平面 时,求证: ;
(2)当二面角 大小为 时,求异面直线 所成角的余弦值.
第 16 题图 1
第 16 题图 2
17. (本题满分 15 分)
某企业使用新技术对某款芯片进行试生产. 在试生产初期, 该款芯片的生产有四道工序, 前三道工序的生产互不影响, 第四道是检测评估工序, 包括智能自动检测与人工抽检. 已知该款芯片在生产中,前三道工序的次品率分别为 . 第四道工序中智能自动检测正确率为 ，第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.
(1)求前三道工序后产品芯片的次品率 ；
(2)求在第四道工序中芯片智能自动检测得到的产品合格率 ，并求工人在流水线进行人工抽检时, 抽检一个芯片恰为合格品的概率;
(3)某手机生产厂商获得了该新技术芯片的试用权，并在某款新型手机上使用. 现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查. 据统计，回访的 100 名用户中，使用未安装新技术芯片手机的有 40 人，其中对开机速度满意的有 28 人；使用安装新技术芯片手机的有 60 人，其中对开机速度满意的有 57 人.判断是否有 99.9%的把握认为安装新技术芯片与用户对开机速度满意度有关
附:
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
18.(本题满分 17 分)
已知公比为 的正项等比数列 ，满足离心率均为 的序列双曲线 : 的方程. 点 到 一条渐近线的距离为 ,过 上一点 , )作 的两条弦 ,交 于另两点 ,且 的平分线垂直于 轴.
(1)求 的通项公式；_____
(2)求直线 的斜率；
(3)当 (O为坐标原点的面积为 时，直线 交 轴于点 ， 证明: .
19. (本题满分 17 分)
设 是非空的实数集,如果对于集合 中的任意一个元素 ,按照某种确定的对应关系 ，在集合 中都有唯一确定的元素 与之对应，那么称 为从 到 的一个联动. 例如: 不是从 到 的一个联动;
是从 到 的一个联动.
(1)若 是从 到 的一个联动,求 的取值范围;
(2)已知 为常数且 ，若 ， ， ， ， 是从 到 的一个联动,求 的取值范围.
2026 年锦州市普通高中高三质量检测(一) 数学参考答案及评分标准
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的。
DCAB CDCA
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. ABD 10. BC 11. ACD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 7500
13.
14. -1
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本题满分 13 分)
解: (1) 由 ,
得 .3 分
4 分
解得 或 (舍去), .5 分
所以 ; .6 分
(2)由正弦定理， .7 分
又 .9 分
所以 即 10 分
11 分
当且仅当 时等号成立, 12 分
所以 面积的最大值为 13 分
16. (本题满分 15 分)
(1)证明:因为平面 平面 , 是交线， ,
所以 CD⊥平面 ABC, 3 分
.5 分
所以 AB⊥AD 6 分
(2)解:以 为原点以 方向为 轴正方向以 方向为 轴正方向,建立空间直角坐标系, 则 8 分
设 其中 10 分
设平面 法向量 .
则
令 则 12 分
又平面 BCD 法向量 ,
所以 ,解得 13 分
所以
设异面直线 所成角为 .14 分
所以异面直线 所成角的余弦值为 15 分评卷说明: 其它解法参考评分标准给分。
17.(本题满分 15 分)
解:(1)芯片的次品率为
.4 分
(2)设芯片智能自动检测合格为事件 ，人工抽检合格为事件 ， .5 分由全概率公式 ; .7 分
.9 分
所以 . 11 分
(3)由数据可建立 列联表如下:(单位:人)
开机速度满意度 未安装 已安装 合计
不满意 12 3 15
满意 28 57 85
合计 40 60 100
12 分
根据列联表得:
13 分
14 分
因此，有99.9%的把握认为安装新技术芯片与用户对开机速度满意度有关. .15 分评卷说明: 没列表, 列式及结果正确不扣分; 保留小数为一位或一位以上且正确不扣分。
18.(本题满分 17 分)
解:(1)因双曲线的离心率为 ，故 ， 1 分
即 ,故公比 . .2 分
双曲线 渐近线方程为 3 分
由点 到一条渐近线的距离为 .4 分解得 ,故 . .5 分
(2)由(1)知 , 6 分由题易知直线 的斜率存在,设直线 的方程为 , , .7 分
将 代入 中整理得， ，
且 . 9 分
的平分线垂直于 轴, , 10 分
得 ,即 ,
将 和 代入整理得,
或 (舍,此时直线 过 ),
. 12 分
评卷说明: 其它解法参考评分标准给分。
(3)直线 的方程为 ， 到直线 的距离 ， 13 分
14 分
的面积 .15 分
或 (舍), , .16 分
所以
.17 分
19. (本题满分 17 分)
解: (1) 由题设 ,
因为 ,函数单调递减,
,函数单调递增, .2 分
所以 .4 分
解得
所以 或 ; .6 分
(2)即 在 上有唯一解. .7 分
设 ,
当 变化时 变化如下
+ 0 - 0 +
↗ ↘ 0 ↗
.9 分
① 即 时 ，解得 或
所以 11 分
② 即 时，
或
令
则
在 上是增函数,在 上是减函数,
又 所以 时 当且仅当 时
解得 或 或
所以 13 分
③ 时需 ，无解 14 分
④ 即 时
若 时,
此时 代回 不成立，所以无解 15 分若 时
由②知无解 16 分
综上 17 分

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