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高二数学一
时量:120 分钟 满分:150 分
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选 项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数 为纯虚数,则
A. B. -1
C. 0 D. 1
2. 已知集合 ，则
A. B.
C. D.
3. 已知向量 ，则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 下列求导结果正确的是
A. B.
C. D.
5. 的展开式中含 项的系数为
A. 42 B. 56
C. 84 D. 120
6. 盲盒中有大小相同的 3 个红球,2 个黑球,随机有放回地摸两次球,记 为摸到黑球的个数; 随机无放回地摸两次球,记 为摸到黑球的个数,则
A.
B.
C.
D.
7. 众所周知,长时间玩手机可能影响视力. 据调查,某校学生大约 40% 的人近视，而该校大约有 30% 的学生每天玩手机超过 2 h，这些人的近视率约为 50% . 现从每天玩手机不超过 2 h 的学生中任意调查一名学生， 则该名学生近视的概率为
A. B.
C. D.
8. 某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙处, 需要经过 6 个转运环节,其中第 1,6 个环节有 两种运输方式,第2,3,5 个环节有 两种运输方式,第 4 个环节有 四种运输方式,则快件从甲送到乙使用 4 种运输方式的不同的方法种数是
A. 60 B. 70
C. 77 D. 78
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列说法正确的是
A. 样本相关系数 越大，则线性相关性越强
B. 用决定系数 刻画回归效果， 越接近 1，说明回归模型的拟合效果越好
C. 在回归分析中, 残差图中残差比较均匀地分布在以取值为 0 的横轴为对称轴的水平带状区域内,且宽度越窄表示拟合效果越好
D. 在独立性检验中,零假设必须是 “分类变量 与 独立”,不能是 “分类变量 与 有关”
10. 已知圆 ,抛物线 的焦点为 为 上一点, 为 上一动点,则
A. 抛物线 的准线方程为
B. 抛物线 与圆 没有交点
C. 若 ,则直线 与圆 相切
D. 的最小值为 1
11. 若数列 满足: ,则称数列 为有限稳定数列,记 为数列 的前 项和,则下列结论正确的是
A. 首项为 1,公比为 的等比数列是有限稳定数列
B. 若各项均为正数的等比数列是有限稳定数列, 则其公比的取值范围为
C. 若数列 满足 ,则数列 是有限稳定数列
D. 若数列 是有限稳定数列,则数列 是有限稳定数列
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 假设某次数学考试成绩服从正态分布 . 如果按照 , 的比例将考试成绩由高到低分为 四个等级，那么 等级的分数线约为_____分及以上(精确到 1 ).
(参考数据: 若 ,则 .)
13. 已知每门大炮射击一次击中某目标的概率是0.4，现在 门大炮向此目标各射击一次. 如果此目标至少被击中一次的概率超过 ，那么至少需要大炮的门数是_____. (参考数据: 0.477)
14. 在三棱锥 中,已知 ,三棱锥 的体积为 ，其外接球的体积为 ，则动点 的轨迹长度为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,第 15 题 13 分,第 16,17 题 15 分,第 18,19 题 17 分, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
已知椭圆 的离心率为 ，上、下顶点分别为 ， ， . 过点 ,且斜率为 的直线 与 轴相交于点 ,与椭圆相交于 两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若 ，求 的值.
16.(本小题满分 15 分)
为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性, 某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了 100 名学生进行调查, 统计其每周整理错题时长 (单位:小时) 及期末数学成绩，按照 “整理错题时长≥2小时”和“整理错题时长<2小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于 120 分(满分 150 分)分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表:
成绩优秀 成绩一般 合计
时长充足组 30 10 40
时长不足组 20 40 60
合计 50 50 100
同时, 从样本中随机选取 6 名学生, 记录其每周整理错题时长 (记为变量 ,单位:小时) 与对应数学成绩 (记为变量 ,单位:分),得到如下数据:
学生编号 1 2 3 4 5 6
0 1 2 2 3 4
91 105 116 119 125 140
(1)根据表中数据，依据 的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？并解释所得结论的实际含义;
(2)请你结合第(1)问得出的独立性检验结论，根据选取的 6 组数据，建立 关于 的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为 4.5 小时, 其数学成绩大约为多少分？该结果是否一定与实际情况相符合,原因是什么
参考数据与公式: .
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
经验回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别
为: .
17. (本小题满分 15 分)
如图，在正三棱柱 中， 分别为棱 的中点， 为线段 上的动点.
(1)证明: 平面 ；
(2)若 为线段 的中点，且 ，求 与平面 所成角的正弦值.
18.(本小题满分 17 分)
甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球, 乙口袋中装有 1 个黑球和 2 个白球. 现同时从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复 次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为 ,甲口袋中恰有 3 个黑球的概率为 ,恰有 2 个黑球的概率为 ,恰有 1 个黑球的概率为 ,没有黑球的概率为 .
(1)求 ；
(2)求 与 的递推关系式；
(3)求随机变量 的数学期望 . (用 表示)
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)已知 ，若存在 ，使得 .
( j ) 求实数 的取值范围;
(ii)证明: .
高二数学一参考答案
一、二、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C B C A D B A BCD BC ACD
1. 因为 为纯虚数,所以 ,且 ,故 .
2. C由题意得, ,所以 .
3. 充分性分析: ,故充分性成立; 必要性分析: , ,故必要性不成立. 故 是 “ ” 的充分不必要条件.
4. C对于 ,故 错误; 对于 ,故 错误; 对于 ,故 正确; 对于 ,故 错误.
5. A二项式 展开式的通项为 ，因此 的展开式中含 的项为 ,所以 的展开式中含 项的系数为 42 .
6. D由题意可知, ,则 , 的可能取值为0,1,2,则 , 可得 , 所以 .
7. B设“调查一名学生，则该名学生近视”为事件 A，“每天玩手机超过 2 h”为事件 ，
则由题可知， ， ， ，
又 ,
即 ,得 .
8. A若第 4 个环节使用 运输方式,由题意可得快件从甲送到乙至多使用 3 种运输方式,故第 4 个环节必须使用 三种运输方式中的 1 种,若第 1,6 两个环节都使用 运输方式,则快件从甲送到乙至多会使用 3 种运输方式，故从甲送到乙要使用 4 种运输方式，则满足条件的运输方法可分为两类.
第一类:第 1 和第 6 环节都用 运输方式，则第 2，3，5 环节必须使用两种不同的运输方式，第 4 环节必须使用 ， ， 中的一种运输方式,故满足条件的运输方式有 (种);
第二类:第 1 和第 6 环节运输方式不同，则第 2，3，5 环节只需至少一个环节使用 c 运输方式，第 4 环节必须使用 d，e， 中的一种运输方式，故满足条件的运输方式有 (种).
由分类加法计数原理可得,满足条件的运输方式有 (种).
9.BCD对于 A，两个变量的样本相关系数为 ，则 越大，线性相关程度越强，故 A 错误；对于 B，决定系数 越接近 1，值越大，残差平方和越接近 0，值越小，则该回归模型的拟合效果越好，故 正确；对于 ，因为在残差的散点图中, 残差分布的水平带状区域的宽度越窄, 表明数据越集中, 模型的拟合效果越好, 故 C 正确; 对于 D, 基于可证伪原则，只有两个变量独立，才能证明，故 D 正确.
10. BC抛物线 的准线方程为 ，故 A 错误；
联立抛物线 与圆 的方程得 ，得 ， ，方程无实数解，所以抛物线 与圆 没有交点,故 正确;
抛物线 ，其焦点 ，圆 的圆心 ，半径为 ，
设 ,则 ,解得 ,则 ,
故直线 的方程为 ，因为圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 与圆 相切,故 正确;
由上可知， 的最小值为 4，所以 的最小值为 ，故 D 错误.
11. ACD对于 ,设 ,则 , , ,
设 ,
则 ,故该数列是有限稳定数列,故 正确;
对于 ,若该等比数列公比为 1,则相邻两项差为 0,即满足 , 则该数列必是有限稳定数列,因此公比的取值范围不为 ,故 错误;
对于 ,不妨取 ,满足 ,
则 ,
但 , ,
因此 ,因此该数列是有限稳定数列,故 正确;
对于 ,若数列 是有限稳定数列,则相邻两项之差的绝对值和有界,
即 有界,进而 有界,而 ,
所以 有界,即数列 是有限稳定数列,故 正确.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12.85设 等级的分数线为 ,则应该满足 . 又由题知 , 因此 .
13.5已知每门大炮射击一次击中目标的概率是 0.4 , 那么不击中目标的概率为 1-0.4 =0.6 .
因为 门大地射击是相互独立事件，所以 门大炮都不击中目标的概率为 . “目标至少被击中一次”的对立事件是 “目标一次都不被击中”，根据对立事件概率之和为 1，可得 “目标至少被击中一次” 的概率为 1-0.6 ″.
已知目标至少被击中一次的概率超过 ,则可列出不等式 " ,可得 ,
两边同时取常用对数,可得 . 因为
.
将 代入 中,可得 ,
解得 . 因为 为大炮的门数,为正整数,所以 的最小值为 5,所以至少需要大炮的门数是 5 .
14.6π如图所示,设三棱锥 外接球 的半径为 ,则由外接球的体积为 ,解得 . 因为 ,所以 ,所以 ,所以 , 设点 到平面 的距离为 ,则三棱锥 的体积为 ,解得 ,即 , 所以点 在平行于平面 的平面 上.
因为 ,所以 的外接圆的圆心 为 的中点,则外接圆的半径为 , 所以外接球的球心 到平面 的距离为 ,
即 ,所以球心 到点 所在平面 的距离为 ,即 ,
在直角 中,可得 ,
所以点 的轨迹为以 为半径的圆,
所以动点 的轨迹长度为 .
四、解答题:本大题共 5 小题,第 15 题 13 分,第 16,17 题 15 分,第 18,19 题 17 分,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【解析】(1) 由题可得 解得
所以椭圆的方程为 . 4 分
(2)由题可设直线 的方程为 ，令 ，得 ，所以 . 6 分
设 ,联立 得 ,
则 ,
8 分
则 中点的横坐标为 ,
因为 ,所以 中点的横坐标为 .
因为 ,所以 四点共线,设 的中点为 ,则 ,
所以 ,即 ,所以 是 的中点,
所以 ,得 ,即 . 13 分
16.【解析】(1)零假设为 ；高中生数学成绩与每周自主整理错题时长无关， 1 分
根据表中数据可得， ， 5 分
根据小概率值 的 独立性检验,我们推断 不成立,
即认为高中生数学成绩与每周自主整理错题时长有关，该推断犯错误的概率不超过 0.001 . 6 分 (2)由数据得， ， ， 7 分
9 分
得 ,
所以 关于 的经验回归方程为 . 12 分将 代入经验回归方程得 ,
所以预测某名学生每周整理错题时长为 4.5 小时, 其数学成绩大约为 145.5 分. 13 分
该结果与实际得分不一定相符合, 原因是把每周整理错题时长为 4.5 小时的学生数学成绩作为一个子总体, 数学成绩为 145.5 分是这个子总体的均值的估计值, 影响数学成绩还有其他的因素 (言之合理即可). 15 分
17.【解析】(1)证明:连接 .
因为 分别为棱 的中点,三棱柱 为正三棱柱,
所以 ,所以四边形 为平行四边形,则 ,
又EFC平面 平面 ,所以 平面 ,
同理可得 平面 .
因为 ,所以平面 平面 ,
又 平面 ,所以 平面 . 6 分
(2)取 的中点 ，连接 ，则 ，在正三棱柱 中，则 .
以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则 ,
所以 . 8 分
设平面 的法向量为 ,
则
令 ,得 . 11 分
由 , 13 分
所以 与平面 所成角 的正弦值 ,
则 与平面 所成角的正弦值为 . 15 分
18.【解析】(1) . 4 分
(2)由题可知，
,
7 分
且有 , 8 分
则
,
即 . 10 分
(3)令 ,由 (2) 有 , 1 分
，即 是首项为 ，公比为 的等比数列。
因此 , 13 分
则 的分布列为
0 1 2 3
15 分
故 . 17 分
19.【解析】() 的定义域为 .
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时, ,则 在 上单调递增. 3 分
(2) ，
令 ,
若 ,则 ,则 ,则直线 与函数 的图象最多有两个交点,不符合题意 5 分若 ,此时 存在两个零点 ,
此时 在 上单调递减,在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,
此时作直线 ,其中 ,直线 与 的图象存在四个交点,
即存在 ,使得 ,
故实数 的取值范围是 . 8 分
(1)由题意得， ,
则 , 9 分
令 ,注意到 ,则 ,即 ,同理 ,
要证 ,即 ,即证明 , 12 分
设 ,
则 ,
设 ,
故 单调递减，从而 ，则 单调递减，
故 ,也即 ,因此 . 17 分

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