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辽宁省实验中学 2025-2026 学年度下学期第一次阶段测试 高二数学试卷
考试时间:120 分钟 试题满分:150 分
一、单选题(每题 5 分，共 40 分)
1. 随机变量 服从正态分布 ，记函数 ，则( )
A. B. C. D.
2. 等差数列 的公差为 ，其前 项和为 ，则 “ ” 是 “ 存在最小值”的( ).
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 如图，一个系统由 4 个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作. 若每个部件的可靠度均为 ,而且这四个部件互不影响,则系统的可靠度为( )
A. B.
C. D.
4. 某地区患癌症的人占 0.05，患者对一种试验反应是阳性的概率为 0.9 ，正常人对这种试验反应是阳性的概率为 0.05 现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率为 ( )
A. B. C. D.
5. 设 为随机变量, ,则 ( )
A. 22 B. 6 C. 8 D. 4
6. 若数列 满足 ，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
7. 等差数列 的前 项和为 ,且 . 当 取得最大值时 的值为 ,使得 成立的最大正整数 的值为 . 则 的值为( )
A. 28 B. 29 C. 30 D. 3)
8. 某体育用品仓库中有 12 个同款篮球, 其中一等品有 8 个, 二等品有 3 个, 三等品有 1 个. 现从中不放回地随机抽取 5 个篮球进行质量检测,记抽到的一等品的个数为 ,则当 取得最大值时， ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、多选题(每题 6 分，共 18 分)
9. 数列 的通项公式为 ,前 项的和为 ,则下列结论正确的是 ( )
A. 的最大值为 7 ，最小值为 -5 B. 中比 1 小的项有 6 项
C. 使 取得最小值的 为 5 D. 满足 的 的值有 3 个
10. 数列 的前 项和为 ,已知 ,则
A. 为等比数列 B. C. D.
11. 已知随机事件 满足 ,则 ( )
A. 与 相互独立 B. C. D.
三、填空题(每题 5 分，共 15 分)
12. 已知数列 满足 且 ,若 是等比数列,则 _____.
13. 银行一年定期储蓄存款年息为 ，按复利计算利息；三年定期储蓄存款年息为 ，按单利计算利息. 银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么 的值应大于_____.
14. 甲乙丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人. 则 次传球后球在甲手中的概率
四、解答题:本题共 5 个小题, 共 77 分
15. (13分)数列 的前 项和为 ， ；
(1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求
16. (15分)某机构为研究汽油价格 (单位:元/升)与新能源汽车的月销售量 (单位: 万辆) 之间的关系, 收集整理得到如下数据:
6 6.5 7 7.5 8
1.5 2 3 4.5 6.8
(1)若用模型 模拟 与 之间关系，求出回归方程；
(2)根据建立的回归方程，预测当汽油价格上涨至 9 元/升时，新能源汽车的销量；
(3)假设当汽油价格为 9 元/升时，实际销量超过预测值的概率为 0.6 . 现进行 5 次独立观测， 记这 5 次观测中销量超过预测值的次数为 ,求 的数学期望.
参考数据和公式: .
令 .
对于一组数据 ,其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为: .
17. ( 15 分) 如图，一动点 从点 出发，在正方形 的各顶点上移动. 每次移动时， 动点 有 的概率沿水平方向向左或右移动一次，有 的概率沿竖直方向向上或下移动一次，每次移动独立. 设动点 移动了 步之后，停在点 的概率为 .
(1)求 ；
(2)求 的通项公式；
(3)记点 的前 次移动中，到达过点 的次数为 ，求证: . 参考公式: 若随机变量 服从两点分布且 ,则
18. (17 分) 设数列 满足 .
(1)证明:数列 为等差数列；
(2)若数列 的前 项和为 ，求证: ；
(3)设 ，求数列 的最大项.
19. (17 分) 一项物理实验是向区域 中发射某种粒子,该粒子随机落于 中的任何位置, 且任意粒子落于何处互不影响. 当某个粒子落于 中特定区域 内时,则需对其进行检测, 已知每个粒子落于 内的概率均为 ( 是自然对数的底).
(1)若一次向 中发射 3 个粒子，求恰有 2 个粒子需要检测的概率；
(2)若向 中发射该粒子，每次一个，只要有粒子落于 内，就停止发射。 表示粒子首次落于 内的发射次数, 表示第 次发射时粒子首次落于 内的概率,若
,求 的最小值; (参考数据: )
(3)若一次向 中发射 个粒子， 表示溶于 内的粒子个数， 表示有 个粒子落于 内的概率,求证: .
数学参考答案
一. 单选题 DCDD BCBB
二. 多选题 9.ΛBD 10. BCD 11. AC
13. 14.
记 ，表示事件“经过 次传球后，球母甲的手中”。
设 次传球后球在甲手中的概率为 ,
则有 ,
所以
,
即 ,
所以 ,且 ,
所以数列 表示以 为首项, 为公比的等比数列,
所以 ,所以 .
即 次传球后球在甲手中的概率是 .
15. ( 1 ) 5 分( 2 ) 13 分
16. ( 1 )因为 ，则 ，3 分
又 , 6 分
由 得， ，解得 ， 8 分
所以回H方程为 . 9 分
(2)当 时，代入回归方程得
价格上涨至 9 元/升时，新能源汽车的销量约为 8.396 万辆. 12 分
(3)由题知， ，所以 ，即 的数学期望为 3.15 分
17. 解:(1)设事件 表示第 次沿水平方向移动，事件 表示第 次沿竖直方向移动。
另一种计算 的方法:四次移动中，
两次水平移动和两次竖直移动的概率为 ，
全部水平移动的概率为 ,全部竖直移动的概率是 ,
相加得 :
(2)设连续移动两步，动点位置变化的概率为 ，动点位置不变的概率为 ， 则 ,
根据全概率公式. , 5 分
则 .
因为 ，所以 ， 8 分
所以 : 9 分
证明:(3)设移动 步之后，动点停留在点 的概率为 ,
则根据全概率公式, ,
又因为 ，所以 ， 12 分
设随机变量 满足: (1)当移动 步之后,对点停留在点 ,则 ;
② 当移动 步之后，动点不停留在点 ，则 ；
显然 服从两点分布,且 ,
所以
. 15 分
18. ( 1 )证明:因为 ，
所以 ,即 ,又 .
所以数列 是以 1 为公差,1 为首项的等差数列;
(2)证明:由(1)得 ，即 .
设其前 项和为 ,则 ,
所以 . 8 分
即 .
所以 ,又因为 ,所以 ,所以 12 分
(3)由(2)得 ，所以 ， ，
14 分
当 时, ,得 ,即 .
又因为 ,所以 ,所以 的最大项是 . 19.(1)设事件 为:“向区域 中发射 3 个粒子，恰有 2 个落在 中”。
则事件 的概率为 3 分
(2)由题意可知， . 5 分
则 .
. 8 分

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