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2025~2026 学年第二学期第一次教学质量检测 高二数学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围:人教 A 版选择性必修第二册第五章。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。
1. 一作直线运动的质点的位移 (单位: ) 与时间 (单位: ) 之间的关系为 ,则该质点在 时的瞬时速度为
A. B. C. D.
2. 函数 在 处的导数
A. B. 1 C. 2 D. 4
3. 在曲线 的图象上取点 及邻近的一点 ,则
A. B.
C. D.
4. 函数 的单调递减区间是
A. B. C. D.
5. 若函数 在 上的最大值为 2，则
A. B. 5 C. 2 D.
6. 已知函数 的图象是下列四个图象之一,且其导函数 的图象如图所示,则该函数的大致图象是
A
B
C
D
7. 若函数 在区间 上有极值点，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
8. 已知定义域为 的函数 满足 ,且 ,则不等式 的解集是
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 下列求导运算不正确的是
A. B.
C. D.
10. 已知点 在函数 的图象上,点 在直线 上,若线段 取得最小值 时, 点横坐标为 ,则
A. B.
C. D.
11. 已知 ,则
A. 曲线 关于点 对称
B. 1是函数 的极大值点
C. 当 时,
D. 不等式 的解集为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 设 是 的导函数,且 ,则 _____.
13. 已知函数 满足 在 处导数为_____.
14. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
已知函数 ,且 .
(1)求a的值；
(2)求函数 的图象在点 处的切线方程.
16. (本小题满分 15 分)
已知函数 .
(1)证明: 在 上单调递增；
(2)判断 与 的大小关系，并加以证明.
17. (本小题满分 15 分)
将一条长为 的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形,要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别是多少
18. (本小题满分 17 分)
给定函数 .
(1)判定函数 的单调性,并求出 的极值;
(2)画出 的大致图象；
(3)求出方程 的解的个数.
19. (本小题满分 17 分)
用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”. 现代建筑讲究线条感, 曲线之美让人称奇. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率,曲线的曲率定义如下: 若 是 的导函数, 是 的导函数,则曲线 在点 处的曲率 .
(1)已知函数 ，求曲线 在 处的曲率 的值；
(2)已知函数 ，求曲线 在点 处的曲率 的最大值 ；
(3)对(2)中的 ，记 ，证明: 在区间 上有且仅有 2 个零点.
2025~2026 学年第二学期第一次教学质量检测 · 高二数学 参考答案、提示及评分细则
1. A 由题意得 ，所以 ，即该质点在 时的瞬时速度为 . 故选 A.
2. 由 ,得 . 故选 .
3. ,当 时, . 故选 B.
4. ,令 ,得 ,所以函数 的单调递减区间是 . 故选 A.
5. C ,令 ,解得 ,令 ,解得 ,所以 在 上单调递减, 在 上单调递增,因为 ,所以 的最大值是 ,则 . 故选 C.
6. B 因为 的图象经过 与 两点,即 ,由导数的几何意义可知 在 与 处的切线的斜率为 0,故 AD 错误; 由 的图象知, 在 上恒成立，故 在 上单调递增，又 在 上越来越大，在 上越来越小，所以 在 上增长速度越来越快，在 上增长速度越来越慢，故 错误， 正确. 故选 B.
7. 由已知得 ,若函数 在 上有极值点,则 在 上有解,即 ,解得 . 故选 D.
8. 令 ,则 ,所以 在 上单调递减,因为 ,所以不等式 可变为 ,即 ,所以 ,即 ,所以不等式 的解集为 . 故选 D.
9. ACD
10.BD 过函数 的图象上点 作切线,使得此切线与直线 平行,因为 ,于是 ,所以 ,此时 ,即 ,点 到直线 的距离为 ,即 . 故选 BD.
11. ACD 由题意得曲线 是由奇函数 的图象向下平移 1 个单位长度而得,故曲线 的对称中心为 ,故 正确; ,易得 在 和 上单调递增,在 上单调递减,所以-1为 的极大值点,1 为 的极小值点,故 B 错误; 因为 在 上单调递减,当 时, ,所以 ,故 正确; 由上知 极大值 ,易求 ,所以 ,所以 ,故 正确. 故选 ACD.
12. 18 由题意，得 ，所以 .
13. .
14. 由 ,得 ,因为 在 上单调递增,所以 在 上恒成立,即 ,又 在 上的最小值为 -3,所以 ,即实数 的取值范围是 .
15. 解: (1) 由 ,得 , 2 分
又 ,所以 ,解得 . 5 分
(2)由 ，得 ，所以 ，即切点为 ， 8 分
又切线的斜率为 , 10 分
所以函数 的图象在点 处的切线方程为 ,即 . 13 分
16. ( 1 )证明: ，所以 ， 所以 . 3 分
当 时,因为 ,所以 . 5 分
所以 在 上单调递增. 7 分
(2) . 9 分
证明如下: 设 ,则 . 10 分
由(1)知 在 上单调递增，所以 , 12 分
所以 ,即 在 上单调递增. 14 分
所以 ,即 . 15 分
17. 解: 设一个正方形的边长为 ,则另一个正方形的边长为 , 2 分
两个正方形的面积和 ,则 ,
时 , 6 分
故当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增, 9 分
当 时, 的极小值也是最小值为 ,此时另一个正方形的边长也为 .
综上,当两段铁丝的长度都为 时,它们的面积和最小. 15 分
18. 解:(1)函数 的定义域为 ，求导得 , 1 分由 ,得 , 当 时, ,当 时, ,
因此函数 在 上单调递减,在 上单调递增,在 处取得极小值 ,无极大值, 4 分
所以函数 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 ; 极小值为 ,无极大值.
6 分
(2)由(1)知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
7 分
由 ,得 ,又 ,因此函数 的图象过点 , 8 分当 时, 恒成立,当 时, ,而函数 在 的取值集合为 , 于是函数 在 的值域为 , 9 分在坐标平面内作出函数 的图象,如图所示.
11 分
(3)方程 的解,即为直线 与函数 图象交点的横坐标, 13 分由 (2) 知,当 时,直线 与函数 的图象没有交点;
当 时,直线 与函数 的图象有 2 个交点;
当 或 时,直线 与函数 的图象有 1 个交点,
所以当 时, 没有解; 当 时, 有两个解; 当 或 时, 有一个解. 17 分
19. ( 1 )解: , 2 分
所以 . 4 分
(2)解: ， ， ， 6 分
所以 , 7 分
所以 ,
令 ,则 ,
设 ,则 ,
显然当 时, 单调递减, 9 分
所以 ,即 的最大值为 1,
所以 的最大值 . 10 分
(3)证明:由题知 ，
所以 , 11 分
① 当 时，因为 ，
则 ,
所以 在 上单调递增. 12 分
又 ,
所以 在 上仅有 1 个零点. 13 分
② 设 ,则 ,
当 时, 单调递增,
所以 ,故当 时, , 14 分
又当 时, ,所以 ,
所以 在 上恒成立,
所以 在 上无零点. 15 分
③ 当 时， ， ，
所以 在 上单调递减, 16 分
又 ,
所以 在 上仅有 1 个零点.
综上所示， 在区间 上有且仅有 2 个零点. 17 分

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