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10.4三元一次方程组强化提升专练
一、知识点核心定义
三元一次方程组是二元一次方程组的延伸，是解决含有三个未知数的实际问题的重要工具。由三个含有三个相同未知数的三元一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组。
二、核心概念拆解
要掌握三元一次方程组的概念和解法，需先明确“三元一次方程”的定义，再理解“方程组”的组成，核心围绕“消元思想”展开。
（一）三元一次方程的概念
定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做三元一次方程。
核心特征（3个，缺一不可）：
含三个未知数（通常用x、y、z表示，也可用其他字母）；
未知数的次数都是1（注意：是“未知数的次数”，不是“含未知数项的次数”，如，xy的次数是2，不是三元一次方程）；
方程是整式方程（分母中不含未知数，如，分母含未知数x，不是整式方程，因此不是三元一次方程）。
一般形式：（其中a、b、c、d为常数，且a、b、c不能同时为0，否则未知数个数不足三个）。
（二）三元一次方程组的概念
定义：由三个含有三个相同未知数的三元一次方程组成的一组方程，叫做三元一次方程组。
核心特征（3个，缺一不可）：
由三个方程组成（通常用“{”联立，表示一组方程）；
三个方程都含有三个相同的未知数（如三个方程都含x、y、z，不能出现不同未知数）；
每个方程都是三元一次方程（若其中一个方程不是三元一次方程，整个方程组就不是三元一次方程组）。
一般形式：（其中a、b、c、e、f、g、i、j、k均为常数）
（三）三元一次方程组的解
1. 定义：使三元一次方程组中三个方程的左右两边都相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解（需同时满足三个方程，缺一不可）。
2. 表示方法：通常用“”表示（m、n、p为具体数值）。
3. 核心要点：一个三元一次方程组的解，必须同时满足方程组中的三个方程；若只满足其中1个或2个方程，不是方程组的解。
三、核心思想：消元思想
解三元一次方程组的核心思想仍是“消元”，核心原则：化三元为二元，再化二元为一元。即通过消元方法，先消去其中一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再按照解二元一次方程组的方法，消去第二个未知数，转化为一元一次方程，最终求解。
补充说明：消元的顺序可灵活选择，优先消去系数最简单（如系数为1或-1）的未知数，简化运算过程；常用的消元方法仍是代入消元法和加减消元法，与解二元一次方程组的方法一致。
四、核心解法
解三元一次方程组的核心是“逐步消元”，步骤清晰、可操作，重点掌握“加减消元法为主，代入消元法为辅”的解题思路，具体流程如下：
第一步：确定消元目标：观察方程组中三个方程的未知数系数，选择系数最简单（如1、-1）的未知数作为第一个消去的目标（通常选x、y、z中系数最易处理的）。
第二步：化三元为二元：
从三个方程中任选两个，通过加减消元法或代入消元法，消去选定的未知数，得到一个二元一次方程（记为方程④）；
再从剩下的一个方程和之前用过的任意一个方程中，再次消去同一个未知数，得到另一个二元一次方程（记为方程⑤）；
由方程④和方程⑤组成一个二元一次方程组。
第三步：化二元为一元：按照解二元一次方程组的方法（代入法或加减消元法），求解由方程④和方程⑤组成的二元一次方程组，得到两个未知数的值。
第四步：回代求第三个未知数：将求出的两个未知数的值，代入原三元一次方程组中任意一个方程，求出第三个未知数的值。
第五步：检验（可选但推荐）：将三个未知数的值代入原三元一次方程组的三个方程，检验左右两边是否相等，确保解的正确性，规避计算错误。
强化提升专练
一、单选题
1．下列是三元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．三元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
3．观察方程组的系数特点，若要使求解简便，消元时应该先消去（ ）
A． B． C． D．或
4．如果○、囗、△各代表一个数，根据下面的已知条件，求○、囗、△的值．正确的是（　　）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品件，二等奖奖品件，三等奖奖品件，共需元；若购买一等奖奖品件，二等奖奖品件，三等奖奖品件，共需元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是（ ）
A．20元 B．30元 C．40元 D．50元
6．一个旅游团50人到一家宾馆住宿，宾馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间每人每晚100元，标准间每人每晚150元，单人间每晚200元．如果该团住满了20间客房，最低总消费是（ ）
A．5800元 B．5000元 C．5300元 D．5500元
7．小明在数学实践活动中尝试做一个无盖的长方体纸盒．他把一张长为，宽为的矩形纸板分割成5个矩形纸板，他用其中1个作为底面，其余4个作为侧面，恰好能做成这个纸盒，则这个纸盒的侧面高不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．若整数，，满足，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
9．如图，三个天平的托盘中相同的物质质量相等，图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（ ）
A．6个球 B．7个球 C．8个球 D．9个球
10．如图，从左到右在每个小格子中填入一个整数，使任意三个相邻的小格子中所填整数之和都相等．若前个格子中所填整数之和为2030，则的值为（ ）
A．203 B．303 C．606 D．609
二、填空题
11．已知方程组，则______．
12．现有A，B，C三箱橘子，其中A，B两箱共100个橘子，A，C两箱共102个橘子，B，C两箱共106个橘子，求每箱各有多少个橘子．在该问题中，若设A，B，C三个箱子中的橘子分别有x个、y个、z个，则可列方程组为______．
13．小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲、2件乙、1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲、3件乙、4件丙时显示的价格为580元，则当她购买甲、乙、丙各2件时，应该付款______元．
14．已知，，满足，且，则__________．
15．相传洛书是一个三阶幻方，就是将已知9个数填入的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在如图的幻方中也有类似的规律，则的值为_________．
16．母亲节到了，小红，小莉，小莹到花店买花送给自己的母亲．小红买了枝玫瑰，枝康乃馨，枝百合花，付了元；小莉买了枝玫瑰，枝康乃馨，枝百合花，付了元；小莹买上面三种花各枝，则她应付___________元．
17．有3堆硬币，每枚硬币的面值相同．小李从第1堆取出和第2堆一样多的硬币放入第2堆；又从第2堆中取出和第3堆一样多的硬币放入第3堆；最后从第3堆中取出和现存的第1堆一样多的硬币放入第1堆，这样每堆有16枚硬币，则原来第1堆有____________枚硬币．
18．探究不定方程：小聪同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组，虽然解不出的具体数值，但可以解出的值．他的思路是：得，所以．根据以上探究，请解决下列问题：已知，则的值为______．
三、解答题
19．解下列三元一次方程组：
(1)；
(2)．
20．某次足球联赛在进行了12场比赛后，前三名的比赛成绩如下表：
胜/场 平/场 负/场 积分
A队 8 2 2 26
B队 6 5 1 23
C队 5 7 0 22
问：每队胜1场、平1场、负1场各积多少分？
21．某服装厂专门安排名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个小袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖个，或衣身个，或衣领个，那么应该安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套．
22．一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数．
23．【阅读感悟】
已知实数、满足，求和的值．
本题常规思路是利用消元法求解方程组，解得、的值后，再代入需要求值的整式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得，这样的解题思想称为“整体思想”．
【解决问题】
(1)已知二元一次方程组，求和的值；
(2)有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根，共长23米；甲种4根，乙种2根，丙种5根，共长40米，求1根丙种钢条是多少米？
24．已知方程组，求的值．
小军在解决这个问题时，他采用了如下方法：
，消去z，得
他发现无法求出方程组确定的解．但注意到问题要求的是整体的值，
可以在上式中“分离”出，
即
可以把代入两式中的任意一式，得到的值：也可将，消去“多余部分”，即，得到结果．用到的都是代数式整体的消元、转化的思想方法．
(1)直接写出小军得到的的值．
(2)请利用小军的方法解决下面的问题：
甲、乙两人去文具店购买文具，甲买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元；乙买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元．丙打算三种文具各买件，请问丙需要花费多少元？
试卷第4页，共6页
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B A B D B A B D
1．D
【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意；
B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意；
C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意；
D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意．
故选：D．
2．D
【详解】解：，
∵得，
得，解得，
将代入①得，解得，
将代入②得，解得，
∴原方程组的解为．
3．B
【详解】解：
方程①+②，②+③可直接消去未知数y，
即可得到一个关于x、z的二元一次方程组，
∴要使运算简便，消元的方法应选取先消去y，
故选：B．
4．A
【详解】解：由 和 相加，
得：，代入，得：
将代入，得：．
综上，，，
故选：A
5．B
【详解】解：设一等奖奖品的单价是元，二等奖奖品的单价是元，三等奖奖品的单价是元，根据题意得，
得，
解得：
故选：B．
6．D
【详解】解：设三人间、二人间、单人间分别住了x，y，z间，其中x，y，z都是自然数，总的住宿费为w元，
则
解得
都是自然数，
或或或或或
，
随z的增大而减小，
∴当，即时，住宿的总费用最低，为，
故选：D．
7．B
【详解】根据题意可得，有4种分割方法，
设侧面的高为x厘米，底面的长为a厘米，底面的宽为b厘米，
如图1，，解得；
如图2，，解得；
如图3，，解得， ；
如图4，，解得．
∴侧面高不可能是．
故选B．
8．A
【详解】解：整数，，满足，
，
．
．
，
解得：，
．
故选：A．
9．B
【详解】解：设球的质量是，小正方形的质量是，小正三角形的质量是．
根据题意得到：，
解得：，
第三图中左边是：，因而需在它的右盘中放置7个球．
故选：B．
10．D
【详解】解：设第，，个格子的数是
根据题意，得
解得
∵相邻三个格子的数是，和，三个数的和是，前个格子的和是，．
∴说明有个相邻三个格子，
∴．
故选：D ．
11．
【详解】解：，
①②③，得
，
，
故答案为：．
12．
【详解】解：设A，B，C三个箱子中的橘子分别有x个、y个、z个，
根据题意得：，
故答案为：．
13．400
【详解】解：设甲、乙、丙的单价分别为x元，y元，z元，
由题意知，得，
得：，解得，
故，
∴购买甲、乙、丙各2件时应该付款400元．
故答案为：400．
14．
【详解】解：设，
则，，，
代入得：
解得：，
，
故答案为：．
15．3
【详解】根据题意得：，
∴，
故答案为：3．
16．
【详解】解：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元，元，元，
根据已知条件，列出方程组，
，得，
将代入，得，
∴，
∴．
所以，小莹应付元．
故答案为：．
17．22
【详解】解：设原来第1堆有x枚硬币，第2堆有y枚硬币，第3堆有z枚硬币，根据题意，得：
，
解得：．
即原来第1堆有22枚硬币．
故答案为：22
18．1
【详解】解：
，得：，
，得：，
∴，
故答案为：1.
19．(1)
(2)
【详解】（1）解：，
由①得，，
代入②得，
解得：，
∴，
∴方程组的解为；
（2）解：，
得，，
得，，
由④⑤联立方程组得，
得：，
解得，，
把代入⑤得，，
解得，
把，代入②得：，
解得：，
所以，方程组的解为．
20．每队胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分
【详解】解：设每队胜1场积x分，平1场积y分，负1场积z分．
根据题意，得，解得，
故每队胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分．
21．应该安排名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套
【详解】解：设应该安排名工人缝制衣袖，名工人缝制衣身，名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套，
依题意有，
解得．
答：应该安排名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套．
22．原来的三位数为287．
【详解】解：设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z，
由题意，得，
解得，
答：原来的三位数为287．
23．(1)，
(2)1根丙种钢条长米．
【详解】（1）解：，
，得：；
，得：；
（2）设甲种钢条长米，乙种钢条长米，丙种钢条长米，
由题意，得：，
，得：；
∴丙种钢条长米．
24．(1)；
(2)丙需要花费元．
【详解】（1）解：，
，得：；
（2）解：设每支钢笔元，每本笔记本元，每个文件夹元，
根据题意，得，
，得，
原方程组可化为，
把代入，得，
∴．
答：丙需要花费元．

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