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10.5用二元一次方程组解决问题强化提升专练
一、核心思路
用二元一次方程组解决实际问题，核心是将实际问题转化为数学问题，通过设两个未知数，列出两个二元一次方程，组成方程组求解，最终回归实际问题作答。核心原则：找等量关系，列方程组。
关键关联：基础是二元一次方程组的解法，核心是找准题目中的等量关系，是方程知识的实际应用。
二、核心步骤
审题：读懂题意，明确题目中的已知量、未知量，找出题目中的两个等量关系（核心关键）；
设元：设两个未知数（通常设直接未知数，用x、y表示），明确未知数的实际意义；
列方程组：根据找到的两个等量关系，分别列出二元一次方程，联立组成方程组；
解方程组：用代入消元法或加减消元法求解方程组，得到两个未知数的值；
检验：检验求得的解是否符合方程组，同时检验是否符合实际意义（如人数、长度不能为负数）；
作答：根据检验结果，用规范的语言回答实际问题。
记忆口诀：审题找等量，设元列方程；求解再检验，规范来作答。
三、常见等量关系类型
和差倍比问题：和差关系、倍数关系（如：两数和为10，大数是小数的2倍）；
行程问题：路程=速度×时间（相遇、追及问题的核心等量）；
工程问题：工作量=工作效率×工作时间（通常将总工作量看作单位1）；
浓度/价格问题：总价=单价×数量、溶质=溶液×浓度。
四、易错警示
易错点1：找不到两个等量关系，或等量关系找错，导致列不出方程组；
易错点2：设元不明确，未说明未知数的实际意义，或设错未知数；
易错点3：忽略检验，求得的解不符合实际意义（如负数、分数不符合场景）；
易错点4：解方程组出错，或作答不规范，未结合实际问题表述。
强化提升专练
一、单选题
1．周末，某小组12名同学都观看了甲电影和乙电影，其中8人买了甲票，4人买了乙票，总计用了200元．已知每张乙票比甲票售价多5元，求甲票、乙票的售价分别是多少元？设每张甲票的售价为元，每张乙票的售价为元．根据题意，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
2．已知买20支铅笔、3块橡皮共需32元，买39支铅笔、5块橡皮共需58元，则购买10支铅笔与10块橡皮共需（ ）元．
A．16 B．60 C．30 D．66
3．我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺．问木条长多少尺？设绳子长x尺，木条长y尺，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
4．《孙子算经》下卷中有一道题，原文是：“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下九十四足．问雉、兔各几何？”意思是：现在鸡和兔关在一个笼子里，共有35个头，94只脚，问鸡和兔各多少只．设鸡为x只，兔为y只，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B． C． D．
5．某工厂现有95个工人，一个工人每天可做8个螺杆或22个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套，现在要求工人每天做的螺杆和螺母完全配套且没有剩余，若设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，则列出正确的二元一次方程组为（ ）
A． B． C． D．
6．某工厂与地由公路、铁路相连，与地由公路、铁路相连．这家工厂从地购买一批每吨800元的原料运回工厂，制成每吨2000元的产品运到地．已知公路运价为1.8元，铁路运价为1.5元，且这两次运输共支出公路运费30600元，铁路运费121500元，设购买原料，制成产品．为求这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元，可先根据题意列以下方程（ ）
A． B．
C． D．
7．成都大熊猫繁育研究基地是全国热门景点，某店家推出了纪念品礼盒深受国内外游客喜爱，一个礼盒里包含1个花花玩偶和3个花花钥匙扣．已知一个玩偶的进价为50元，一个钥匙扣的进价为10元，该店家计划用8000元购进一批玩偶和钥匙扣，使得刚好配套，设购进个玩偶，个钥匙扣，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．《九章算术》中记载了这样一个问题，原文如下：今有上禾五秉，损实一斗一升，当下禾七秉；上禾七秉，损实二斗五升，当下禾五乘．问上、下禾实一秉各几何？大意是：5捆上等稻子少结一斗一升，相当于7捆下等稻子；7捆上等稻子少结二斗五升，相当于5捆下等稻子．问上等稻子和下等稻子一捆各能结多少（1斗=10升）？设上等水稻每捆有稻谷x升，下等水稻每捆有稻谷升，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．皮影是中国一种民间艺术形式，通过竹棍操控皮影“活起来”，育才中学为普及中国传统技艺和文化，准备了5根竹棍操控的皮影和3根竹棍操控的皮影共86个．若竹棍的个数总和为322，设有x个5根竹棍操控的皮影、y个3根竹棍操控的皮影，则可列方程组为______．
10．为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共个，若桌子腿数与凳子腿数的和为条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有张桌子，有条凳子，根据题意所列方程组是______．
11．如图，将正方形的一角折叠，折痕为，点恰好落在点处，比大．设和的度数分别为和，可列方程组为______．
12．为处理甲、乙两种玩具，商场决定打折销售，已知甲、乙两种玩具的原单价的和是880元，现在甲玩具打八折，乙玩具打七折，结果新单价的和是684元，设甲玩具的单价为x元，乙玩具的单价为y元，根据题意，列出的二元一次方程组是______．
13．《九章算术 盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，则可列方程组为_________．
14．甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价，乙商品提价．调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了．设甲、乙两种商品原来的单价分别为x、y元，则可列方程组为___．
15．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短3尺．设绳索长x尺，竿长y尺．根据题意可列方程组为__________．
16．李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需，则李师傅加工8个甲种零件和16个乙种零件共需_______．
17．如图是九宫格，在每个格子中填上一个数（图中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则________．
18．某校组织学生乘汽车去自然保护区野营，汽车先以的速度在平路上行驶，后又以的速度爬坡到达目的地，共用了；原路返回时，汽车以的速度下坡，又以的速度在平路上行驶，共用了．则学校距自然保护区 ________．
三、解答题
19．某面粉加工厂要加工一批小麦，台大面粉机和台小面粉机同时工作可加工小麦吨；台大面粉机和台小面粉机同时工作可加工小麦吨．求台大面粉机和台小面粉机每小时各加工小麦多少吨？
20．某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．
物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度．
21．快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件，快递员的提成取决于送件和揽件数量．某快递公司的快递员小李送件100件和揽件40件，提成为230元；送件120件和揽件20件，提成为220元．求快递员小李送1件货物和揽1件货物的提成分别为多少元？
22．如图，已知直线和直线相交于点，平分，是内部的一条射线．

(1)若，，求证：；
(2)若比大，比大，请结合二元一次方程组求的度数．
23．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车共需110万元．
(1)问A，B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司共有几种购买方案，最大利润是多少万元？
试卷第4页，共5页
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D D D C C C
1．C
【详解】解：设每张甲票的售价为x元，每张乙票的售价为y元，由题意得：
，
故答案为：C．
．
2．B
【详解】设铅笔单价为x元，橡皮单价为y元．
根据题意得，
解得，
∴，
∴购买10支铅笔与10块橡皮共需60元，
故选：B．
3．D
【详解】解：根据题意得：
，
故选：D．
4．D
【详解】解：设鸡有只，兔有只，
根据题意，得，
故选：D．
5．D
【详解】设安排个工人做螺杆，个工人做螺母，
由题意得：，即，
故选：D．
6．C
【详解】解：设购买x吨原料，制成y吨产品，
由题意得∶ ，
故选：C
7．C
【详解】解：设购进个玩偶，个钥匙扣，根据题意得：
，
故选：C．
8．C
【详解】解：设上等水稻每捆有稻谷x升，下等水稻每捆有稻谷升，根据题意得；
故选：C．
9．
【详解】解：设有个根竹棍操控的皮影、个根竹棍操控的皮影，
由题意得：.
故答案为：.
10．
【详解】解：设有张桌子，有条凳子，
根据题意可知：，
故答案为：
11．
【详解】解：根据题意可得．
故答案为：．
12．
【详解】解：设甲玩具的单价为x元，乙玩具的单价为y元，
根据题意，得：
故答案为：
13．
【详解】解：设共有人，物品的价格为钱，根据题意得：
．
故答案为：．
14．
【详解】解：设甲商品原来的单价是x元，乙商品原来的单价是y元．
根据题意列方程组：
．
故答案为：．
15．
【详解】解：设绳索长x尺，竿长y尺
∵用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，
∴，
∵将绳索对半折后再去量竿，就比竿短3尺，
∴，
∴
故答案为：
16．240
【详解】解：设李师傅加工个甲零件需要，加工个乙零件需要，
，
①②得：．
将代入①，得到，
故，
故加工8个甲种零件和16个乙种零件共需．
故答案为：．
17．
【详解】解：由题意，得：
，解得：；
故答案为：．
18．330
【详解】解：设从学校到自然保护区平路长，坡路长，依题意得：
，
解得：，
∴．
所以从学校到自然保护区共，
故答案为：330．
19．台大面粉机每小时加工小麦吨，台小面粉机每小时加工小麦吨
【详解】解：设台大面粉机每小时加工小麦吨，台小面粉机每小时加工小麦吨，
根据题意得，
解得，
答：台大面粉机每小时加工小麦吨，台小面粉机每小时加工小麦吨．
20．接温水的时间为，接开水的时间为.
【详解】解：设该学生接温水的时间为，接开水的时间为，
根据题意得：
，
解得：，
答：该学生接温水的时间为，接开水的时间为．
21．送1件货物和揽1件货物的提成分别为1.5元和2元
【详解】解：设快递员小李送1件货物和揽1件货物的提成分别为x元和y元．
根据题意，得
解这个方程组得
答：快递员小李送1件货物和揽1件货物的提成分别为元和2元．
22．
【详解】（1）证明：∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：设，，
∵比大，比大，
∴，，，
∴，
解得：，
∴．
23．(1)、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元和10万元．
(2)该公司共有4种购买方案，最大利润是18.4万元
【详解】（1）解：设型号的新能源汽车每辆进价为万元，型号的新能源汽车每辆进价为万元，
由题意可得：
，
解得，
答：、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元和10万元．
（2）解：设购买型号的新能源汽车辆，型号的新能源汽车辆，由题意可得，且，为正整数，
解得：，，，
所以该4S店共有4种购买方案．
当，时，获得的利润为（万元），
当，时，获得的利润为（万元）
当，时，获得的利润为（万元），
当，时，获得的利润为（万元），
综上所述，最大利润为18.4万元．

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