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陕西西安市第一中学2026届高三下学期模拟（1）数学试题
一、单选题
1．设，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设、为共轭复数，若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知各项均为正数的数列满足，且.若，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A．是递减数列 B．是常数列
C． D．
4．设单位向量的夹角为，，则在上的投影数量为（ ）
A． B． C． D．
5．一个三口之家和一对夫妇共计5人前往电影院观看电影,核心观影区现在还剩余一排7个相连的座位.要求同一家庭的座位必须相连，且两个家庭中间至少间隔一个座位，则符合要求的排座方式一共有（ ）
A．48种 B．72种 C．144种 D．216种
6．在平行四边形中，为和边上的一点，与交于点，与交于点，与交于点，已知四边形的面积为平方米，三角形和三角形的面积分别为平方米和平方米，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．一个幼儿园老师为学生布置了一项作业，需要每位同学晚上回家后将20个半径为10厘米的圆形纸片按照下图的方式裁剪若干个弓形，其中裁去部分为正三角形，并将这些弓形两两拼接为一个柳叶形状的纸片，则全班20位同学得到的所有柳叶模型的面积合计约为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点， 的内切圆圆心为，连接并延长交轴于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
二、多选题
9．伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）
A．
B．平面平面PEF
C．异面直线CQ与BD所成角的余弦值为
D．直线CQ与平面所成角的正弦值为
10．已知函数，则（ ）
A．是奇函数 B．的最小正周期为
C．在上单调递增 D．的值域为
11．已知点在曲线上，点，则下列结论正确的有（ ）
A．曲线关于原点对称
B．
C．的最小值为
D．曲线与线段、直线所围成区域的面积大于
三、填空题
12．Wanye老师和张宏老师为了身体健康，报名参加了“”APP的行走打卡送大米的活动.第一天两位老师所走的步数相同，此后Wanye老师每天都比前一天多走700步，张宏老师每天所走的步数不变.若张宏老师前7天所走的总步数与Wanye老师前6天所走的总步数相同，则Wanye老师第7天走__________步.
13．已知，则__________.
14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：
①当时，；
②函数有3个零点
③的解集为；
④，都有.
其中正确的命题是______.
四、解答题
15．已知椭圆的离心率，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为椭圆的上顶点，为椭圆上任意一点，求的最大值及此时点坐标．
16．已知函数，其中，为自然对数的底数．
(1)求函数的单调区间；
(2)讨论函数的零点个数．
17．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，点是的中点，平面与交于点.
(1)求证：；
(2)若平面，，，，求直线与平面所成角的正弦值.
18．数列的前n项和，数列满足，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，
（ⅰ）求证：数列是等比数列；
（ⅱ）若数列的前n项和为，求证：.
19．袋中共有6个球，其中有4个白球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记作，的数学期望记为．
(1)求随机变量，的分布列；
(2)设．
（i）用含的式子表示；
（ii）证明是等比数列，并求．
参考答案
1．A
2．C
3．B
4．D
5．B
6．C
7．C
8．A
9．ABD
10．AC
11．AD
12．14700
13．
14．①②④
15．（1）以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，即.
由，得，则，即.
代入解得，所以椭圆的方程为.
（2）由题可设，且满足，即，.
而上顶点，则，
.所以当时，
所以的最大值为.此时，，
所以点坐标为或.
16．（1） ，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上，的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由（1）可知，的最小值为，计算得：
根据最小值与0的大小关系分三种情况讨论：
当时，即时， 恒成立，没有零点；
当时，即时， 恒成立，此时有唯一零点；
当时，即时， 存在，而时，，时，，根据零点存在定理可知，有两个零点.
综上，时， 没有零点；时，有一个零点；时，有两个零点.
17．（1），平面，平面，则有平面，
平面，平面平面，所以.
（2），，则为等边三角形，
连接，则，又，有，
中，由余弦定理，得，
有，得，所以，
又平面，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的一个法向量，
有，设，则，即，
设直线与平面所成角为，
则.
18．（1）当时，，
当时，也符合上式，
所以.
（2）（ⅰ）当n为奇数时，；此时为偶数，由，
得.
当n为偶数时，；此时为奇数，由，
得.
因此，对任意，有.
因为，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.
（ⅱ）由（ⅰ）得，，
①
①得②
由①-②得
，
所以，
因为，所以，
因为
，，
所以，，即关于n是递增的，因此，
综上，.
19．（1）根据题意的可能取值为，
即一次摸球摸到白球，，
即一次摸球摸到黑球，，
所以的分布列为
4 5
根据题意的可能取值为，
即二次摸球均摸到白球，，
即二次摸球恰好摸到一白一黑球，，
即二次摸球均摸到黑球，，
所以的分布列为
4 5 6
（2）（i）设第次摸球摸到黑球为事件，
则，
，
，
所以．
（ii）由（i）及得，
，
所以，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即.

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