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2026届高三深二模热身考试
数 学 2026. 4. 8
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1. 已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量 满足 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
4. 过双曲线 的右焦点 F作其中一条渐近线的垂线，垂足为 P，若
， 的面积为 6（O为坐标原点），则 C的渐近线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
5. 春节期间，某人计划去 六个不同的景点游览，在确定景点的游览顺序时，
要求 在 之前， 与 相邻，则不同的游览顺序有（ ）
A. 24 B. 60 C. 120 D. 240
6. 已知圆锥的底面半径为 ，且此圆锥的内切球体积为 ，则圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数
的图象，若 图象的一个对称中心为 ，则 的最小值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
8. 已知函数 ， 为 的导函数，若 ，使得
，则实数 的最小值为（ ）
— 1 —
A. 1 B. 2 C. D.
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 已知第一组样本数据 ， ，…， 的方差为 1，第二组样本数据 ， ，…，
的平均数为 14，则（ ）
A. 第一组数据 平均数为 4 B. 第二组数据的方差为 3
C. 将两组数据合并后数据的平均数是 9 D. 将两组数据合并后数据的方差是 30
10. 已知数列 满足 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 是递增数列 B. 当 时，
C. D.
11. 某市以“渤海湾畔 生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学
爱好者设计了“渤海明珠”曲线 ，其方程为 ．对于曲线 ，则下
列结论正确的是（ ）
A. 若直线 与曲线 有唯一公共点，则 取值范围为
B. 曲线 上存在唯一的点 ，使得点 到点 与到点 的距离之差为 4
C. 曲线 所围成的封闭区域面积等于
D. 若曲线 上恰好存在 4个不同点到直线 的距离为 ，则实数 的取值范围
为
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 的展开式中 的系数为___________．
13. ___________．
14. 已知 ， 为椭圆与双曲线的公共左，右焦点， 为它们的一个公共点，且 ，
O为坐标原点， ， 分别为椭圆和双曲线的离心率，则 的最大值为_________．
— 2 —
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （本小题满分 13分）
已知 内角 的对边分别为 ，且 .
（1）求角 A；
（2）若 的周长为 ，且 外接圆的半径为 1，求 的面积.
16．（本小题满分 15分）
如图， ， 是圆柱 下底面圆的两条直径，点 是该圆柱上底面圆周上一点，
的中点为 ．
（1）证明： 平面 ；
（2） 是该圆柱的母线，若四边形 是正方形，且该圆柱的侧面积等于其两底面面
积之和，求直线 与平面 所成角的正弦值．
17．（本小题满分 15分）
已知函数 ．
（1）证明：在曲线 所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线 的斜率
相等；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
— 3 —
18．（本小题满分 17分）
已知抛物线 的焦点 到准线 的距离为 2，点 ，过 的直线
交 于 A， 两点，过 A， 分别作 的垂线，垂足分别为 ， ，直线 ， 与直线
分别交于点 ， .
（1）求 的方程；
（2）记 ， 的纵坐标分别为 ， ，当 时，求直线 的斜率；
（3）设 为 轴上一点，记 ， 分别为直线 ， 的斜率. 若 为定值，求点 的
坐标.
19．（本小题满分 17分）
每届高考结束后，某校各班都要推荐优秀学生代表作为嘉宾与下一届学生进行学习经验
分享。2025届高三年级班号依次为 ，高三 0班的优秀学生代表为 2名男生和 2
名女生，其余各班的优秀学生代表均为 1名男生和 1名女生．第一场分享会的 4名学生嘉宾
由从高三 0班的优秀学生代表中选出的 2名和高三 1班的 2名优秀学生代表共同组成，第二
场分享会的 4名学生嘉宾由从上一场的 4名嘉宾中选出的 2名和高三 2班的 2名优秀学生代
表共同组成，．．．，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会．
（1）求第一场分享会的学生嘉宾中恰有 2名男生的概率；
（2）求第二场分享会的学生嘉宾中恰有 2名男生的概率；
（3）记第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数为 ，求 的分布列和数学期望．
— 4 —
参考答案
1. A
2. C
3. B
4. C
5. C
【详解】将 捆绑看作一个整体，内部有 种排列方式；
再将 5个元素全排列有： ，
故满足 与 相邻的排列共有 种.
在所有排列中， 在 之前和 在 之后的排列数相等，各占总排列数的一半，
因此 在 之前， 与 相邻，不同的游览顺序有 种.
6. D
【详解】作出圆锥的轴截面，如图，作出符合题意的图形，
记内切球的半径为 ，圆锥的母线长为 ，高为 ，
由题知 ，解得 ，
由三角形面积公式可得 ，即 ①，
又 ②，联立①②解得 ，
故圆锥的侧面积 .
7. B
【详解】因为 图象的一个对称中心为 ，故 图象的对称中心为 ，
故 ，故 ，而 ，故 .
8. C
【详解】由题意 ，定义域为 R，
因为 恒成立，所以 ，
— 5 —
当且仅当 ，即 时取等号，
则 的值域为 ，且 在 R上单调递增，
由 ，得 ，
因为 ，使得 ，
所以 ，即 ，
令 ，则 ，解得 或 （舍），
所以 ，解得 ，
则实数 的最小值为 .
9. ACD
【详解】设第一组样本数据 ， ，…， 的平均数为 ，方差为 ，
则第二组样本数据 ， ，…， 的平均数为 ，方差为
，
由题意知 ， ，
则有 ，解得第一组的平均数为 ，故选项 A正确；
第二组的方差为 ，故选项 B错误；
将两组数据合并后数据的平均数是 ，故选项 C正确；
第一组样本数据的方差 ，
即 ，
即 ，
即 ，
，
— 6 —
，
则两组数据合并后数据的方差是
，
，
，
则两组数据合并后数据的方差
，故选项 D正确.
10.ABD
【详解】对于 A，易知 ，由 ，得 ，所以 ，
所以 递增数列，故 A正确；
对于 B，由对 A的分析，知 ，
所以 （仅当 时取等号），
由 ，得 ，
所以当 时，
，
所以当 时， ，
— 7 —
因此当 时， ，故 B正确；
对于 C，由 ，得 ，
由对 B的分析知，当 时， ，所以 ，
故当 时， ，
所以 ，故 C错误；
对于 D，由 ，得 ，
即 ，
所以
，故 D正确．
11. BC
【详解】因为曲线 ： ，分象限讨论：
当 时，方程为 ，即 ，其表示以
为圆心，以 为半径的圆的第一象限部分；
当 时，方程为 ，即 ，其表示以
为圆心，以 为半径的圆的第二象限部分；
当 时，方程为 ，即 ，其表示以
为圆心，以 为半径 圆的第三象限部分；
当 时，方程为 ，即 ，其表示以
为圆心，以 为半径的圆的第四象限部分；如图：
曲线 C由四段圆弧组成，关于 x轴、y轴、原点对称.
— 8 —
对于 A，直线 过原点，所以直线必和曲线 C有一个交点，
再以第一象限为例，圆心 到直线 的距离 ，
化简得 ，即当 时直线与圆相切，同理可分析其它各个象限，
所以当 时，直线 与曲线 有唯一公共点，
当 或 时，直线 与曲线 有 3个公共点，如图：故 A错误；
对于 B，因为点 到点 与到点 的距离之差为 4，
所以点 在以 ， 为焦点，以实轴长为 4的双曲线的下支上，方程为
，
显然双曲线的一个实顶点 在曲线 C上且只有这一个点，所以 B正确；
对于 C，先计算第一象限部分的弓形弧的面积，扇形弦长为 2，半径为 ，
所以扇形的圆心角为 ，所以第一象限部分的弓形的面积
，
所以曲线 所围成的封闭区域面积等于 ，故 C正确；
对于 D，由 A选项的分析可知，与直线 平行且与曲线 C相切的两条直线为
，
而这两条切线间的距离为 .
当直线 与切线 的距离为 时，则 ，解得 或
（舍去）；
— 9 —
当直线 与切线 的距离为 时，则 ，解得 或
（舍去）；
当直线 与切线 的距离为 时，则 ，解得 或 ；
因为曲线 上恰好存在 4个不同点到直线 的距离为 ，
由图可得实数 的取值范围为 ，D错误.
12. 的展开式中 的系数为___________.
【答案】90
13. ___________．
【答案】
14. 已知 ， 为椭圆与双曲线的公共左，右焦点， 为它们的一个公共点，且
，O为坐标原点， ， 分别为椭圆和双曲线的离心率，则 的最大值为_______.
【答案】
【详解】由题意可设椭圆和双曲线的方程分别为
因为二者共焦点，所以 ，
如图，设 ，由椭圆和双曲线的定义可知 ，
— 10 —
由此解得 ，由题意知 ，
所以 ，
故在 中，由勾股定理可知 ，代入 的表达式可得 ，
由离心率的定义可得 ，设 ，则 ，问题转化为求
的最大值，
设 ，由 可得 ，
当且仅当两向量同向共线时即 取等号，所以 最大值为 .
15.已知 内角 的对边分别为 ，且 .
（1）求角 A；
（2）若 的周长为 ，且 外接圆的半径为 1，求 的面积.
【小问 1详解】
∵ ，
由正弦定理得 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 .
【小问 2详解】
设 外接圆的半径为 ，则 ，
由正弦定理得 ，
— 11 —
因为 的周长为 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
即 ，所以 ，
所以 的面积 .
16. 如图， ， 是圆柱 下底面圆的两条直径，点 是该圆柱上底面圆周上一点，
的中点为 ．
（1）证明： 平面 ；
（2） 是该圆柱的母线，若四边形 是正方形，且该圆柱的侧面积等于其两底面面
积之和，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【小问 1详解】
由已知点 为线段 的中点，点 为线段 的中点，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
【小问 2详解】
设圆柱的底面半径为 ，母线长为 ，
因为圆柱的侧面积等于其两底面面积之和，所以 ，所以 ，
由已知， ， ， ， ，
因为 是该圆柱的母线，所以 平面 ，
因为四边形 是正方形，所以 ，
故 平面 ，又 平面 ，
所以 ， ，
又 为圆 的直径， 为圆 上异于 ， 的点，
— 12 —
所以 ，
以点 为坐标原点， ， ， 为 ， ， 轴正方向建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
故 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故 ，
取 ，则 ， ，
故 为平面 的一个法向量，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ,
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
17.已知函数 ．
（1）证明：在曲线 所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线 的斜率
相等；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【小问 1详解】
函数 的定义域为 .
.
令 ，则 .
令 ，得 ，所以 ；
— 13 —
令 ，得 ，所以 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 在 处取得最小值，最小值为 .
当 时， ， 所以 .
又 ，所以当 时， .
当 时，
其简图如右：
所以 有唯一解，即在曲线 的图象上，有且仅有一个点处的斜率等于 ，
即在曲线 的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线 的斜率相等.
【小问 2详解】
当 时，不等式 恒成立，即 .
令 ，则
.
令 ，则
.
因为 ，所以 ，
又 ，所以 .
所以 是增函数，所以 .
— 14 —
因为 ，所以 恒成立，所以 是增函数，
所以 ，即 的最小值为 .
所以实数 的取值范围是 ．
18.已知抛物线 的焦点 到准线 的距离为 2，点 ，过 的直
线交 于 ， 两点，过 ， 分别作 的垂线，垂足分别为 ， ，直线 ， 与
直线 分别交于点 ， .
（1）求 的方程；
（2）记 ， 的纵坐标分别为 ， ，当 时，求直线 的斜率；
（3）设 为 轴上一点，记 ， 分别为直线 ， 的斜率.若 为定值，求点 的
坐标.
【小问 1详解】
由题意知 ，所以抛物线方程为 .
【小问 2详解】
由题意可设直线 的方程为 ， ， ，
则 ， ， .
所以 ，得 ，
所以 ， .
所以直线 的方程为： ，与直线 的方程 联立消去 ，
解得 ，同理 .
所以 .所以 .
所以直线 的斜率为 .
— 15 —
【小问 3详解】 设 ，
因为 .
因为 ， .
所以 ，
当 时， 为定值.所以 .
19. 每届高考结束后，某校各班都要推荐优秀学生代表作为嘉宾与下一届学生进行学习经验
分享.2025届高三年级班号依次为 ，高三 0班的优秀学生代表为 2名男生和 2
名女生，其余各班的优秀学生代表均为 1名男生和 1名女生．第一场分享会的 4名学生嘉宾
由从高三 0班的优秀学生代表中选出的 2名和高三 1班的 2名优秀学生代表共同组成，第二
场分享会的 4名学生嘉宾由从上一场的 4名嘉宾中选出的 2名和高三 2班的 2名优秀学生代
表共同组成，．．．，按照这样的方式，依次进行到第二十七场分享会．
（1）求第一场分享会的学生嘉宾中恰有 2名男生的概率；
（2）求第二场分享会的学生嘉宾中恰有 2名男生的概率；
（3）记第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数为 ，求 的分布列和数学期望．
【小问 1详解】
设第 场分享会的学生嘉宾中有 1名男生为事件 ，
有 2名男生为事件 ，有 3名男生为事件 ，则 ；
【小问 2详解】
；
【小问 3详解】
— 16 —
当 时，
，
，
，
由 ，得
，
即有 ，又 ，
所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，即 ，
结合对称性可知，每次分享会的学生嘉宾中有 1名男生的概率与有 3名男生的概率相同，
故 ，又 ，
所以 ，
第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数 的所有可能取值为 1，2，3，
，
— 17 —
，
故其分布列为：
1 2 3
则 .
16.17. 如 图 ， 在 三 棱 柱 中 ， 平 面 平 面
， 为 的中点， 为 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若三棱柱 的体积为 ，求 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点为 ，连接 ，证明四边形 为平行四边形，进
而可得 ，可证结论；
（2）由已知可得 平面 ，结合柱体的体积公式求得 ，建立空间直角坐标
— 18 —
系，利用向量法可求得 与平面 所成角的正弦值.
【小问 1详解】
取 的中点为 ，连接 ，
因为 为 的中点，所以 且 ，
又因为 为 的中点， ， ，所以 且 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
【小问 2详解】
因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，
所以 平面 ，所以 为三棱柱 的高，
所以 ，
所以 ，解得 ，
在平面 内作 ，
以 为坐标原点， 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
则平面 的一个法向量为 ，
设 与平面 所成角为 ，
— 19 —
所以 .
所以 与平面 所成角的正弦值为 .
— 20 —

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