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8.1.1　变量的相关关系
1．下列关系中，属于函数关系的是(　　)
A．某户家庭的用电量与电费
B．红富士苹果的施肥量与产量
C．人的胖瘦与眼睛近视的度数
D．姐姐的英语成绩与弟弟的英语成绩
2．以下散点图中正相关的是(　　)
　　　
A　　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　　D
3．某商场五天内某种衬衫的销售情况如下表：
第x天 1 2 3 4 5
销售量y/件 19 39 59 79 104
则下列说法正确的是(　　)
A．y与x负相关
B．y与x正相关
C．y与x不相关
D．y与x成正比例关系
4．某中学的兴趣小组，在某座山上测得海拔高度(单位：km)、气压(单位：kPa)和沸点(单位：℃)的六组数据，绘制成如图散点图，则下列说法错误的是(　　)
(1)
(2)
A．沸点与海拔高度呈正相关
B．沸点与气压呈正相关
C．沸点与海拔高度呈负相关
D．沸点与海拔高度、气压的相关性都很强
5．(多选)下列各对变量成正相关的有(　　)
A．学生的学籍号与学生的数学成绩
B．坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数
C．气温与冷饮销售量
D．电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量
6．(多选)下列散点图中，变量x，y具有相关关系的有(　　)
　　　　　　
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
7．(多选)某城市在2024年1月份至10月份各月最低温与最高温(单位：℃)的数据如下表．已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据下表，下列结论正确的是(　　)
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最高温/℃ 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21
最低温/℃ －12 －3 1 －2 7 17 19 23 25 10
A．最低温与最高温为正相关
B．每月最低温与最高温的平均值在前8个月逐月增加
C．月温差(最高温减最低温)的最大值出现在1月
D．1月至4月的月温差相对于7月至10月，波动性更大
8．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5)，得表1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，3，4，5)，得表2．由这两个表可以判断：变量x与y____，变量u与v____．(填“正相关”或“负相关”)
表1
x 1 2 3 4 5
y 2.9 3.3 3.6 4.4 5.1
表2
u 1 2 3 4 5
v 25 20 21 15 13
9．有下列关系：①人的寿命与他(她)每天坐着的时间之间的关系；②曲线上的点与该点关于原点的对称点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系．
其中具有相关关系的是____．(填序号)
10．高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是____；
②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是____．
11．某零售店1月份至5月份的销售额和利润数据如下表：
月份 1 2 3 4 5
销售x/千万元 3 5 6 7 9
利润y/百万元 2 3 3 4 5
(1) 根据上表数据作出散点图；
(2) 由散点图判断利润y关于销售额x是否具有线性相关关系，如果具有线性相关关系，那么是正相关还是负相关？
12．有人收集了10年中某城市居民年收入(即此城市所有居民在一年内的收入的总和)与某种商品的销售额的有关数据(单位：亿元)：
第n年 1 2 3 4 5
年收入/亿元 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1
销售额/亿元 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0
第n年 6 7 8 9 10
年收入/亿元 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0
销售额/亿元 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0
(1) 画出散点图，你能从散点图中发现居民年收入与该种商品销售额之间的近似关系吗？
(2) 如果它们之间近似成线性关系，请画出一条直线来近似表示这种关系．
13．研究某设备的使用年限x与维修费用y之间的关系，测得一组数据如下表(y为观察值)：
年限x/年 2 3 4 5 6
维修费用y/万元 3 4.4 5 5.6 6.2
由数据可知y与x有明显的线性相关关系，可以用一条直线l的方程来反映这种关系．
(1) 在图中作出y与x的散点图；
(2) 如果直线l过散点图中的最左侧点和最右侧点，求出直线l的方程；
(3) 如果直线l过散点图中的中间点(即点(4，5))，且使维修费用的每一个观察值与直线l上对应点的纵坐标的差的绝对值之和最小，求出直线l的方程．
(1)
8.1.1　变量的相关关系
1．下列关系中，属于函数关系的是(　A　)
A．某户家庭的用电量与电费
B．红富士苹果的施肥量与产量
C．人的胖瘦与眼睛近视的度数
D．姐姐的英语成绩与弟弟的英语成绩
2．以下散点图中正相关的是(　A　)
　　　
A　　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　　D
3．某商场五天内某种衬衫的销售情况如下表：
第x天 1 2 3 4 5
销售量y/件 19 39 59 79 104
则下列说法正确的是(　B　)
A．y与x负相关
B．y与x正相关
C．y与x不相关
D．y与x成正比例关系
4．某中学的兴趣小组，在某座山上测得海拔高度(单位：km)、气压(单位：kPa)和沸点(单位：℃)的六组数据，绘制成如图散点图，则下列说法错误的是(　A　)
(1)
(2)
A．沸点与海拔高度呈正相关
B．沸点与气压呈正相关
C．沸点与海拔高度呈负相关
D．沸点与海拔高度、气压的相关性都很强
【解析】 由图(1)知气压随海拔高度的增加而减小，由图(2)知沸点随气压的升高而升高，所以沸点与气压呈正相关，B正确；沸点与海拔高度呈负相关，C正确，A错误；由于两个散点图中的点都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，D正确．
5．(多选)下列各对变量成正相关的有(　CD　)
A．学生的学籍号与学生的数学成绩
B．坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数
C．气温与冷饮销售量
D．电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量
【解析】 对于A，学生的学籍号与学生的数学成绩没有相关关系；对于B，一般情况下，坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数成负相关关系；对于C，一般情况下，气温与冷饮销售量成正相关关系；对于D，一般情况下，电瓶车的重量和行驶每千米的耗电量成正相关关系．
6．(多选)下列散点图中，变量x，y具有相关关系的有(　ABC　)
　　　　　　
A　　　　　B　　　　　C　　　　　D
【解析】 由变量相关关系定义，如果散点大部分分布在一条曲线附近就说两变量具有相关关系， D的散点没有这一特征，故D不具有相关关系， ABC具有相关关系．
7．(多选)某城市在2024年1月份至10月份各月最低温与最高温(单位：℃)的数据如下表．已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据下表，下列结论正确的是(　ACD　)
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最高温/℃ 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21
最低温/℃ －12 －3 1 －2 7 17 19 23 25 10
A．最低温与最高温为正相关
B．每月最低温与最高温的平均值在前8个月逐月增加
C．月温差(最高温减最低温)的最大值出现在1月
D．1月至4月的月温差相对于7月至10月，波动性更大
【解析】 对于A，由题意可知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，由数据分析可得最低温与最高温为正相关，故A正确；对于B，由表中数据，每月最高温与最低温的平均值依次为－3.5，3，5，4.5，12，20.5，23，26.5，28，15.5，前8个月不是逐月增加的，故B错误；对于C，由表中数据，月温差依次为17，12，8，13，10，7，8，7，6，11，月温差的最大值出现在1月，故C正确；对于D，由C的结论，分析可得1月至4月的月温差相对于7月至10月的月温差，波动性更大，故D正确．
8．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5)，得表1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，3，4，5)，得表2．由这两个表可以判断：变量x与y__正相关__，变量u与v__负相关__．(填“正相关”或“负相关”)
表1
x 1 2 3 4 5
y 2.9 3.3 3.6 4.4 5.1
表2
u 1 2 3 4 5
v 25 20 21 15 13
9．有下列关系：①人的寿命与他(她)每天坐着的时间之间的关系；②曲线上的点与该点关于原点的对称点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系．
其中具有相关关系的是__①③④__．(填序号)
【解析】 利用相关关系的概念进行判断，②中两变量的关系是一种确定性关系．
10．高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是__乙__；
②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是__数学__．
【解析】 ②由散点图可知，两个图中，同一个人的总成绩是不会变的．从第二个图看，丙是从右往左数第5个点，即丙的总成绩在年级倒数第5．在左边的图中，找到倒数第5个点，它表示的就是丙，发现这个点的位置比右边图中丙的位置高，所以语文名次更“大”，即数学的成绩更靠前．
11．某零售店1月份至5月份的销售额和利润数据如下表：
月份 1 2 3 4 5
销售x/千万元 3 5 6 7 9
利润y/百万元 2 3 3 4 5
(1) 根据上表数据作出散点图；
(2) 由散点图判断利润y关于销售额x是否具有线性相关关系，如果具有线性相关关系，那么是正相关还是负相关？
【解答】 (1) 作出散点图如图所示．
(2) 由散点图可知，所有散点接近一条直线排列，所以利润与销售额是线性相关关系．由图可知当销售额增加时，利润呈现增加的趋势，所以是正相关．
12．有人收集了10年中某城市居民年收入(即此城市所有居民在一年内的收入的总和)与某种商品的销售额的有关数据(单位：亿元)：
第n年 1 2 3 4 5
年收入/亿元 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1
销售额/亿元 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0
第n年 6 7 8 9 10
年收入/亿元 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0
销售额/亿元 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0
(1) 画出散点图，你能从散点图中发现居民年收入与该种商品销售额之间的近似关系吗？
(2) 如果它们之间近似成线性关系，请画出一条直线来近似表示这种关系．
【解答】 (1) 作出散点图如图所示．
从散点图中可以看出年收入与销售额之间的总体趋势成一条直线，也就是说它们之间是线性相关关系．
(2) 所画直线如图所示．
13．研究某设备的使用年限x与维修费用y之间的关系，测得一组数据如下表(y为观察值)：
年限x/年 2 3 4 5 6
维修费用y/万元 3 4.4 5 5.6 6.2
由数据可知y与x有明显的线性相关关系，可以用一条直线l的方程来反映这种关系．
(1) 在图中作出y与x的散点图；
(2) 如果直线l过散点图中的最左侧点和最右侧点，求出直线l的方程；
(3) 如果直线l过散点图中的中间点(即点(4，5))，且使维修费用的每一个观察值与直线l上对应点的纵坐标的差的绝对值之和最小，求出直线l的方程．
(1)
【解答】 (1) 作出散点图如图所示．
(2)
(2) 因为散点图中的最左侧点和最右侧点分别是(2，3)，(6，6.2)，所以直线l的方程是y－3＝(x－2)，即4x－5y＋7＝0．
(3) 由题意可设直线l的方程为y＝k(x－4)＋5，则维修费用的每一个观察值，与直线l上对应点的纵坐标的差的绝对值之和S(k)＝|3－(－2k＋5)|＋|4.4－(－k＋5)|＋|5.6－(k＋5)|＋|6.2－(2k＋5)|＝2|k－1|＋4|k－0.6|＝因为S(k)的单调增区间为(0.6，＋∞)，单调减区间为(－∞，0.6)，所以当k＝0.6时，S(k)取得最小值0.8，此时直线l的方程是3x－5y＋13＝0．

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