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8.2.1　一元线性回归模型与参数的最小二乘估计
1．在线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，下列说法正确的是(　　)
A．Y＝bx＋a＋e是一次函数
B．因变量Y是由自变量x唯一确定的
C．因变量Y除了受自变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生
D．随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生
2．如果在一次实验中，测得(x，y)的四组数值分别是(1，2.2)，(2，3.3)，(4，5.8)，(5，6.7)，则y对x的经验回归方程是(　　)
A．＝0.15x＋4.05 B．＝x＋1.45
C．＝1.05x＋1.15 D．＝1.15x＋1.05
3．已知一组样本数据点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(x6，y6)，用最小二乘法求得其经验回归方程为＝－2x＋4．若x1，x2，x3，…，x6的平均数为1，则y1＋y2＋y3＋…＋y6等于(　　)
A．2 B．12
C．13 D．14
4． 已知由一组样本数据确定的经验回归方程为＝－2x＋8，且＝3．发现有两对数据(1.7，1)与(4.3，3)误差较大，去掉这两对数据后重新求得经验回归方程为＝－1.8x＋，则等于(　　)
A．2 B．1.6
C．7.4 D．0.8
5． (多选)变量x，y的部分成对观测数据如下表所示：
x 1 2 3 4 5 6 7
y 4 6 6 8 9 11 12
则下列结论中正确的有(　　)
A．样本数据y的第50百分位数为7
B．＝4，＝8
C．x，y两组成对数据表示的向量在原点处夹角的余弦值大于0
D．若用上表数据得到y关于x的经验回归方程为＝x＋，则＝
6．(多选)在研究某种产品的零售价x(单位：元)与销售量y(单位：万件)之间的关系时，根据所得数据得到如下表所示的对应表：
x/元 12 14 16 18 20
y/万件 17 16 14 13 11
利用最小二乘法计算数据，得到的经验回归方程为＝x＋26.2，则下列说法中正确的有(　　)
A．＞0
B．＜0
C．回归直线必过点(16，14.2)
D．若该产品的零售价定为22元，则销售量一定是9.7万件
7．(多选)某公司过去五个月的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据：
x 2 4 5 6 8
y ▲ 40 60 50 70
工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失．已知y对x呈线性相关关系，且经验回归方程为＝6.5x＋17.5，则下列说法正确的有(　　)
A．销售额y与广告费支出x正相关
B．丢失的数据(表中▲处)为30
C．该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元
D．若该公司下月广告费支出为8万元，则预测销售额约为69.5万元
8．已知女儿身高y(单位：cm)关于父亲身高x(单位：cm)的经验回归方程为＝0.81x＋25.82，当父亲身高每增加1 cm，则女儿身高平均增加____．
9．在某次试验中，实数x，y的取值如下表：
x 0 1 3 5 6
y 1.3 m 2m 5.6 7.4
若x与y之间具有较好的线性相关关系，且求得经验回归方程为＝x＋1，则实数m的值为____．
10． 将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标xi和某植物分布的数量yi(i＝1，2，…，6)，得到样本(xi，yi)，且其样本相关系数r＝，记y关于x的经验回归方程为＝＋x．经计算可知：＝9，＝550，(yi－)2＝256，则＝____．
11．如图是某采矿厂的污水排放量y(单位：吨)与矿产品年产量x(单位：吨)的折线图．
(1) 依据折线图计算样本相关系数r(精确到0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？(若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)
(2) 若可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的经验回归方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量．
附：r＝，≈0.55，≈0.95．经验回归方程＝x＋中，＝，＝－．
12． 某企业调研后，得到研发投入x(单位：万元)与产品收益y(单位：万元)的数据如下：
x 1 2 3 4 5
y 9 12 17 21 26
(1) 若y与x线性相关，请根据样本相关系数r推断它们的相关程度；(若0.3＜＜0.75，则相关程度一般；若≥0.75，则相关程度很强)
(2) 求出y关于x的经验回归方程＝x＋，并预测当研发投入6万元时的产品收益．
参考数据及公式：≈43.1；
r＝，＝，＝－．
13． 新能源汽车发展非常迅速，某地区2017年至2024年(年份代码分别记为1，2，3，4，5，6，7，8)某品牌新能源汽车的科研经费投入和销售量统计如下表：
年份代码i 1 2 3 4 5 6 7 8
科研经费xi(单位：百亿元) 2 3 6 10 13 15 18 21
销售量yi(单位：百万辆) 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6
　 (1) 根据样本数据，计算科研经费x与销售量y之间的样本相关系数，并推断它们的线性相关程度(结果精确到0.01)；
(2) 根据样本数据，求销售量y关于科研经费x的经验回归方程(，用分数表达)．
参考数据及公式：xiyi＝347，＝1 308，＝93，≈42.25．
样本相关系数r＝，＝，＝－．
8.2.1　一元线性回归模型与参数的最小二乘估计
1．在线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，下列说法正确的是(　C　)
A．Y＝bx＋a＋e是一次函数
B．因变量Y是由自变量x唯一确定的
C．因变量Y除了受自变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生
D．随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生
【解析】 对于A，在线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，方程表示的不是函数关系，因此不是一次函数，故A错误；对于B，因变量Y不是由自变量x唯一确定的，故B错误；对于D，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，故D错误，只有选项C正确．
2．如果在一次实验中，测得(x，y)的四组数值分别是(1，2.2)，(2，3.3)，(4，5.8)，(5，6.7)，则y对x的经验回归方程是(　D　)
A．＝0.15x＋4.05 B．＝x＋1.45
C．＝1.05x＋1.15 D．＝1.15x＋1.05
3．已知一组样本数据点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(x6，y6)，用最小二乘法求得其经验回归方程为＝－2x＋4．若x1，x2，x3，…，x6的平均数为1，则y1＋y2＋y3＋…＋y6等于(　B　)
A．2 B．12
C．13 D．14
【解析】 设样本数据点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(x6，y6)的样本中心点为(，)，则＝1，代入线性回归方程＝－2x＋4中，得＝－2×1＋4＝2，则y1＋y2＋y3＋…＋y6＝6＝12．
4． 已知由一组样本数据确定的经验回归方程为＝－2x＋8，且＝3．发现有两对数据(1.7，1)与(4.3，3)误差较大，去掉这两对数据后重新求得经验回归方程为＝－1.8x＋，则等于(　C　)
A．2 B．1.6
C．7.4 D．0.8
【解析】 根据＝3可知＝－2×3＋8＝2，因此经验回归方程必过(3，2)，易知去掉(1.7，1)与(4.3，3)两组数据的平均值为(3，2)，则剩余数据均值不变，因此新求得的经验回归方程＝－1.8x＋也过(3，2)，即可得2＝－1.8×3＋，解得＝7.4．
5． (多选)变量x，y的部分成对观测数据如下表所示：
x 1 2 3 4 5 6 7
y 4 6 6 8 9 11 12
则下列结论中正确的有(　BCD　)
A．样本数据y的第50百分位数为7
B．＝4，＝8
C．x，y两组成对数据表示的向量在原点处夹角的余弦值大于0
D．若用上表数据得到y关于x的经验回归方程为＝x＋，则＝
【解析】 样本数据y的第50百分位数为8，故A错误；由表中数据知＝＝4，＝＝8，故B正确；将样本中心点(，)代入y关于x的经验回归方程得8＝×4＋，则＝，故D正确；x，y两组成对数据表示的向量都在第一象限，所以原点处夹角的余弦值大于0，故C正确．
6．(多选)在研究某种产品的零售价x(单位：元)与销售量y(单位：万件)之间的关系时，根据所得数据得到如下表所示的对应表：
x/元 12 14 16 18 20
y/万件 17 16 14 13 11
利用最小二乘法计算数据，得到的经验回归方程为＝x＋26.2，则下列说法中正确的有(　BC　)
A．＞0
B．＜0
C．回归直线必过点(16，14.2)
D．若该产品的零售价定为22元，则销售量一定是9.7万件
【解析】 ＝×(12＋14＋16＋18＋20)＝16，＝×(17＋16＋14＋13＋11)＝＝14.2，所以样本点中心的坐标为(16，14.2)，代入＝x＋26.2，得14.2＝16＋26.2，即＝－0.75＜0，故A错误，B正确，C正确；由于只能得到估计值，故D错误．
7．(多选)某公司过去五个月的广告费支出x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)之间有下列对应数据：
x 2 4 5 6 8
y ▲ 40 60 50 70
工作人员不慎将表格中y的第一个数据丢失．已知y对x呈线性相关关系，且经验回归方程为＝6.5x＋17.5，则下列说法正确的有(　ABD　)
A．销售额y与广告费支出x正相关
B．丢失的数据(表中▲处)为30
C．该公司广告费支出每增加1万元，销售额一定增加6.5万元
D．若该公司下月广告费支出为8万元，则预测销售额约为69.5万元
【解析】 由经验回归方程＝6.5x＋17.5，可知＝6.5＞0，所以销售额y与支出的广告费x呈正相关，所以A正确；设丢失的数据为m，由表中的数据可得＝5，＝，把代入经验回归方程，可得＝6.5×5＋17.5，解得m＝30，所以B正确；该公司支出的广告费每增加1万元，销售额不一定增加6.5万元，所以C不正确；当x＝8时，＝6.5×8＋17.5＝69.5(万元)，所以D正确．
8．已知女儿身高y(单位：cm)关于父亲身高x(单位：cm)的经验回归方程为＝0.81x＋25.82，当父亲身高每增加1 cm，则女儿身高平均增加__0.81 cm__．
【解析】 由回归方程知，当父亲身高每增加 1 cm，则女儿身高平均增加0.81 cm．
9．在某次试验中，实数x，y的取值如下表：
x 0 1 3 5 6
y 1.3 m 2m 5.6 7.4
若x与y之间具有较好的线性相关关系，且求得经验回归方程为＝x＋1，则实数m的值为__1.9__．
【解析】 因为＝3，＝，则＝3＋1＝4，解得m＝1.9．
10． 将某保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中6个区域，统计这些区域内的某种水源指标xi和某植物分布的数量yi(i＝1，2，…，6)，得到样本(xi，yi)，且其样本相关系数r＝，记y关于x的经验回归方程为＝＋x．经计算可知：＝9，＝550，(yi－)2＝256，则＝____．
【解析】 因为＝9，＝550，所以(xi－)2＝－6＝550－6×92＝64，由r＝＝＝，解得(xi－)(yi－)＝120，所以＝＝＝．
11．如图是某采矿厂的污水排放量y(单位：吨)与矿产品年产量x(单位：吨)的折线图．
(1) 依据折线图计算样本相关系数r(精确到0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？(若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)
(2) 若可用线性回归模型拟合y与x的关系，请建立y关于x的经验回归方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量．
附：r＝，≈0.55，≈0.95．经验回归方程＝x＋中，＝，＝－．
【解答】 (1) 由折线图可得＝＝5，＝＝4，(xi－)(yi－)＝3＋0＋0＋0＋3＝6，(xi－)2＝9＋1＋0＋1＋9＝20，(yi－)2＝1＋0＋0＋0＋1＝2，样本相关系数r＝＝≈0.95．因为|r|＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．
(2) ＝＝＝0.3，＝－＝4－0.3×5＝2.5，所以经验回归方程为＝0.3x＋2.5．当x＝10时，＝5.5，所以预测年产量为10吨时的污水排放量为5.5吨．
12． 某企业调研后，得到研发投入x(单位：万元)与产品收益y(单位：万元)的数据如下：
x 1 2 3 4 5
y 9 12 17 21 26
(1) 若y与x线性相关，请根据样本相关系数r推断它们的相关程度；(若0.3＜＜0.75，则相关程度一般；若≥0.75，则相关程度很强)
(2) 求出y关于x的经验回归方程＝x＋，并预测当研发投入6万元时的产品收益．
参考数据及公式：≈43.1；
r＝，＝，＝－．
【解答】 (1) 由题中表格数据可得＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝×(9＋12＋17＋21＋26)＝17，所以(xi－)(yi－)＝(1－3)×(9－17)＋…＋(5－3)×(26－17)＝43，＝＝≈43.1，所以r＝≈≈0.998＞0.75，则可知变量y与x的相关程度很强．
(2) 由(1)可知，＝3，＝17， (xi－)(yi－)＝43，(xi－)2＝(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2＝10，所以＝＝＝4.3，则＝－＝17－4.3×3＝4.1，可得y关于x的经验回归方程为＝4.3x＋4.1．令x＝6，可得＝4.3×6＋4.1＝29.9，即预测研发投入6万元时，产品收益约为29.9万元．
13． 新能源汽车发展非常迅速，某地区2017年至2024年(年份代码分别记为1，2，3，4，5，6，7，8)某品牌新能源汽车的科研经费投入和销售量统计如下表：
年份代码i 1 2 3 4 5 6 7 8
科研经费xi(单位：百亿元) 2 3 6 10 13 15 18 21
销售量yi(单位：百万辆) 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6
　 (1) 根据样本数据，计算科研经费x与销售量y之间的样本相关系数，并推断它们的线性相关程度(结果精确到0.01)；
(2) 根据样本数据，求销售量y关于科研经费x的经验回归方程(，用分数表达)．
参考数据及公式：xiyi＝347，＝1 308，＝93，≈42.25．
样本相关系数r＝，＝，＝－．
【解答】 (1) ＝xi＝＝＝11，＝yi＝＝＝3，其中(xi－)(yi－)＝xiyi－8，将xiyi＝347，＝11，＝3代入可得(xi－)(yi－)＝347－8×11×3＝347－264＝83，(xi－)2＝－8，将＝1 308，＝11代入可得(xi－)2＝1 308－8×112＝1 308－968＝340，(yi－)2＝－8，将＝93，＝3代入可得(yi－)2＝93－8×32＝93－72＝21，故r＝＝＝≈0.98，由于0.98接近1，所以两个变量线性相关且线性相关程度很强．
(2) ＝＝，由＝－，可得＝3－×11＝，所以y关于x的经验回归方程为＝x＋．

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