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8.2.2　回归分析模型及其应用
1．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的决定系数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(　　)
A．模型1的决定系数R2为0.98 B．模型2的决定系数R2为0.80
C．模型3的决定系数R2为0.50 D．模型4的决定系数R2为0.25
2．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和(yi－)2如下表：
甲 乙 丙 丁
散点图
残差平方和 115 106 124 103
试验结果体现拟合A，B两个变量关系的模型拟合精度高的是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
3．某工厂为研究某种产品的产量x(单位：t)与所需某种原材料y(单位：t)的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据如下表：
x/t 3 4 6 7
y/t 2.5 3 4 m
根据表中数据，得出x关于y的经验回归方程为＝0.7x＋a．据此计算出在样本点(4，3)处的残差为－0.15，则表中m的值为(注：y－　称为对应样本点的残差)(　　)
A．5.9 B．5.5
C．4.5 D．3.3
4．对于数据组(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)，如果由经验回归方程得到的对应自变量xi的估计值是，那么将yi－称为对应点(xi，yi)的残差．某学校利用实践基地开展劳动教育活动，在其中一块土地上栽种某种蔬菜，并指定一名同学观测其中一棵幼苗生长情况，该同学获得前6天的数据如下：
第x天 1 2 3 4 5 6
高度y/cm 1 4 7 9 11 13
经这名同学的研究，发现第x天幼苗的高度y(单位：cm)关于x的经验回归方程为＝2.4x＋，据此计算样本点(5，11)处的残差为(　　)
A．0.1 B．－0.1
C．0.9 D．－0.9
5．(多选)某种产品的广告支出费用x(单位：万元)与销售量y(单位：万件)之间的对应数据如下表所示：
广告支出费用x/万元 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9
销售量y/万件 3.8 5.4 7.0 11.6 12.2
根据表中的数据可得经验回归方程＝2.27x－1.08，R2≈0.96，以下说法中错误的有(　　)
A．第三个样本点对应的残差＝－1，回归模型的拟合效果一般
B．第三个样本点对应的残差＝1，回归模型的拟合效果较好
C．销售量y的多少有96%是由广告支出费用引起的
D．销售量y的多少有4%是由广告支出费用引起的
6．(多选)如图是某小卖部5天卖出热茶的杯数与当天气温(单位：℃)的散点图，若去掉B(7，35)后，下列说法正确的有(　　)
A．决定系数R2变大
B．变量x与y的相关性变弱
C．样本相关系数r的绝对值变大
D．当气温为11 ℃时，卖出热茶的杯数估计为35杯
7．(多选)5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围．某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示：
月份 6月 7月 8月 9月 10月
月份编号x 1 2 3 4 5
销量y/部 52 95 a 185 227
若y与x线性相关，且由上表数据求得经验回归方程为＝44x＋10，则下列说法正确的是(　　)
A．5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约10台
B．a＝151
C．y与x正相关
D．预计12月份该手机商城的5G手机销量约为328部
8．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得决定系数R2≈0.85，则表明气温解释了____的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的____，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多．
9． 已知变量x，y线性相关，其一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，6)满足xi＝30，用最小二乘法得到的经验回归方程为y＝x－1，若增加一个数据(－2，4)后，得到新的经验回归方程y＝2x＋，则此时数据(3，4)的残差为____．
10．为调查某企业年利润y(单位：万元)和它的年研究费用x(单位：万元)的相关性，收集了5组成对数据(x，y)，如下表所示：
x 1 2 3 4 5
y 50 60 70 80 100
由表中数据求得y关于x的经验回归方程为＝12x＋a，据此计算出在样本点(4，80)处的残差为____．
11．某校数学建模小组为了解高中男生的体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)是否存在较好的线性关系，搜集了7位男生的数据，该数据经过计算后得到的有效数据为＝52.36，(yi－)2＝390，＝172，＝62，根据所给数据计算得到y关于x的经验回归方程为＝1.15x＋．
(1) 求　的值；
(2) 已知R2＝1－且当R2→0.9时，回归方程的拟合效果非常好；当0.8＜R2＜0.9时，回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？请说明理由．
12． 郑州东站位于河南省郑州市郑东新区，是亚洲规模最大的高铁站之一，全国唯一的“米”字型高铁枢纽，总建筑面积41.2万平方米，车站规模16台32线，自运行起客流持续保持高位运行．有调查小组统计郑州东站某处某月1日到9日的客流人数y，得到数据如下表：
时间x/日 1 2 3 4 5 6 7 8 9
人数y 80 98 129 150 203 190 258 292 310
(1) 由于统计人员的疏忽，第5日的数据统计有误，如果去掉第5日的数据，试依据剩下的数据，建立每日客流的人数y关于时间x的经验回归方程．
(2) 根据(1)中所求方程，预测第10日的客流人数．(结果保留整数)
参考数据及公式：＝yi＝190，(xi－)2＝60，(yi－ )2＝55 482，(xi－)(yi－)＝1 800．对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝＝，＝－．
13．某市春节期间7家超市的广告费支出xi(单位：万元)和销售额yi(单位：万元)数据如下表：
超市 A B C D E F G
广告费支出xi/万元 1 2 4 6 11 13 19
销售额yi/万元 19 32 40 44 52 53 54
(1) 若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程；
(2) 若用对数回归模型拟合y与x的关系，可得经验回归方程：＝12ln x＋22，经计算得出线性回归模型和对数回归模型的R2分别约为0.75和0.97，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额．
参考数据：＝8，＝42，xiyi＝2 794，＝708，ln 2≈0.69．
8.2.2　回归分析模型及其应用
1．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的决定系数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(　A　)
A．模型1的决定系数R2为0.98 B．模型2的决定系数R2为0.80
C．模型3的决定系数R2为0.50 D．模型4的决定系数R2为0.25
【解析】 在两个变量y与x的回归模型中，它们的决定系数R2越近于1，模拟效果越好，在四个选项中A的决定系数最大，所以拟合效果最好的是模型的 1 ．
2．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和(yi－)2如下表：
甲 乙 丙 丁
散点图
残差平方和 115 106 124 103
试验结果体现拟合A，B两个变量关系的模型拟合精度高的是(　D　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
【解析】 从题中的散点图上来看，丁同学的散点图中的点更加近似在一条直线附近；从残差平方和来看，丁同学的最小，说明拟合精度最高．
3．某工厂为研究某种产品的产量x(单位：t)与所需某种原材料y(单位：t)的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据如下表：
x/t 3 4 6 7
y/t 2.5 3 4 m
根据表中数据，得出x关于y的经验回归方程为＝0.7x＋a．据此计算出在样本点(4，3)处的残差为－0.15，则表中m的值为(注：y－　称为对应样本点的残差)(　A　)
A．5.9 B．5.5
C．4.5 D．3.3
【解析】 由残差为－0.15可知，当x＝4时，＝3.15，即3.15＝0.7×4＋a，解得a＝0.35，所以经验回归方程为＝0.7x＋0.35．又＝＝5，＝＝，且样本中心(，)在回归直线上，所以＝0.7×5＋0.35，解得m＝5.9．
4．对于数据组(xi，yi)(i＝1，2，3，…，n)，如果由经验回归方程得到的对应自变量xi的估计值是，那么将yi－称为对应点(xi，yi)的残差．某学校利用实践基地开展劳动教育活动，在其中一块土地上栽种某种蔬菜，并指定一名同学观测其中一棵幼苗生长情况，该同学获得前6天的数据如下：
第x天 1 2 3 4 5 6
高度y/cm 1 4 7 9 11 13
经这名同学的研究，发现第x天幼苗的高度y(单位：cm)关于x的经验回归方程为＝2.4x＋，据此计算样本点(5，11)处的残差为(　B　)
A．0.1 B．－0.1
C．0.9 D．－0.9
【解析】 ＝＝3.5，＝＝7.5．因为经验回归方程＝2.4x＋过样本中心点(3.5，7.5)，所以7.5＝2.4×3.5＋，解得＝－0.9，所以经验回归方程为＝2.4x－0.9．当x＝5时，＝2.4×5－0.9＝11.1，所以样本点(5，11)处的残差为11－11.1＝－0.1．
5．(多选)某种产品的广告支出费用x(单位：万元)与销售量y(单位：万件)之间的对应数据如下表所示：
广告支出费用x/万元 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9
销售量y/万件 3.8 5.4 7.0 11.6 12.2
根据表中的数据可得经验回归方程＝2.27x－1.08，R2≈0.96，以下说法中错误的有(　ABD　)
A．第三个样本点对应的残差＝－1，回归模型的拟合效果一般
B．第三个样本点对应的残差＝1，回归模型的拟合效果较好
C．销售量y的多少有96%是由广告支出费用引起的
D．销售量y的多少有4%是由广告支出费用引起的
【解析】 由题意得＝7－(2.27×4－1.08)＝－1，由于R2≈0.96，所以该回归模型拟合的效果比较好，故A，B错误；在线性回归模型中，R2表示解释变量对于响应变量的贡献率，R2≈0.96，则销售量y的多少有96%是由广告支出费用引起的，故C正确，D错误．
6．(多选)如图是某小卖部5天卖出热茶的杯数与当天气温(单位：℃)的散点图，若去掉B(7，35)后，下列说法正确的有(　AC　)
A．决定系数R2变大
B．变量x与y的相关性变弱
C．样本相关系数r的绝对值变大
D．当气温为11 ℃时，卖出热茶的杯数估计为35杯
【解析】 由散点图可知，去掉B(7，35)后，变量x与y的相关性变强，故B错误；因为是负相关，所以样本相关系数r的绝对值变大，故C正确；决定系数R2变大，故A正确；去掉B(7，35)后，＝＝11，＝＝36，xiyi＝4×50＋10×37＋13×33＋17×24＝1 407，＝42＋102＋132＋172＝574，所以＝＝≈－1.97，＝－＝36＋1.97×11＝57.67，所以y关于x的经验回归方程为y＝－1.97x＋57.67．当气温为11 ℃时，y＝－1.97×11＋57.67＝36，所以卖出热茶的杯数估计为36杯，故D错误．
7．(多选)5G技术的运营不仅提高了网络传输速度，更拓宽了网络资源的服务范围．某手机商城统计了5个月的5G手机销量，如下表所示：
月份 6月 7月 8月 9月 10月
月份编号x 1 2 3 4 5
销量y/部 52 95 a 185 227
若y与x线性相关，且由上表数据求得经验回归方程为＝44x＋10，则下列说法正确的是(　BCD　)
A．5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约10台
B．a＝151
C．y与x正相关
D．预计12月份该手机商城的5G手机销量约为328部
【解析】 由表中数据可知＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，代入＝44x＋10，解得＝142，所以＝×(52＋95＋a＋185＋227)＝142，解得a＝151，由此知5G手机的销量逐月增加，平均每个月增加约44台左右，将x＝7代入经验回归方程得＝328，因为44＞0，所以y与x正相关．
8．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得决定系数R2≈0.85，则表明气温解释了__85%__的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的__15%__，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多．
【解析】 由决定系数R2的意义可知，R2≈0.85表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%．
9． 已知变量x，y线性相关，其一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，6)满足xi＝30，用最小二乘法得到的经验回归方程为y＝x－1，若增加一个数据(－2，4)后，得到新的经验回归方程y＝2x＋，则此时数据(3，4)的残差为__2__．
【解析】 由题意知，旧数据＝＝5，则＝－1＝5－1＝4，增加数据(－2，4)后，＝＝4，＝＝4，将点(4，4)代入y＝2x＋中，得4＝8＋，即＝－4，则y＝2x－4，当x＝3时，y＝2×3－4＝2，故残差为4－2＝2．
10．为调查某企业年利润y(单位：万元)和它的年研究费用x(单位：万元)的相关性，收集了5组成对数据(x，y)，如下表所示：
x 1 2 3 4 5
y 50 60 70 80 100
由表中数据求得y关于x的经验回归方程为＝12x＋a，据此计算出在样本点(4，80)处的残差为__－4__．
【解析】 由表中数据可得＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝×(50＋60＋70＋80＋100)＝72，代入经验回归方程＝12x＋a，得a＝72－12×3＝36，所以经验回归方程为＝12x＋36．当x＝4时，＝12×4＋36＝84，故在样本点(4，80)处的残差为80－84＝－4．
11．某校数学建模小组为了解高中男生的体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)是否存在较好的线性关系，搜集了7位男生的数据，该数据经过计算后得到的有效数据为＝52.36，(yi－)2＝390，＝172，＝62，根据所给数据计算得到y关于x的经验回归方程为＝1.15x＋．
(1) 求　的值；
(2) 已知R2＝1－且当R2→0.9时，回归方程的拟合效果非常好；当0.8＜R2＜0.9时，回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？请说明理由．
【解答】 (1) 因为＝172，＝62，将(172，62)代入经验回归方程得 ＝－1.15＝－135.8．
(2) 因为R2＝1－＝1－≈0.87∈(0.8，0.9) ，所以该经验回归方程的拟合效果是良好．
12． 郑州东站位于河南省郑州市郑东新区，是亚洲规模最大的高铁站之一，全国唯一的“米”字型高铁枢纽，总建筑面积41.2万平方米，车站规模16台32线，自运行起客流持续保持高位运行．有调查小组统计郑州东站某处某月1日到9日的客流人数y，得到数据如下表：
时间x/日 1 2 3 4 5 6 7 8 9
人数y 80 98 129 150 203 190 258 292 310
(1) 由于统计人员的疏忽，第5日的数据统计有误，如果去掉第5日的数据，试依据剩下的数据，建立每日客流的人数y关于时间x的经验回归方程．
(2) 根据(1)中所求方程，预测第10日的客流人数．(结果保留整数)
参考数据及公式：＝yi＝190，(xi－)2＝60，(yi－ )2＝55 482，(xi－)(yi－)＝1 800．对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其经验回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝＝，＝－．
【解答】 (1) 设原来数据的样本中心点为(，)，去掉第5天的数据后样本中心点为('，')，则'＝×(1＋2＋3＋4＋6＋7＋8＋9)＝5，＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝5，＝×(80＋98＋129＋150＋203＋190＋258＋292＋310)＝190，'＝×(9－y5)＝×(9×190－203)＝，则＝＝＝30，＝'－'＝－30×5＝，所以所求经验回归方程为＝30x＋．
(2) 当x＝10时，＝30×10＋≈338，因此预测第10日的客流人数为338人．
13．某市春节期间7家超市的广告费支出xi(单位：万元)和销售额yi(单位：万元)数据如下表：
超市 A B C D E F G
广告费支出xi/万元 1 2 4 6 11 13 19
销售额yi/万元 19 32 40 44 52 53 54
(1) 若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程；
(2) 若用对数回归模型拟合y与x的关系，可得经验回归方程：＝12ln x＋22，经计算得出线性回归模型和对数回归模型的R2分别约为0.75和0.97，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出为8万元时的销售额．
参考数据：＝8，＝42，xiyi＝2 794，＝708，ln 2≈0.69．
【解答】 (1) 由题意知＝＝＝1.7，＝－＝42－1.7×8＝28.4，所以y关于x的经验回归方程是＝1.7x＋28.4．
(2) 因为0.75＜0.97，所以对数回归模型更合适．令x＝8，则y＝12ln 8＋22≈12×3×0.69＋22＝46.84．所以当x＝8万元时，预测A超市销售额为46.84万元．

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