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8.3.2　独立性检验
1． 某机构为研究高血压与高盐饮食是否有关系进行了一次调查，根据独立性检验的原理，有95%的把握但没有99%的把握认为高血压与高盐饮食有关，则χ2的观测值不可能为(　　)
(附：P(χ2≥3.841)＝0.05，P(χ2≥6.635)＝0.01，P(χ2≥7.879)＝0.005)
A．3.622 B．4.502
C．5.921 D．6.634
2．某制药厂为了检验某种疫苗预防的作用，把1 000名使用疫苗的人与另外1 000名未使用疫苗的人一年中的记录作比较，提出假设H0：“这种疫苗不能起到预防的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918，又P(χ2≥3.841)≈0.05，则下列结论中正确的是(　　)
A．若某人未使用该疫苗，则他在一年中有95%的可能性生病
B．这种疫苗预防的有效率为95%
C．在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“这种疫苗能起到预防的作用”
D．有95%的把握认为这种疫苗不能起到预防生病的作用
3．某科研机构为了研究中年人秃发与患心脏病是否有关，随机调查了一些中年人，具体数据如下表：
患心脏病 无心脏病
秃发 20 300
不秃发 5 450
根据表中数据得到χ2≈15.968，因为χ2＞10.828，则断定秃发与患心脏病有关系．那么这种判断出错的可能性为(　　)
A．0.001 B．0.05
C．0.025 D．0.01
4．在考察儿童出生月份X与学习成绩Y是否优秀的独立性检验中，得出下面的列联表．若发现这两个分类变量X和Y没有任何关系，则表中正数a的值最有可能是(　　)
上半年出生 下半年出生 合计
学习成绩优秀 200 800 1 000
学习成绩非优秀 180 a 180＋a
合计 380 800＋a 1180＋a
A．200 B．720
C．100 D．690
5．(多选)已知变量X与Y的2×2列联表如下，且χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，则下列结论正确的是(　　)
y1 y2 总计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
总计 a＋c a＋d a＋b＋c＋d
A．若每个数据a，b，c，d均变为原来的2倍，则χ2的值不变
B．|ad－bc|越大，两个变量有关联的可能性越大
C．对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
D．若计算得到χ2＝5.012，则有95%的把握认为X与Y有关
6．(多选)疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：
未发病 发病 总计
未注射疫苗 20
注射疫苗 30
总计 50 50 100
附表：
α 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为，则下列判断正确的有(　　)
A．注射疫苗发病的动物数为10
B．从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为
C．能在犯错概率不超过0.001的前提下，认为疫苗有效
D．该疫苗的有效率为75%
7．(多选)针对时下的“短视频热”，某校团委对“学生性别和喜欢短视频是否有关”作了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢短视频的人数占男生人数的，女生喜欢短视频的人数占女生人数的．若有95%的把握认为是否喜欢短视频和性别有关，则调查对象中男生人数可能为(　　)
附表：
α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．25 B．35
C．45 D．60
8． 为了鉴定新疫苗的效力，将60只小白鼠随机地分为两组，在其中一组接种疫苗后，两组都注射了病源菌，其结果如下面的列联表．根据此列联表中的数据可以求得χ2＝____．
发病 未发病 合计
接种 3 27 30
未接种 17 13 30
合计 20 40 60
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
9．有两个分类变量X，Y，其2×2列联表如下：
Y1 Y1 合计
X1 a 20－a 20
X2 15－a 30＋a 45
合计 15 50 65
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
其中a，15－a均为大于5的整数，若依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为X，Y有关，则a的值为___．
10．某大学为了解喜欢看篮球赛是否与性别有关，随机调查了部分学生，在被调查的学生中，男生人数是女生人数的2倍，男生喜欢看篮球赛的人数占男生人数的，女生喜欢看篮球赛的人数占女生人数的．若被调查的男生人数为n，且有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关，则n的最小值为____．
11． 网购已成为现代生活的一种重要购买方式．某销售网站调查一款商品在某区域受欢迎的程度，随机发放调查问卷后回收200份有效问卷，经统计发现有30%的人购买该商品，在这些购买者中女性占，而在未购买者中男性与女性各占50%．
(1) 完成下表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为购买该款商品与性别有关；
男性 女性 合计
已购买 40 60
未购买
合计 200
(附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，x0.05＝3.841．)
(2) 若此款商品有A，B，C三种型号，为了回馈该区域网购者，此网站在该区域内随机抽取4人实行买一赠一活动，任意赠送其中某一种型号的商品，求这4人中有且仅有2人获赠同一型号商品的概率．
12．(全国甲卷)为了探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠平均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物)．
(1) 设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X，求X的分布列和数学期望；
(2) 测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)
对照组：
17.3 18.4 20.1 20.4 21.5
23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8
27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
实验组：
5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4
10.0 10.4 11.2 14.4 17.3 19.2
20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2
26.0
①求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：
＜m ≥m
对照组
实验组
②根据2×2列联表，判断能否有95%的把握认为药物对小鼠的生长有抑制作用．
附：x0.05＝3.841．
13．(全国甲卷理)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
(1) 填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d，≈12.247．
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
(2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果＞p＋1.65·，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？
8.3.2　独立性检验
1． 某机构为研究高血压与高盐饮食是否有关系进行了一次调查，根据独立性检验的原理，有95%的把握但没有99%的把握认为高血压与高盐饮食有关，则χ2的观测值不可能为(　A　)
(附：P(χ2≥3.841)＝0.05，P(χ2≥6.635)＝0.01，P(χ2≥7.879)＝0.005)
A．3.622 B．4.502
C．5.921 D．6.634
2．某制药厂为了检验某种疫苗预防的作用，把1 000名使用疫苗的人与另外1 000名未使用疫苗的人一年中的记录作比较，提出假设H0：“这种疫苗不能起到预防的作用”，利用2×2列联表计算得χ2≈3.918，又P(χ2≥3.841)≈0.05，则下列结论中正确的是(　C　)
A．若某人未使用该疫苗，则他在一年中有95%的可能性生病
B．这种疫苗预防的有效率为95%
C．在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“这种疫苗能起到预防的作用”
D．有95%的把握认为这种疫苗不能起到预防生病的作用
3．某科研机构为了研究中年人秃发与患心脏病是否有关，随机调查了一些中年人，具体数据如下表：
患心脏病 无心脏病
秃发 20 300
不秃发 5 450
根据表中数据得到χ2≈15.968，因为χ2＞10.828，则断定秃发与患心脏病有关系．那么这种判断出错的可能性为(　A　)
A．0.001 B．0.05
C．0.025 D．0.01
【解析】 因为χ2＞10.828＝x0.001，因此判断出错的可能性为0.001，故选A．
4．在考察儿童出生月份X与学习成绩Y是否优秀的独立性检验中，得出下面的列联表．若发现这两个分类变量X和Y没有任何关系，则表中正数a的值最有可能是(　B　)
上半年出生 下半年出生 合计
学习成绩优秀 200 800 1 000
学习成绩非优秀 180 a 180＋a
合计 380 800＋a 1180＋a
A．200 B．720
C．100 D．690
【解析】 因为两个变量X和Y没有任何关系，所以 χ2＝＝0，解得a＝720．
5．(多选)已知变量X与Y的2×2列联表如下，且χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，则下列结论正确的是(　BCD　)
y1 y2 总计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
总计 a＋c a＋d a＋b＋c＋d
A．若每个数据a，b，c，d均变为原来的2倍，则χ2的值不变
B．|ad－bc|越大，两个变量有关联的可能性越大
C．对于独立性检验，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大
D．若计算得到χ2＝5.012，则有95%的把握认为X与Y有关
【解析】 对于A，若2×2列联表中的每个数字均变成原来的2倍，则χ2＝＝2×，此时χ2的值变为原来的2倍，所以A错误；对于B，同一个样本中，|ad－bc|越小，说明两个变量有关系的关系越弱，|ad－bc|越大，说明两个变量有关的关系越强，所以B正确；对于C，独立性检验中，随机变量χ2的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，所以C正确；对于D，根据独立性检验的意义可知χ2＝5.012＞3.841，所以有95%的把握认为X与Y有关，所以D正确．
6．(多选)疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：
未发病 发病 总计
未注射疫苗 20
注射疫苗 30
总计 50 50 100
附表：
α 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为，则下列判断正确的有(　ABC　)
A．注射疫苗发病的动物数为10
B．从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为
C．能在犯错概率不超过0.001的前提下，认为疫苗有效
D．该疫苗的有效率为75%
7．(多选)针对时下的“短视频热”，某校团委对“学生性别和喜欢短视频是否有关”作了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢短视频的人数占男生人数的，女生喜欢短视频的人数占女生人数的．若有95%的把握认为是否喜欢短视频和性别有关，则调查对象中男生人数可能为(　CD　)
附表：
α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．25 B．35
C．45 D．60
【解析】 设男生可能有x人，依题意得女生有x人，可得2×2列联表如下：
喜欢抖音 不喜欢抖音 总计
男生 x x x
女生 x x x
合计 x x 2x
若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则χ2＞3.841，即χ2＝x＞3.841，解得x＞40.335，由题意知x＞0，且x是5的整数倍，所以45和60都满足题意．
8． 为了鉴定新疫苗的效力，将60只小白鼠随机地分为两组，在其中一组接种疫苗后，两组都注射了病源菌，其结果如下面的列联表．根据此列联表中的数据可以求得χ2＝__14.7__．
发病 未发病 合计
接种 3 27 30
未接种 17 13 30
合计 20 40 60
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
【解析】 χ2＝＝14.7．
9．有两个分类变量X，Y，其2×2列联表如下：
Y1 Y1 合计
X1 a 20－a 20
X2 15－a 30＋a 45
合计 15 50 65
附表：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
其中a，15－a均为大于5的整数，若依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为X，Y有关，则a的值为__8或9__．
【解析】 由独立性检验和题意可知χ2＝＝＞3.841，解得a＞7.69或a＜1.53．又因为a＞5且15－a＞5，a∈Z，所以a＝8或a＝9．
10．某大学为了解喜欢看篮球赛是否与性别有关，随机调查了部分学生，在被调查的学生中，男生人数是女生人数的2倍，男生喜欢看篮球赛的人数占男生人数的，女生喜欢看篮球赛的人数占女生人数的．若被调查的男生人数为n，且有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关，则n的最小值为__12__．
【解析】 由题意得到如下列联表：
喜欢看篮球赛 不喜欢看篮球赛 总计
男生 n
女生
总计 n
所以χ2＝，因为有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关，所以χ2≥3.841，即 ≥3.841，解得n≥≈10.24．又
为整数，所以n的最小值为12．
11． 网购已成为现代生活的一种重要购买方式．某销售网站调查一款商品在某区域受欢迎的程度，随机发放调查问卷后回收200份有效问卷，经统计发现有30%的人购买该商品，在这些购买者中女性占，而在未购买者中男性与女性各占50%．
(1) 完成下表，并依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为购买该款商品与性别有关；
男性 女性 合计
已购买 40 60
未购买
合计 200
(附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，x0.05＝3.841．)
(2) 若此款商品有A，B，C三种型号，为了回馈该区域网购者，此网站在该区域内随机抽取4人实行买一赠一活动，任意赠送其中某一种型号的商品，求这4人中有且仅有2人获赠同一型号商品的概率．
【解答】 (1) 补全列联表如下：
男性 女性 合计
已购买 20 40 60
未购买 70 70 140
合计 90 110 200
零假设为H0：购买该款商品与性别无关，则χ2＝≈4.714＞3.841，则依据小概率值α＝0.05的独立性检验可以推断H0不成立，即购买该款商品与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.05．
(2) 4人当中有且仅有2人获赠同一型号商品，则其他2人必须是另两件商品，其概率为．
12．(全国甲卷)为了探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠平均分为两组，分别为对照组(不加药物)和实验组(加药物)．
(1) 设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为X，求X的分布列和数学期望；
(2) 测得40只小鼠体重如下(单位：g)：(已按从小到大排好)
对照组：
17.3 18.4 20.1 20.4 21.5
23.2 24.6 24.8 25.0 25.4
26.1 26.3 26.4 26.5 26.8
27.0 27.4 27.5 27.6 28.3
实验组：
5.4 6.6 6.8 6.9 7.8 8.2 9.4
10.0 10.4 11.2 14.4 17.3 19.2
20.2 23.6 23.8 24.5 25.1 25.2
26.0
①求40只小鼠体重的中位数m，并完成下面2×2列联表：
＜m ≥m
对照组
实验组
②根据2×2列联表，判断能否有95%的把握认为药物对小鼠的生长有抑制作用．
附：x0.05＝3.841．
【解答】 (1) 依题意，X的可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)＝0×＝1．
(2) ①依题意可知这40只小鼠体重的中位数，是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数．由题中数据可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3，17.3，18.4，19.2，20.1，20.2，20.4，21.5，23.2，23.6，…，故第20位数据为23.2，第21位数据为23.6，所以m＝＝23.4．故2×2列联表为
＜m ≥m 合计
对照组 6 14 20
实验组 14 6 20
合计 20 20 40
②零假设H0：药物对小鼠的生长没有抑制作用，由①可得χ2＝＝6.400＞3.841，所以零假设H0不成立，即有95%的把握认为药物对小鼠的生长有抑制作用．
13．(全国甲卷理)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
(1) 填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d，≈12.247．
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
(2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果＞p＋1.65·，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？
【解答】 (1) 根据题意可得列联表如下：
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
可得χ2＝＝4.687 5．因为3.841＜4.687 5＜6.635，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异．
(2) 由题意可知生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为＝0.64．用频率估计概率可得p＝0.64．因为升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，则p＋1.65＝0.5＋1.65×≈0.5＋1.65×≈0.567，可知＞p＋1.65·，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了．

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