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微专题6　非线性回归问题
1．一组关于y，t的观测数据通过u＝y，v＝t2的转换数据对应关系如下表：
v 1 2 3 4 5
u 1 3.1 4.9 7.1 8.8
则y与t近似满足这些数据的函数是(　　)
A．y＝2et－1 B．y＝2t2－1
C．y＝ln t2－1 D．y＝2t－1
2．已知变量y关于变量x的经验回归方程为＝bln x＋0.24，其一组数据如下表：
x e e3 e4 e6 e7
y 1 2 3 4 5
若x＝e10，则y的值大约为(　　)
A．4.94 B．5.74
C．6.81 D．8.04
3．某地交警部门加强执法管理期间，对某路口不戴头盔的骑行者进行了统计，得到如下数据(其中y表示第x天不戴头盔的人数)：
x 1 2 4 8
y 115 49 32 5
若y关于x的经验回归方程为＝a＋，则a等于(　　)
A．4 B．－4
C．6 D．－6
4．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2019年至2023年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型y＝c1(其中e为自然对数的底数)拟合，设z＝ln y，得到数据统计表如下：
年份 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年
年份代码x 1 2 3 4 5
云计算市场规模y/千万元 7.4 11 20 36.6 66.7
z 2 2.4 3 3.6 4
由上表可得经验回归方程z＝0.52x＋a，则2026年该科技公司云计算市场规模y的估计值为(　　)
A．e5.08 B．e5.6
C．e6.12 D．e6.5
5．(多选)为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据绘制成散点图，发现用模型y＝cekx拟合比较合适，令z＝ln y，得z＝1.3x＋a，经计算发现x，z满足下表：
天数x 2 3 4 5 6
z 1.5 4.5 5.5 6.5 7
则(　　)
A．c＝e－0.2 B．k＝1.3
C．c＝e0.2 D．k＝－1.3
6． (多选)某地新开了一条夜市街，每晚最多能接纳10万人．主办公司计划通过广告宣传提高客流量，通过调研发现投入的广告费x(单位：万元)与每晚客流量y(单位：千人)存在如下关系：
x/万元 1 2 3 4 5
y/千人 5 6 8.1 9 14.5
(附：＝，＝－，＝8.52，(xi－)(yi－)＝22，令t＝2x，＝12.4，(ti－)(yi－)＝178.56，(ti－)2＝595.2．)现用曲线C：y＝＋×2x拟合变量x与y的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数，的最小二乘估计，依所求回归方程C为预测依据，则(　　)
A．曲线C经过点(3，8.52)
B．＝4.8
C．若投入广告费9万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力
D．广告费每增加1万元，每晚客流量增加3 000人
7．用模型y＝cekx拟合变量y与x的关系时，为了求出回归方程，设z＝ln y，得到经验回归方程z＝－0.5x＋2，则ck＝____．
8．变量x与y的成对样本数据的散点图如图所示，若用＝c1拟合成对数据，其决定系数记为；若用＝bx＋a拟合成对数据，其决定系数记为．则与大小关系为___．
9．某电器企业统计了近10年的年利润额y(单位：千万元)与投入的年广告费用x(单位：十万元)的相关数据，作出散点图如图，对数据作出如下处理：令ui＝ln xi，vi＝ln yi，得到相关数据如下表所示．
uivi ui vi
30.5 15 15 46.5
(1) 从①y＝bx＋a；②y＝m·xk(m＞0，k＞0)；③y＝cx2＋dx＋e三个函数中选择一个作为年广告费用x和年利润额y的经验回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；
(2) 根据(1)中选择的经验回归类型，求出y与x的经验回归方程；
(3) 预计要使年利润额突破1亿，下一年应至少投入多少广告费用？(结果保留到万元)
10．某研发小组为了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响，结合近10年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据(i＝1，2，…，10)，建立了两个函数模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．设ui＝，vi＝lnyi(i＝1，2，…10)，经过计算得如下数据．
)2 )2 )
20 66 770 200 14
)2 )2 )
460 4.20 3 125 000 0.308 21 500
(1) 设ui和yi的样本相关系数为r1，xi和vi的样本相关系数为r2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型．
(2) ①根据(1)中选择的模型及表中数据，建立y关于x的经验回归方程(系数精确到0.01)；
②当年研发资金投入量约为x0亿元时，年销售额大致为e4亿元，若正数a，b满足ab＝，求M＝＋的最小值．
附：相关系数r＝，
经验回归方程＝＋x中＝，＝－．
微专题6　非线性回归问题
1．一组关于y，t的观测数据通过u＝y，v＝t2的转换数据对应关系如下表：
v 1 2 3 4 5
u 1 3.1 4.9 7.1 8.8
则y与t近似满足这些数据的函数是(　B　)
A．y＝2et－1 B．y＝2t2－1
C．y＝ln t2－1 D．y＝2t－1
【解析】 根据表中的数据，可推测出u，v的关系大致为u＝2v－1，因为u＝y，v＝t2，所以y＝2t2－1．
2．已知变量y关于变量x的经验回归方程为＝bln x＋0.24，其一组数据如下表：
x e e3 e4 e6 e7
y 1 2 3 4 5
若x＝e10，则y的值大约为(　C　)
A．4.94 B．5.74
C．6.81 D．8.04
【解析】 由＝bln x＋0.24，令t＝ln x，则＝bt＋0.24，由题意＝＝4.2，＝＝3，所以3＝b×4.2＋0.24，解得b＝，所以＝ln x＋0.24，把x＝e10代入，解得≈6.81．
3．某地交警部门加强执法管理期间，对某路口不戴头盔的骑行者进行了统计，得到如下数据(其中y表示第x天不戴头盔的人数)：
x 1 2 4 8
y 115 49 32 5
若y关于x的经验回归方程为＝a＋，则a等于(　D　)
A．4 B．－4
C．6 D．－6
【解析】 设t＝，则y关于t的经验回归方程为＝a＋120t，则＝＝，＝＝，所以样本点的中心的坐标为，代入＝a＋120t，解得a＝－6．
4．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2019年至2023年云计算市场规模数据，且市场规模y与年份代码x的关系可以用模型y＝c1(其中e为自然对数的底数)拟合，设z＝ln y，得到数据统计表如下：
年份 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年
年份代码x 1 2 3 4 5
云计算市场规模y/千万元 7.4 11 20 36.6 66.7
z 2 2.4 3 3.6 4
由上表可得经验回归方程z＝0.52x＋a，则2026年该科技公司云计算市场规模y的估计值为(　B　)
A．e5.08 B．e5.6
C．e6.12 D．e6.5
【解析】 因为＝3，＝3，所以a＝－0.52＝3－3×0.52＝1.44，即经验回归方程z＝0.52x＋1.44．当x＝8时，z＝0.52×8＋1.44＝5.6，所以y＝ez＝e5.6，即2026年该科技公司云计算市场规模y的估计值为e5.6．
5．(多选)为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到了一些数据绘制成散点图，发现用模型y＝cekx拟合比较合适，令z＝ln y，得z＝1.3x＋a，经计算发现x，z满足下表：
天数x 2 3 4 5 6
z 1.5 4.5 5.5 6.5 7
则(　AB　)
A．c＝e－0.2 B．k＝1.3
C．c＝e0.2 D．k＝－1.3
【解析】 由题意可得＝＝4，＝＝5，则样本中心点(4，5)，可得＝5－1.3×4＝－0.2．因为z＝ln y，y＝cekx，所以z＝kx＋ln c，所以k＝1.3，ln c＝a＝－0.2，即c＝．
6． (多选)某地新开了一条夜市街，每晚最多能接纳10万人．主办公司计划通过广告宣传提高客流量，通过调研发现投入的广告费x(单位：万元)与每晚客流量y(单位：千人)存在如下关系：
x/万元 1 2 3 4 5
y/千人 5 6 8.1 9 14.5
(附：＝，＝－，＝8.52，(xi－)(yi－)＝22，令t＝2x，＝12.4，(ti－)(yi－)＝178.56，(ti－)2＝595.2．)现用曲线C：y＝＋×2x拟合变量x与y的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数，的最小二乘估计，依所求回归方程C为预测依据，则(　BC　)
A．曲线C经过点(3，8.52)
B．＝4.8
C．若投入广告费9万元，则每晚客流量会超过夜市接纳能力
D．广告费每增加1万元，每晚客流量增加3 000人
【解析】 由题可知，令t＝2x，＝12.4，(ti－)(yi－)＝178.56，(ti－)2＝595.2，所以＝＝＝0.3，＝－＝8.52－0.3×12.4＝4.8，故B正确；曲线C：y＝4.8＋0.3×2x，令x＝3，y＝4.8＋0.3×23＝4.8＋2.4＝7.2，所以曲线C不经过点(3，8.52)，故A错误；当x＝9时，y＝4.8＋0.3×29＝158.4，所以若投入广告费9万元，则每晚客流量为15.84万人，因为每晚最多能接纳10万人，所以会超过夜市接纳能力，故C正确；由y＝4.8＋0.3×2x可知，当x＝6时，y＝4.8＋0.3×26＝24，所以当广告费从5万元增加到6万元，客流量增加24－14.5＝9.5千人，故D错误．
7．用模型y＝cekx拟合变量y与x的关系时，为了求出回归方程，设z＝ln y，得到经验回归方程z＝－0.5x＋2，则ck＝____．
【解析】 因为y＝cekx，所以两边取对数得ln y＝ln(cekx)＝kx＋ln c，令z＝ln y，则z＝kx＋ln c．因为z＝－0.5x＋2，所以k＝－0.5，ln c＝2，即c＝e2，所以ck＝．
8．变量x与y的成对样本数据的散点图如图所示，若用＝c1拟合成对数据，其决定系数记为；若用＝bx＋a拟合成对数据，其决定系数记为．则与大小关系为____．
【解析】 由散点图的整体形状可知，利用＝c1拟合比利用＝bx＋a拟合效果要好，故．
9．某电器企业统计了近10年的年利润额y(单位：千万元)与投入的年广告费用x(单位：十万元)的相关数据，作出散点图如图，对数据作出如下处理：令ui＝ln xi，vi＝ln yi，得到相关数据如下表所示．
uivi ui vi
30.5 15 15 46.5
(1) 从①y＝bx＋a；②y＝m·xk(m＞0，k＞0)；③y＝cx2＋dx＋e三个函数中选择一个作为年广告费用x和年利润额y的经验回归类型，判断哪个类型符合，不必说明理由；
(2) 根据(1)中选择的经验回归类型，求出y与x的经验回归方程；
(3) 预计要使年利润额突破1亿，下一年应至少投入多少广告费用？(结果保留到万元)
【解答】 (1) 由散点图知，年广告费用x和年利润额y的回归类型并不是直线型的，而是曲线型的，所以选择回归类型y＝m·xk更好．
(2) 对y＝m·xk两边取对数，得ln y＝kln x＋ln m，即v＝ku＋ln m．由表中数据得k＝＝＝，所以ln m＝－k＝1.5－×1.5＝1，所以m＝e，所以年广告费用x和年利润额y的经验回归方程为y＝e·．
(3) 由(2)知y＝e·，令y＝e·＞10可得，所以x＞≈49.787(十万元)，所以x≈498万元，所以下一年应至少投入498万元的广告费用．
10．某研发小组为了解年研发资金投入量x(单位：亿元)对年销售额y(单位：亿元)的影响，结合近10年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据(i＝1，2，…，10)，建立了两个函数模型：①y＝α＋βx2，②y＝eλx＋t，其中α，β，λ，t均为常数，e为自然对数的底数．设ui＝，vi＝lnyi(i＝1，2，…10)，经过计算得如下数据．
)2 )2 )
20 66 770 200 14
)2 )2 )
460 4.20 3 125 000 0.308 21 500
(1) 设ui和yi的样本相关系数为r1，xi和vi的样本相关系数为r2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型．
(2) ①根据(1)中选择的模型及表中数据，建立y关于x的经验回归方程(系数精确到0.01)；
②当年研发资金投入量约为x0亿元时，年销售额大致为e4亿元，若正数a，b满足ab＝，求M＝＋的最小值．
附：相关系数r＝，
经验回归方程＝＋x中＝，＝－．
【解答】 (1) r1＝＝＝＝0.86，r2＝＝＝≈0.91，因为|r1|＜|r2|，所以从相关系数的角度，模型②y＝eλx＋t的拟合程度更好．
(2) ①因为y＝eλx＋t，所以ln y＝t＋λx，即v＝t＋λx．由题中数据可得λ＝＝＝≈0.02，则t＝－λ＝4.20－×20≈3.84，所以v关于x的经验回归方程为＝0.02x＋3.84，故ln ＝0.02x＋3.84，即＝e0.02x＋3.84．
②将年销售额y＝e4亿元，代入＝e0.02x＋3.84，得e4＝e0.02x＋3.84，解得x0＝8，则ab＝1．故M＝＋＝＋＝＋＝1－＋＝1－＝1－．因为＝3－2，所以M＝1－≥1－(3－2)＝2－2．当且仅当2b＝，即b＝时等号成立，此时a＝，符合题意，故M的最小值为2－2．

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