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选择性必修第三册 模块检测
一、 单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)，则P(1≤X≤3)等于(　　)
X 0 1 2 3 4 5
P 0.2 0.2 a 0.1 0.2 0.1
A．0.4 B．0.5
C．0.6 D．0.7
2．为加强校企合作，促进大学毕业生就业，某企业欲从本市科技大学的农学院、外国语学院、管理学院这三个学院招录6名大学生，每个学院至少招录1名，则不同的名额分配方案有(　　)
A．10种 B．20种
C．216种 D．729种
3．某校高三(5)班要从8名班干部(其中5名男生，3名女生)中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件A＝“男生甲被选中”，事件B＝“有两名女生被选中”，则P(B|A)＝(　　)
A． B．
C． D．
4．已知由样本数据点集合，求得的经验回归方程为y＝1.5x＋0.5，且＝3，现发现两个数据点(1.2，2.2)和(4.8，7.8)误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，则下列说法错误的是(　　)
A．变量x与y具有正相关关系
B．去除后y的估计值增加速度变快
C．去除后l的方程为y＝1.2x＋1.4
D．去除后相应于样本点(2，3.75)的残差平方为0.002 5
5． (1－x＋x2)2·(1＋x)3的展开式中，x4的系数为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．5
6．设0＜a＜，随机变量X的分布列如下，则当a在内增大时(　　)
X －1 0 1
P a －a
A．D(X)增大 B．D(X)减小
C．D(X)先增大后减小 D．D(X)先减小后增大
7．已知(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8＋a9(x－1)9，则a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9＝(　　)
A．9 B．10
C．18 D．19
8． 已知变量x与y具有线性相关关系，在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x5，y5)，(6，28)，(0，28)，利用此样本数据求得的经验回归方程为＝x＋．现发现数据(6，28)和(0，28)误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为＝4x＋m，且yi＝140，则m等于(　　)
A．8 B．12
C．16 D．20
二、 多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对得部分分，选错得0分)
9． 设函数f(x)＝(4x－1)12＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则(　　)
A．a3＝43×
B．f(x)展开式中，二项式系数的最大值为
C．a1＋a2＋a3＋…＋a12＝312
D．f(5)的个位数字是1
10．已知，分别为随机事件A，B的对立事件，则下列结论中正确的有(　　)
A．P(A)＋P()＝1
B．若P(A)＞0，P(B)＞0，则P(A)＋P(B)＝P(A＋B)
C．若P(A)＝P(A)，则A与B独立
D．P(A)P(B)＋P(A)P()＝P(A)
11．下列等式中正确的有(　　)
A．＝28 B．＝
C．＝1－ D．)2＝
三、 填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，则P(X＞2.5)＝____．
13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5∶5∶6，这三个年级分别有20%，30%，20%的学生获得过奖学金，现随机选取一名学生，此学生恰好获得过奖学金，则该学生是高二年级学生的概率为____．
14．某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是，，，，且各轮考核能否通过互不影响，则该软件通过考核的概率为____，该软件在此次比赛中平均考核了____轮．
四、 解答题(本题共5小题，共77分)
15．(13分)已知二项式(n∈N*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5．
(1) 求n的值；
(2) 求展开式中的系数；
(3) 计算：26＋25＋24＋23＋22＋21＋20的值．
16．(15分)某汽车公司拟对某款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x(单位：亿元)与科技改造直接收益y(单位：亿元)的数据统计如下表：
x/亿元 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y/亿元 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 68
当0＜x≤16时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：＝4.1x＋11.8．模型②：＝21.3－14.4．当x＞16时，确定y与x满足的经验回归方程为＝－0.7x＋a．
(1) 根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤16时模型①②的决定系数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对这款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益；
回归模型 模型① 模型②
回归方程 ＝4.1x＋11.8 ＝21.3－14.4
)2 182.4 79.2
(2) 为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入16亿元与20亿元时公司实际收益的大小；
(3) 科技改造后，这款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布N(0.52，0.012)，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元．求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望．
附：若ξ~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954 5，R2＝1－．
17．(15分)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于技术原因，每次传输信号的准确率为90%，即发送1时，收到1的概率为0.9，收到0的概率为0.1；发送0时，收到0的概率为0.9，收到1的概率为0.1．现进行多节点信号传输，由信号源发送信号至节点1，节点1把收到的信号重新发送至节点2，节点2再把收到的信号重新发送至节点3，以此类推，最终发送至节点n．
(1) 若信号源发出信号1，求节点2收到信号1的概率；
(2) 为确保信号传输的有效性，要求节点n收到信号的准确率不低于60%，求n的最大值．(参考数据：lg 2≈0.3010)
18．(17分)为了解某挑战赛中是否接受挑战与受邀者的性别是否有关系(假设每个人是否接受挑战互不影响，且受邀者男性与女性的比例为3∶2)，某机构进行了随机抽样调查，得到如下调查数据(单位：人)：
接受挑战 不接受挑战 合计
男性 40 20 60
女性 16 24 40
合计 56 44 100
(1) 根据表中数据，依据小概率值α＝0.01的独立性检验分析比赛中是否接受挑战与受邀者的性别有关；
(2) 现从这100人中任选1人，A表示“受邀者接受挑战”，B表示“受邀者是男性”，记LR(B|A)＝，则R＝可表示受邀者接受挑战与受邀者的性别相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出R的值；
(3) 用频率估计概率，在所有受邀者中按“男性”和“女性”进行分层随机抽样，随机抽取5名受邀选手，若再从这5名选手中随机抽取2人进行访谈，求这2名被访谈的选手中接受挑战的男性的人数X的分布列和数学期望．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19． (17分)通过抛掷骰子产生随机数列｛an｝，具体产生方式为：若第k(k＝1，2，3，…，n)次抛掷得到的点数为i(i＝1，2，3，4，5，6)，则ak＝i．记数列｛an｝的前n项和为Sn，记Sn除以4的余数为Xn．
(1) 若n＝2，求P(S2＝4)和P(X2＝0)．
(2) 甲、乙、丙、丁四人玩游戏：在一局中，由第五个人(裁判)投一个骰子2次，若X2为0，则甲在本局胜出；若X2为1，则乙在本局胜出；若X2为2，则丙在本局胜出；若X2为3，则丁在本局胜出．比赛开始前，4名选手自由两两组合，组成A小队，B小队，组队后进行比赛．比赛采用5局3胜制，每局比赛中只要小队内有成员胜出即该小队在此局中获胜，请问：甲和哪位选手组成A小队，使A小队在比赛中有最大概率获胜？并说明原因．
(3) 若n＝20，设(x＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)20＝b0＋b1x＋b2x2＋…＋b120x120，试确定该展开式中各项系数与事件S20＝j(j∈N*，j≤120)的联系，并求X20＝0的概率．
选择性必修第三册 模块检测
一、 单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)，则P(1≤X≤3)等于(　B　)
X 0 1 2 3 4 5
P 0.2 0.2 a 0.1 0.2 0.1
A．0.4 B．0.5
C．0.6 D．0.7
2．为加强校企合作，促进大学毕业生就业，某企业欲从本市科技大学的农学院、外国语学院、管理学院这三个学院招录6名大学生，每个学院至少招录1名，则不同的名额分配方案有(　A　)
A．10种 B．20种
C．216种 D．729种
3．某校高三(5)班要从8名班干部(其中5名男生，3名女生)中选取3人参加学校优秀班干部评选，事件A＝“男生甲被选中”，事件B＝“有两名女生被选中”，则P(B|A)＝(　B　)
A． B．
C． D．
4．已知由样本数据点集合，求得的经验回归方程为y＝1.5x＋0.5，且＝3，现发现两个数据点(1.2，2.2)和(4.8，7.8)误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为1.2，则下列说法错误的是(　B　)
A．变量x与y具有正相关关系
B．去除后y的估计值增加速度变快
C．去除后l的方程为y＝1.2x＋1.4
D．去除后相应于样本点(2，3.75)的残差平方为0.002 5
5． (1－x＋x2)2·(1＋x)3的展开式中，x4的系数为(　B　)
A．1 B．2
C．4 D．5
【解析】 依题意，(1－x＋x2)2＝1＋x2＋x4－2x＋2x2－2x3＝1－2x＋3x2－2x3＋x4，(1＋x)3＝1＋3x＋3x2＋x3，所以(1－x＋x2)2·(1＋x)3的展开式中，x4的系数为－2×1＋3×3－2×3＋1×1＝2．
6．设0＜a＜，随机变量X的分布列如下，则当a在内增大时(　A　)
X －1 0 1
P a －a
A．D(X)增大 B．D(X)减小
C．D(X)先增大后减小 D．D(X)先减小后增大
7．已知(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8＋a9(x－1)9，则a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9＝(　D　)
A．9 B．10
C．18 D．19
【解析】 由(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8＋a9(x－1)9，得(x－1)(2x－3)9＝a0(x－1)＋a1(x－1)2＋a2(x－1)3＋…＋a8(x－1)9＋a9(x－1)10，分别对两边进行求导得(2x－3)9＋18(x－1)·(2x－3)8＝a0＋2a1(x－1)＋3a2(x－1)2＋…＋9a8(x－1)8＋10a9(x－1)9．令x＝2，得(2×2－3)9＋18(2－1)×(2×2－3)8＝a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9，即a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9＝19．
8． 已知变量x与y具有线性相关关系，在研究变量x与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x5，y5)，(6，28)，(0，28)，利用此样本数据求得的经验回归方程为＝x＋．现发现数据(6，28)和(0，28)误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为＝4x＋m，且yi＝140，则m等于(　C　)
A．8 B．12
C．16 D．20
【解析】 设没剔除两对数据前的x，y的平均数分别为，，剔除两对数据后的x，y的平均数分别为'，'，因为yi＝140，所以'＝yi＝28，则'＝＝．因为两对数据为(6，28)和(0，28)，所以＝×(140＋56)＝28，所以＝(7×－166)＝3，所以'＝＝3＝，解得m＝16．
二、 多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．部分选对得部分分，选错得0分)
9． 设函数f(x)＝(4x－1)12＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则(　BD　)
A．a3＝43×
B．f(x)展开式中，二项式系数的最大值为
C．a1＋a2＋a3＋…＋a12＝312
D．f(5)的个位数字是1
【解析】 对于A，(4x－1)12的展开式的通项为Tr＋1＝(4x)12－r·(－1)r＝(－1)r·412－r··x12－r，r＝0，1，2，…，12，令r＝9，可得T10＝(－1)9·43··x3＝－43×·x3，所以a3＝－43×，故A错误．对于B，因为n＝12为偶数，所以可知二项式系数的最大值为，故B正确．对于C，令x＝0，可得a0＝1．令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a12＝312，所以a1＋a2＋a3＋…＋a12＝312－1，故C错误．对于D，因为f(5)＝(20－1)12，且(20－1)12的展开式的通项为Tk＋1＝·2012－k·(－1)k，k＝0，1，2，…，12，可知当k＝0，1，2，…，11时，Tk＋1均为20的倍数，即个位数为0；当k＝12时，T13＝1，所以f(5)的个位数字是1，故D正确．
10．已知，分别为随机事件A，B的对立事件，则下列结论中正确的有(　ACD　)
A．P(A)＋P()＝1
B．若P(A)＞0，P(B)＞0，则P(A)＋P(B)＝P(A＋B)
C．若P(A)＝P(A)，则A与B独立
D．P(A)P(B)＋P(A)P()＝P(A)
【解析】 对于A，由对立事件性质知P(A|B)＋P(|B)＝1，故A正确；对于B，若P(A)＞0，P(B)＞0，则P(A)＋P(B)－P(AB)＝P(A＋B)，故B错误；对于C，若P(A|B)＝P(A)，则P(A|B)＝＝P(A)，故P(AB)＝P(A)P(B)，A与B独立，故C正确；对于D，P(A|B)P(B)＋P(A|)P()＝P(AB)＋P(A)＝P(A)，故D正确．
11．下列等式中正确的有(　BCD　)
A．＝28 B．＝
C．＝1－ D．)2＝
【解析】 对于A，因为(1＋x)8＝＋x＋x2＋…＋x8，令x＝1，得28＝1＋＋＋…＋＝1＋，则＝28－1，故A错误；对于B，因为＋＝，所以＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝…＝＋＝，故B正确；对于C，因为－＝＝＝，所以＝＝－＋－＋…＋－＝1－，故C正确；对于D，(1＋x)16＝(1＋x)8(1＋x)8，对于(1＋x)16，其含有x8的项的系数为，对于(1＋x)8(1＋x)8，要得到含有x8的项的系数，须从第一个式子取出k(0≤k≤8，k∈N)个x，再从第二个式子取出8－k个x，它们对应的系数为＝)2，所以)2＝，故D正确．
三、 填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)
12．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(2＜X≤2.5)＝0.36，则P(X＞2.5)＝__0.14__．
【解析】 因为X~N(2，σ2)，所以P(X＜2)＝P(X＞2)＝0.5，因此P(X＞2.5)＝P(X＞2)－P(2＜X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14．
13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5∶5∶6，这三个年级分别有20%，30%，20%的学生获得过奖学金，现随机选取一名学生，此学生恰好获得过奖学金，则该学生是高二年级学生的概率为____．
【解析】 设事件A为被选到的学生获得过奖学金，事件B为该学生是高二年级学生，P(AB)＝×30%，P(A)＝×20%＋×30%＋×20%，则P(B|A)＝＝＝．
14．某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是，，，，且各轮考核能否通过互不影响，则该软件通过考核的概率为____，该软件在此次比赛中平均考核了____轮．
【解析】 设事件Ai(i＝1，2，3，4)表示“该软件能通过第i轮考核”，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，故该软件通过考核的概率为P(A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝＝．该软件在第三轮考核被淘汰的概率为P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)P()＝＝．设在此次比赛中，该软件考核了Y轮，所以Y的可能取值为1，2，3，4，P(Y＝1)＝P()＝，P(Y＝2)＝P(A1)＝＝，P(Y＝3)＝P(A1A2)＝，P(Y＝4)＝P(A1A2A3)＝＝，所以E(Y)＝1×＋2×＋3×＋4×＝．
四、 解答题(本题共5小题，共77分)
15．(13分)已知二项式(n∈N*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5．
(1) 求n的值；
(2) 求展开式中的系数；
(3) 计算：26＋25＋24＋23＋22＋21＋20的值．
【解答】 (1) 由题意可得＝＝＝，解得n＝6．
(2) 的展开式通项为Tk＋1＝·(2x)6－k·＝26－k·，令6－＝－3，可得k＝6，因此展开式中的系数为·20＝1．
(3) 令x＝1可得(2＋1)6＝729＝26＋25＋24＋23＋22＋21＋20．
16．(15分)某汽车公司拟对某款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x(单位：亿元)与科技改造直接收益y(单位：亿元)的数据统计如下表：
x/亿元 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y/亿元 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 68
当0＜x≤16时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：＝4.1x＋11.8．模型②：＝21.3－14.4．当x＞16时，确定y与x满足的经验回归方程为＝－0.7x＋a．
(1) 根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤16时模型①②的决定系数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对这款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益；
回归模型 模型① 模型②
回归方程 ＝4.1x＋11.8 ＝21.3－14.4
)2 182.4 79.2
(2) 为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入16亿元与20亿元时公司实际收益的大小；
(3) 科技改造后，这款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布N(0.52，0.012)，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元．求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望．
附：若ξ~N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.954 5，R2＝1－．
【解答】 (1) 由表格中的数据，知182.4＞79.2，即，所以模型①的决定系数小于模型②的决定系数，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．所以当x＝16亿元时，科技改造直接收益的预测值为＝21.3×－14.4＝70.8(亿元)．
(2) 由已知可得－20＝＝3，所以＝23，－60＝＝7.6，所以＝67.6，所以＝＋0.7＝67.6＋0.7×23＝83.7，所以当x＞16亿元时，y与x满足的经验回归方程为＝－0.7x＋83.7．故当x＝20亿元时，科技改造直接收益的预测值＝－0.7×20＋83.7＝69.7，所以当x＝20亿元时，实际收益的预测值为69.7＋10＝79.7亿元＞70.8亿元，所以科技改造投入20亿元时，公司的实际收益更大．
(3) 因为P(0.52－0.02＜X＜0.52＋0.02)＝0.954 5，所以P(X＞0.50)＝＝0.977 25，则P(X≤0.5)＝1－P(X＞0.50)＝0.022 75．因为P(0.52－0.1＜X＜0.52＋0.1)＝0.682 7，所以P(X＞0.53)＝＝0.158 65，所以P(0.50＜X≤0.53)＝0.977 25－0.158 65＝0.818 6．设每台发动机获得的奖励为Y(万元)，则Y的分布列为
Y 0 2 4
P 0.022 75 0.818 6 0.158 65
所以E(Y)＝0×0.022 75＋2×0.818 6＋4×0.158 65＝2.271 8(万元)．
17．(15分)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于技术原因，每次传输信号的准确率为90%，即发送1时，收到1的概率为0.9，收到0的概率为0.1；发送0时，收到0的概率为0.9，收到1的概率为0.1．现进行多节点信号传输，由信号源发送信号至节点1，节点1把收到的信号重新发送至节点2，节点2再把收到的信号重新发送至节点3，以此类推，最终发送至节点n．
(1) 若信号源发出信号1，求节点2收到信号1的概率；
(2) 为确保信号传输的有效性，要求节点n收到信号的准确率不低于60%，求n的最大值．(参考数据：lg 2≈0.3010)
【解答】 (1) 记事件Ai＝“节点i收到信号1”，事件＝“节点i收到信号0”，i＝1，2，…，n，则P(Ai)＋P()＝1，且P(Ai＋1∣Ai)＝0.9，P(∣Ai)＝0.1，P(Ai＋1∣)＝0.1，P(∣)＝0.9，则P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P()P(A2|)＝0.9×0.9＋0.1×0.1＝0.82，所以节点2收到信号1的概率为0.82．
(2) 不妨计算信号源发出信号1，求节点n收到信号1的概率．记P(Ai)＝pi，则P()＝qi＝1－pi，则P(Ai＋1)＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P()P(Ai＋1|)，即pi＋1＝0.9pi＋0.1(1－pi)＝0.8pi＋0.1．构造得pi＋1－0.5＝0.8(pi－0.5)，又p1＝0.9，所以pn－0.5＝(p1－0.5)×0.8n－1，即节点n收到信号1的概率为pn＝0.5＋0.4×0.8n－1．由pn≥0.6，得0.8n－1≥0.25，两边取以10为底的对数，n－1≤＝≈≈6.2，所以n≤7.2，即n的最大值为7．
18．(17分)为了解某挑战赛中是否接受挑战与受邀者的性别是否有关系(假设每个人是否接受挑战互不影响，且受邀者男性与女性的比例为3∶2)，某机构进行了随机抽样调查，得到如下调查数据(单位：人)：
接受挑战 不接受挑战 合计
男性 40 20 60
女性 16 24 40
合计 56 44 100
(1) 根据表中数据，依据小概率值α＝0.01的独立性检验分析比赛中是否接受挑战与受邀者的性别有关；
(2) 现从这100人中任选1人，A表示“受邀者接受挑战”，B表示“受邀者是男性”，记LR(B|A)＝，则R＝可表示受邀者接受挑战与受邀者的性别相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出R的值；
(3) 用频率估计概率，在所有受邀者中按“男性”和“女性”进行分层随机抽样，随机抽取5名受邀选手，若再从这5名选手中随机抽取2人进行访谈，求这2名被访谈的选手中接受挑战的男性的人数X的分布列和数学期望．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【解答】 (1) 零假设H0：是否接受挑战与受邀者的性别无关．根据列联表中的数据得χ2＝＝ ≈6.93＞6.635＝x0.010，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为是否接受挑战与受邀者的性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
(2) LR(B|A)＝＝＝＝＝＝，同理LR(B|)＝＝，所以R＝＝＝3．
(3) 由分层抽样知，随机抽取的5名受邀选手中，男性有3人，女性有2人．根据频率估计概率知，男性选手接受挑战的概率为，不接受挑战的概率为．X可能的取值为0，1，2，3名被抽取的男性选手中，恰抽到k人被访谈记为事件Dk(k＝0，1，2)，则P(Dk)＝(k＝0，1，2)，被访谈的2名选手中接受挑战的男性人数恰好为m人记为事件Em(m＝0，1，2)，则P(E0|D0)＝1，P(E0|D1)＝，P(E0|D2)＝＝，P(E1|D1)＝，P(E1|D2)＝＝，P(E2|D2)＝＝，所以P(X＝0)＝P(D0)·P(E0|D0)＋P(D1)·P(E0|D1)＋P(D2)·P(E0|D2)＝×1＋＋＝，P(X＝1)＝P(D1)·P(E1|D1)＋P(D2)·P(E1|D2)＝＋＝，P(X＝2)＝P(D2)·P(E2|D2)＝＝．故X的分布列为
X 0 1 2
P
E(X)＝0×．
19． (17分)通过抛掷骰子产生随机数列｛an｝，具体产生方式为：若第k(k＝1，2，3，…，n)次抛掷得到的点数为i(i＝1，2，3，4，5，6)，则ak＝i．记数列｛an｝的前n项和为Sn，记Sn除以4的余数为Xn．
(1) 若n＝2，求P(S2＝4)和P(X2＝0)．
(2) 甲、乙、丙、丁四人玩游戏：在一局中，由第五个人(裁判)投一个骰子2次，若X2为0，则甲在本局胜出；若X2为1，则乙在本局胜出；若X2为2，则丙在本局胜出；若X2为3，则丁在本局胜出．比赛开始前，4名选手自由两两组合，组成A小队，B小队，组队后进行比赛．比赛采用5局3胜制，每局比赛中只要小队内有成员胜出即该小队在此局中获胜，请问：甲和哪位选手组成A小队，使A小队在比赛中有最大概率获胜？并说明原因．
(3) 若n＝20，设(x＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)20＝b0＋b1x＋b2x2＋…＋b120x120，试确定该展开式中各项系数与事件S20＝j(j∈N*，j≤120)的联系，并求X20＝0的概率．
【解答】 (1) 因为4＝3＋1＝2＋2＝1＋3，所以P(S2＝4)＝3×＝，X2＝0的情形有：4＝1＋3＝2＋2＝3＋1，8＝2＋6＝3＋5＝4＋4＝5＋3＝6＋2，12＝6＋6，共计9种，因此P(X2＝0)＝＝．
(2) 由(1)可知P(X2＝0)＝，X2＝1的情形有5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1， 9＝3＋6＝4＋5＝5＋4＝6＋3，共计8种，因此P(X2＝1)＝＝；X2＝2的情形有2＝1＋1，6＝1＋5＝2＋4＝3＋3＝4＋2＝5＋1， 10＝4＋6＝5＋5＝6＋4，共计9种，因此P(X2＝2)＝；X2＝3的情形有3＝1＋2＝2＋1，7＝1＋6＝2＋5＝3＋4＝4＋3＝5＋2＝6＋1，11＝5＋6＝6＋5，共计10种，因此P(X2＝3)＝＝．设A小队每局获胜概率为p，比赛获胜概率为f(p)＝p3＋p2(1－p)p＋p2(1－p)2p＝6p5－15p4＋10p3，所以f'(p)＝30p2(p－1)2＞0，故p越大f(p)越大．因为甲和丁组成A队在每局比赛中获胜的概率最大，且为，所以甲和丁组成的A小队在比赛中获胜概率最大．
(3) (x＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)20＝b0＋b1x＋b2x2＋…＋b120x120，xj的系数bj表示S20＝j(j∈N*，j≤120)的情况数，其中P(S20＝j)＝(j＝1，2，3，…，120)，其中b0＝b1＝b2＝…＝b19＝0．令x＝1，得到620＝b0＋b1＋b2＋b3＋…＋b119＋b120．令x＝－1，得到0＝b0－b1＋b2－b3＋…－b119＋b120，因此×620＝b0＋b2＋b4＋b6＋…＋b118＋b120．令x＝i(i为虚数单位)，得到(－1＋i)20＝(b0－b2＋b4－…＋b120)＋(b1－b3＋b5－b7＋…＋b117－b119)i，又(－1＋i)20＝(－2i)10＝－210，所以－210＝b0－b2＋b4－…＋b120，因此，b0＋b4＋b8＋…＋b120＝×620－29，所以P(X20＝0)＝＝－

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