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玉溪一中 2025—2026学年下学期高三适应性测试（二）
数学试题评分参考
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A A C B A D D
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11
答案 BD ACD ABD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
题号 12 13 14
答案 2 27
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
解： 证明：如图，连接 ，
在 中，由 ，可得 ，
， ，
， ，
， ， ，
则 ，
故 ，
， ， ， 平面 ，
平面 ；
数学试题评分参考第 1页（共 6页）
解：由 可知， ， ， 两两垂直，
以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则 ， ， ， ， ，
， ，
则 ，
又 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ， ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
， ，
则 ，令 ，则 ， ，
故 ，
，
故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．
16．（15分）
数学试题评分参考第 2页（共 6页）
解： 因为 的离心率为 ，所以 ， 当 轴时， ，不妨令
，代入 的方程中，得 ，解得 ，则双曲线 的方程为
．
设 ， ，则 因为 的斜率不为 ，所以可设 ，联立
得 ， 所 以 ， ， 则
， 因为 ，所以直线 的方程为 由
双曲线对称性得直线 所过定点必在 轴上，故令 ，得 ，则
因为 ，所以 因为 所以
，所以 ，所以直线 恒过定点 ．
17．（15分）
解：设等差数列 的公差为 ，
由 ，得 ，即 ，
由 ，取 ，得 ，即 ，
解得 ， ，所以 ；
解：由 知， ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 的前 项和为 ；
证明：因为 ，所以 ，
所以当 时， ；
当 时，
．
综上即证．
18．（17分）
解：设第 局比赛甲胜为事件 ，第 局比赛甲平为事件 ，第 局比赛甲负为事件 ，
设“两局后比赛终止”为事件 ，
数学试题评分参考第 3页（共 6页）
因为棋手与机器人比赛 局，所以棋手可能得 分或 分比赛终止，
当棋手得分为 分，则 局均负，即
当棋手得分为 分，则 局先平后胜，即 ，
因为 ， 互斥，
所以
，
所以两局后比赛终止的概率为 ；
设“ 局后比赛终止”为事件 ，“ 局后棋手挑战成功”为事件 ，
因为
，
，
所以在 局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为
，
所以在 局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为
因为 局获奖励 万元，说明甲共胜 局，
当棋手第 局以 分比赛终止，说明前 局中有 负 胜，且是“负胜负胜负”的顺序，其
余均为平局，共有 种
当棋手第 局以 分比赛终止，说明前 局中有 负 胜，且是先负后胜的顺序，其
余均为平局，共有 种
则“ 局后比赛终止且棋手获得 万元奖励”的概率
，
所以 ，
，
因为 ，所以 ，
数学试题评分参考第 4页（共 6页）
所以 ，所以 单调递减，
所以当 时， 取最大值为 ．
19．（17分）
解： ，
，则 ，
由 ，得 ，则 ，
由函数 与 在 处的切线平行，
得 ，
此时 ，
，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故当 时， 取得极小值 ，无极大值；
由 知 ，
因为 ，故 时， ， 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，
由 ，
知 在 上有一个零点，
当 时， 在 上无零点，
此时 在 上仅有一个零点；
当 时， ，
在 上有一个零点，
，
故 在 上有一个零点，
数学试题评分参考第 5页（共 6页）
此时 在 上有 个零点，
当 时， 在 上有一个零点，
此时 在 上有 个零点，
综上所述，当 时， 在 上仅有一个零点；
当 时， 在 上有 个零点；
当 时， 在 上有 个零点；
由 知，对于任意 ，
得 ，当且仅当 时取等号，
令 ，则 ，
时， ，
当 时，
则 ，
故 ，
故 ，
又 ，
结合 ， 且 为正整数，
可得正整数 的最小值为 ．
数学试题评分参考第 6页（共 6页）绝密★启用前
玉溪一中 2025—2026 学年下学期高三适应性测试（二）
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在
答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置
贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将
答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.某校举办演讲比赛，五位评委给某位参赛选手的评分分别为 ， ， ， ， ，若这
组数据的平均数为 ，则这组数据的中位数为
A. B. C. D.
3.已知 是直线 的一个方向向量，若 ，则实数 的值
A. B. C. D.
4.若函数 存在单调递减区间，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
5.血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数人体的血氧饱和度正常范围是 ，当
血氧饱和度低于 时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模
型： 描述血氧饱和度 随给氧时间 单位：时 的变化规律，其中 为初始血
氧饱和度， 为参数已知 ，给氧 小时后，血氧饱和度为 若使得血氧饱和度
达到 ，则至少还需要给氧时间 单位：时 为 精确到 ，参考数据： ，
A. B. C. D.
数学试题第 1页（共 5页）
6.如图，在棱长为 的正方体 中，为棱 的中点，
用过点 ， ， 的平面截正方体，则截面周长为
A. B.
C. D.
7.设椭圆 的左右焦点分别为 ， ，椭圆 上点 满足 ，直
线 和直线 分别和椭圆 交于异于点 的点 和点 ，若 ，则椭圆 的离心率为
A. B. C. D.
8.在锐角 中，角 ， ， 所对的边为 ， ， ，若 ，且
，则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.在复数范围内关于 的实系数一元二次方程 的两根为 ，其中 ，
则
A. B. C. D.
10.函数 的图象如图所示，则
A. 的最小正周期为
B. 是奇函数
C. 的图象关于直线 对称
D. 若 在 上有且仅有两个零点，则
11.在正方体 中， ，点 为正方体内部 含表面 的点，且满足
， ，则下列说法正确的是
A. 存在点 使得 平面
数学试题第 2页（共 5页）
B. 异面直线 与 间的距离为
C. 直线 与平面 所成角的正弦值范围是
D. 当 时，点 的轨迹长度为
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.曲线 在点 处的切线方程为 ．
13.直线与抛物线 交于 ， 两点，若 ，则 中点 到 轴距离的最小值
是 ．
14.已知集合 ， 将 的所有元素从小到大依次
排列构成一个数列 ，记 为数列 的前 项和，则使得 成立的 的最小值
为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）如图，在四棱锥 中，底面四边形 为直角梯形， ，
， ， 为 的中点， ， ．
证明： 平面 ；
若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
16．（15分）已知双曲线 的离心率为 ， 为坐标原点，过 的
右焦点的直线交 的右支于 ， 两点，当 轴时， ．
求双曲线 的方程
过点 作直线 的垂线，垂足为 ，证明：直线 过定点．
数学试题第 3页（共 5页）
17．（15分）已知数列 是等差数列，记其前 项和为 ，且 ， ．
求数列 的通项公式
将数列 与 的所有项从小到大排列得到数列
求 的前 项和
证明： ．
18．（17分）某公司邀请棋手与该公司研制的一款机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手
的初始分为 ，每局比赛，棋手胜加 分平局不得分棋手负减 分当棋手总分为 时，
挑战失败，比赛终止当棋手总分为 时，挑战成功，比赛终止否则比赛继续已知每局比
赛棋手胜、平、负的概率分别为 ， ， ，且各局比赛相互独立．
求两局后比赛终止的概率
在 局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率
在挑战过程中，棋手每胜 局，获奖 千元记 局后比赛终止且棋手获奖 万元
的概率为 ，求 的最大值．
19．（17分）
已知函数 ， ．
若函数 与 在 处的切线平行， ，求 的极值；
当 时，讨论函数 零点的个数；
数学试题第 4页（共 5页）
设 为正整数，若 ， ，求 的最
小值．
数学试题第 5页（共 5页）

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