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第八章　能力整合与素养提升练
1． 如图，对两组数据x，y和v，u分别进行回归分析，得到散点图如图，并求得经验回归方程分别是y＝b1x＋a1和u＝b2v＋a2，并对变量x，y进行线性相关检验，得到相关系数r1，对变量v，u进行线性相关检验，得到相关系数r2，则下列判断正确的是(　　)
A．b1＞0 B．b2＜0
C． D．r1＋r2＜0
2． 假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为｛x1，x2｝和｛y1，y2｝，其2×2列联表为
X Y 合计
y1 y2
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
对同一样本，以下数据能说明X与Y有关的可能性最大的一组为(　　)
A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2 B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2
C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 D．a＝3，b＝2，c＝4，d＝5
3． 如果某地的财政收入x与支出y满足经验回归方程＝x＋a＋e(单位：亿元)，其中，＝1，a＝2，|e|≤0.5．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过(　　)
A．12亿元 B．12.5亿元
C．10亿元 D．10.5亿元
4． 已知变量x，y线性相关，其一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5)满足xi＝10，用最小二乘法得到的经验回归方程是＝x－1．现增加一个数据(2，1)，重新计算得到的回归直线斜率是1.1，则当x＝4时，y的估计值是(　　)
A．3 B．3.2
C．3.4 D．3.6
5． (多选)某制药公司为了研究某种治疗高血压的药物在饭前和饭后服用的药效差异，随机抽取了200名高血压患者开展试验，其中100名患者饭前服药，另外100名患者饭后服药，随后观察药效，将试验数据绘制成如图所示的等高堆积条形图．已知χ2＝，且P(χ2＞6.635)＝0.01，则下列说法中正确的有(　　)
A．饭前服药的患者中，药效强的频率为
B．药效弱的患者中，饭后服药的频率为
C．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异
D．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，不能认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异
6． (多选)为了探讨学生的物理成绩y与数学成绩x之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩(xi，yi)(i＝1，2，3，…，10)，并计算出＝80，物理成绩y关于数学成绩x的经验回归方程为＝0.8x＋12.5，则下列说法正确的是(　　)
A．＝76.5
B．当某学生数学成绩为100时，物理成绩一定为92.5
C．相关系数r＞0
D．现发现10名学生中有两名学生数据(70，65)和(90，100)误差较大，剔除这两对数据后，得到的经验回归方程为＝x＋a，则a的值为－5
7． 某市旅游局对全市各旅游景区的环境进行综合治理，投入不同数额的经费x(单位：千万元)，得到各旅游景区收益的增加值y(单位：万元)的对应数据如下表：
投入的经费x/千万元 1 2 3 4 5 6 7
收益的增加值y/万元 2 3 2 5 7 7 9
若x与y的经验回归方程为＝1.214x＋，则相应于点(7，9)的残差是___．
8． 用模型y＝menx＋2(m＞0)拟合一组数据时，设z＝ln y，将其变换后得到经验回归方程为＝3x＋2，则n－m＝____．
9． 某市准备安排该市所有中学教师进行体检，同时调查去年该市教师体检情况，并随机抽取100名高中教师与100名初中教师，经过统计得到如下2×2列联表：
去年体检人数 去年末体检人数 合计
高中教师 70 30 100
初中教师 e f 100
合计 m n 200
若根据表中数据得χ2＝，则这200名教师中，去年末体检的人数为__50__．
10． 某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来x(x＝1，2，3，4，5)年的增长数据y(单位：万吨)如下表所示：
x 1 2 3 4 5
y 26 37 50 64 93
(1) 经探究x与y之间具有相关关系，求y关于x的经验回归方程＝x＋；
(2) 为了检验M，N两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在A，B两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表：
地区 用M设备 用N设备
A 30 20
B 15 35
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为增收情况与使用M，N两种不同设备有关？
附：＝＝，＝－；χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，x0.005＝7.879．
11． 某校为了解该校某兴趣小组对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣，对该兴趣小组的100位学生进行了问卷调查，已知被调查学生中男生占调查人数的55%，其中感兴趣的有45人，余下的不感兴趣，在被调查的女生中，感兴趣的有20人，其余人不感兴趣．
(1) 请补充完整下面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关联？
感兴趣 不感兴趣 合计
男生
女生
合计
(2) 从兴趣小组100人中任选1人，事件A＝“选到的人是男生”，事件B＝“选到的人对‘夸父一号’探测卫星相关知识不感兴趣”，求P(B)；
(3) 按随机抽样的方法从感兴趣的学生中抽取4名男生和3名女生，组成一个容量为7的样本，再从抽取的7人中随机抽取3人，随机变量X表示3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d，x0.005＝7.879．
第八章　能力整合与素养提升练
1． 如图，对两组数据x，y和v，u分别进行回归分析，得到散点图如图，并求得经验回归方程分别是y＝b1x＋a1和u＝b2v＋a2，并对变量x，y进行线性相关检验，得到相关系数r1，对变量v，u进行线性相关检验，得到相关系数r2，则下列判断正确的是(　D　)
A．b1＞0 B．b2＜0
C． D．r1＋r2＜0
【解析】 由散点图可知，x与y负相关，v与u正相关，则b1＜0，b2＞0，故A，B错误；且图形中点(x，y)比(v，u)更加集中在一条直线附近，则，又r1＜0，r2＞0，得r1＋r2＜0，故C错误，D正确．
2． 假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为｛x1，x2｝和｛y1，y2｝，其2×2列联表为
X Y 合计
y1 y2
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
对同一样本，以下数据能说明X与Y有关的可能性最大的一组为(　D　)
A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2 B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2
C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 D．a＝3，b＝2，c＝4，d＝5
【解析】 对于同一样本，|ad－bc|越小，说明x与y相关性越弱，而|ad－bc|越大，说明x与y相关性越强，通过计算知，对于A，B，C都有|ad－bc|＝|10－12|＝2；对于D，有|ad－bc|＝|15－8|＝7，显然7＞2．
3． 如果某地的财政收入x与支出y满足经验回归方程＝x＋a＋e(单位：亿元)，其中，＝1，a＝2，|e|≤0.5．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过(　B　)
A．12亿元 B．12.5亿元
C．10亿元 D．10.5亿元
【解析】 依题意，＝x＋2＋e，而|e|≤0.5，则当x＝10时，y＝12＋e≤12＋0.5＝12.5，所以年支出预计不会超过12.5亿元．
4． 已知变量x，y线性相关，其一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，4，5)满足xi＝10，用最小二乘法得到的经验回归方程是＝x－1．现增加一个数据(2，1)，重新计算得到的回归直线斜率是1.1，则当x＝4时，y的估计值是(　B　)
A．3 B．3.2
C．3.4 D．3.6
【解析】 由题知＝xi＝2，则＝－1＝2－1＝1．增加数据(2，1)后，＝＝2，＝＝1，且经验回归方程为y＝1.1x＋b，所以1＝1.1×2＋b，得b＝－1.2，则y＝1.1x－1.2，所以当x＝4时，y＝1.1×4－1.2＝3.2．
5． (多选)某制药公司为了研究某种治疗高血压的药物在饭前和饭后服用的药效差异，随机抽取了200名高血压患者开展试验，其中100名患者饭前服药，另外100名患者饭后服药，随后观察药效，将试验数据绘制成如图所示的等高堆积条形图．已知χ2＝，且P(χ2＞6.635)＝0.01，则下列说法中正确的有(　AC　)
A．饭前服药的患者中，药效强的频率为
B．药效弱的患者中，饭后服药的频率为
C．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异
D．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，不能认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异
【解析】 由题意得在饭前服药的患者中，药效强的有80人，药效弱的有20人；在饭后服药的患者中，药效强的有30人，药效弱的有70人．所以饭前服药的患者中，药效强的频率为＝，故A正确；药效弱的患者中，饭后服药的频率为＝，故B错误；列出2×2联列表如下：
饭前 饭后 合计
药效强 80 30 110
药效弱 20 70 90
合计 100 100 200
零假设H0：这种药物饭前和饭后服用的药效没有差异，由χ2＝≈50.51＞6.635，所以零假设H0不成立，即在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异，故C正确，D错误．
6． (多选)为了探讨学生的物理成绩y与数学成绩x之间的关系，从某批学生中随机抽取10名学生的成绩(xi，yi)(i＝1，2，3，…，10)，并计算出＝80，物理成绩y关于数学成绩x的经验回归方程为＝0.8x＋12.5，则下列说法正确的是(　ACD　)
A．＝76.5
B．当某学生数学成绩为100时，物理成绩一定为92.5
C．相关系数r＞0
D．现发现10名学生中有两名学生数据(70，65)和(90，100)误差较大，剔除这两对数据后，得到的经验回归方程为＝x＋a，则a的值为－5
【解析】 对于A，因为经验回归方程必过样本中心点(，)，由题意可得＝0.8×80＋12.5＝76.5，故A正确；对于B，令x＝100，得＝0.8×100＋12.5＝92.5，但回归方程只能用于预测结果，并不一定与实际结果完全相等，所以预测物理成绩为92.5，故B错误；对于C，因为0.8＞0，即经验回归方程＝0.8x＋12.5的图象是上升的，可知y与x满足正相关，所以相关系数r＞0，故C正确；剔除这两对数据后，'＝＝80，'＝＝75，因为经验回归方程必过样本中心点('，')，所以75＝80＋a，则a＝－5，故D正确．
7． 某市旅游局对全市各旅游景区的环境进行综合治理，投入不同数额的经费x(单位：千万元)，得到各旅游景区收益的增加值y(单位：万元)的对应数据如下表：
投入的经费x/千万元 1 2 3 4 5 6 7
收益的增加值y/万元 2 3 2 5 7 7 9
若x与y的经验回归方程为＝1.214x＋，则相应于点(7，9)的残差是__0.358__．
【解析】 由表中数据知，＝＝4，＝＝5，x与y的经验回归方程为＝1.214x＋，所以＝5－1.214×4＝0.144，所以＝1.214x＋0.144．当x＝7时，＝1.214×7＋0.144＝8.642，因此残差为9－8.642＝0.358．
8． 用模型y＝menx＋2(m＞0)拟合一组数据时，设z＝ln y，将其变换后得到经验回归方程为＝3x＋2，则n－m＝__2__．
【解析】 因为y＝menx＋2(m＞0)，z＝ln y，所以ln y＝nx＋2＋ln m．又＝3x＋2，所以解得所以n－m＝2．
9． 某市准备安排该市所有中学教师进行体检，同时调查去年该市教师体检情况，并随机抽取100名高中教师与100名初中教师，经过统计得到如下2×2列联表：
去年体检人数 去年末体检人数 合计
高中教师 70 30 100
初中教师 e f 100
合计 m n 200
若根据表中数据得χ2＝，则这200名教师中，去年末体检的人数为__50__．
【解析】 由χ2＝＝＝(*)，又m＝70＋e，n＝30＋f，100＝e＋f，200＝m＋n，则可得m＝200－n，f＝n－30，e＝130－n，代入(*)式可得19n2－2 300n＋67 500＝0，解得n＝50或n＝(舍去)．
10． 某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来x(x＝1，2，3，4，5)年的增长数据y(单位：万吨)如下表所示：
x 1 2 3 4 5
y 26 37 50 64 93
(1) 经探究x与y之间具有相关关系，求y关于x的经验回归方程＝x＋；
(2) 为了检验M，N两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在A，B两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如下表：
地区 用M设备 用N设备
A 30 20
B 15 35
根据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为增收情况与使用M，N两种不同设备有关？
附：＝＝，＝－；χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d，x0.005＝7.879．
【解答】 (1) 由题意得，＝＝3，＝＝54，xiyi＝971，＝55，＝＝＝＝16.1，＝－＝5.7，故所求经验回归方程为＝16.1x＋5.7．
(2) 零假设H0：增收情况与使用不同设备无关．将所给数据进行整理，得列联表如下：
用M设备 用N设备 合计
A 30 20 50
B 15 35 50
合计 45 55 100
则χ2＝≈9.091＞7.879＝x0.005．根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立，所以认为增收情况与使用M，N两种不同设备有关．
11． 某校为了解该校某兴趣小组对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣，对该兴趣小组的100位学生进行了问卷调查，已知被调查学生中男生占调查人数的55%，其中感兴趣的有45人，余下的不感兴趣，在被调查的女生中，感兴趣的有20人，其余人不感兴趣．
(1) 请补充完整下面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.005的独立性检验，能否认为对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关联？
感兴趣 不感兴趣 合计
男生
女生
合计
(2) 从兴趣小组100人中任选1人，事件A＝“选到的人是男生”，事件B＝“选到的人对‘夸父一号’探测卫星相关知识不感兴趣”，求P(B)；
(3) 按随机抽样的方法从感兴趣的学生中抽取4名男生和3名女生，组成一个容量为7的样本，再从抽取的7人中随机抽取3人，随机变量X表示3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望．
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d，x0.005＝7.879．
【解答】 (1) 补全列联表如下：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 45 10 55
女生 20 25 45
合计 65 35 100
零假设H0：对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生性别无关，则χ2＝≈15.196＞7.879，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，推断H0不成立，即认为对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关．
(2) 由题意可得，n(AB)＝10，n(A)＝55，则P(B．
(3) 由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝．则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝0×．

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