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泰安一中青年路校区高一下学期 4月份诊断性测试
数学试题
第Ⅰ卷（选择题，58分）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 已知点 则与 同方向的单位向量为（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数 为纯虚数，其中 ， 为虚数单位，则 （ ）
A. B. C. 1 D.
3．已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
4. 已知非零向量 ， 满足 ，若 ，则向量 在向量 方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 在 中， 、 分别在边 、 上，且 ， ， 在边 上（不
包含端点）．若 ，则 的最小值是（ ）
A. 8 B. 4 C. 2 D. 1
6. 已知 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 ．若 的
面积 ，且 ，则 的周长为（ ）
A． B．15 C． D．
7. 如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在 A处观测，M，
N分别在 A处的北偏西 、北偏东 方向．再往正东方向行驶 32米至 B处，观
1
测 N在 B处的正北方向，M在 B处的北偏西 方向，则 M，N两建筑物之间的距离为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8. 已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，下列四个命题中错误的命题是（ ）
A．在 中，若 ，则
B．若 ，则 有唯一解
C．若 ，则 是等腰三角形或直角三角形
D．若 ，则角
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 已知 为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）
A. B. 复数 的虚部为
C. 若复数 纯虚数，则 D. 若 为复数，则 为实数
10. 下列结论正确的是（ ）
A．已知 是非零向量， ，若 ，则
B．非零向量 和 ，满足 ，则 与 的夹角为
C．点 在 所在的平面内，满足 ，则点 是 的外心
D．以 为顶点的四边形是一个矩形
11.已知 的三个内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，面积为 ，则下列说法
正确的是（ ）．
A. 的取值范围是
B. 若 是锐角三角形，则 的取值范围是
C. 若角 B的平分线 BE与边 AC相交于点 E，且 ，则 的最小值为 9
D. 若 ，且外接圆半径为 2，圆心为 O，P为 上的一动点，则 的取值范围为
2
第Ⅱ卷（非选择题，92分）
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12.已知向量 ， ， ，且 与 的夹角为锐角，则 t的取值范围是__________.
13我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，
它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是 ，
其中 a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边 ，则该三
角形的面积 ．
14. 如图，在 中，已知 ，BC，AC边上的两
条中线 AM，BN相交于点 P，则 的余弦值为___________.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量 .
（1）求 ；
（2）设 的夹角为 ，求 的值；
（3）若向量 与 互相垂直，求 的值.
16.已知复数 （ R）， 为实数.
（1）求 ；
（2）若复数 在复平面内对应的点在第四象限，且 为实系数方程 的
根，求实数 的值.
3
17.记 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 .
（1）求角 B的值；
（2）若 D为 AC的中点，且 ， ，求 的面积.
18．在锐角 中，已知 ， ，且 ．
(1)求角 B的大小；
(2)若 ，求 面积的最大值．
19.某商场准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其
中 ，且在该区域内点 R处有一个路灯，经测量点 R到区域边界 的距离分别为
.设计者准备过点 R修建一条长椅 （点 M，N分别落在 上，长椅的宽度
及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.
(1)求点 S到点 T的距离；
(2)为优化经营面积，当 等于多少时，该三角形 区域面积最小？并求出面积的最小值.
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2025-2026 学年高一第二学期 4 月阶段性检测数学参考答案
一选择题 1-5 C A D A C 6-8 B D D 9. AD. 10.ABD 11.ACD
11.解由题意， ，整理可得 ，
由余弦定理可知 ， ， ，
对 A，
， ， ， ，
，故 A正确；
对 B，
，因为 是锐角三角形，
， ， ，故 B错误；
对于 C，
由 ，可得 ，
即 ，可得 ， ，
当且仅当 时等号成立，故 C正确；
对 D，由正弦定理 ，则 ，则 ，由余弦定理
可得 ，所以 ，
5
又 ，所以 ，则三角形 为等边三角形，取 中点 ，如图所示：则
，由 ，可得 ，则 ，故 D正
确.故选：ACD
二、填空题答案 ：
12. 13. 14.
14. ∵M，N分别是 BC，AC的中点， .
与 的夹角等于 .
，
，
， ．
三、解答题
15. 【解析】（1）由 ，得 ，
所以 .
（2）设 的夹角为 ，则 .
（3）由 ，得 ，
由向量 与 互相垂直得， ，
所以 ，化简得 ，解得 .
6
16.（1）解由 ， 为实数，
则 为实数， ................（4分）
所以 ，即 ， ，
所以 .............................................（8分）
（2）由 在复平面内对应的点在第四象限，
所以 ， ...................................................（12分）
又 为实系数方程 的根，则 ，
所以 ， ， 又 ，所以 . ......................................（15分）
17.解：由正弦定理得， ，则由
得： ，................（2分）
在 中， ， ，
则 ，
， ，.......................................................（5分）
， ， ；..........................（7分）
(2) ∵D为 AC的中点， ，
，① ...............................（10分）
由余弦定理得， ，②....................................（13分）
7
解得 ， ， 的面
积 .........................（17分）
18解：1．(1) (2)
【详解】（1）由于 ，所以 ，
即 ，即 ，
由于 是锐角，所以 ，所以 .
（2）依题意， ，由正弦定理得 ，
，所以
，
由于 ，所以 ，所以 ，所以当 时，
取得最大值为 .
19解：（1）连接 ，在四边形 中，因为 ， ， ，所以
.
在 中，由余弦定理可得 ，所以 （m）
（2）因为
，
所以 ，所以 ，当且仅当 时等号
8
成立，因此， .
所以当 时，三角形 区域面积最小，最小值为
9

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